.Зиновьев

Очерки

КОМПЛЕКСНОЙ

ЛОГИКИ

Ответственный редактор

Е. А. Сидоренко

Настоящее издание осуществлено при финансовой поддержке

Российского гуманитарного научного фонда (проект № 99-03-16144)

Зиновьев Александр Александрович

Очерки комплексной логики. Под ред. Е А Сидоренко

М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 560 с

ISBN 5-8360-0125-1

В книге известного логика, философа и писателя А А Зиновьева изложена разработанная автором логическая теория, названная комплексной логикой Эта логика специально ориентирована на применение в области методологии науки С этой целью осуществляется радикальное расширение ее сферы за счет логической экспликации языковых выражений, которые фигурируют в языке опытных наук Это, в частности, терминология, относящаяся к пространству, времени, изменениям, эмпирическим связям.

Книга рассчитана на читателей, интересующихся проблемами современной логики, возможностями ее специальных приложений.

Группа подготовки издания:

Директор — Доминго Марин Викой

Заместители директора — Наталья Финогенова, Ирина Макеева

Компьютерный дизайн — Виктор Романов

Верстка — Наталия Бекетова, Михаил Кириллов

Редакционно-корректурные работы — Елена Кудряшова, Анна Шабалина

Обработка графики — Елена Ефремова

Обработка текста — Наталья Аринчева,

Вадим Устянский, Анна Тюрина

Издательство «Эдиториал УРСС» 113208, г Москва, ул Чертановская, д 2/11, к п Лицензия ЛР №064418 от 2401 96 г Гигиенический сертификат на выпуск книжной продукции № 77 ФЦ 8 953 И 270 3 99 от 30 03 99 г Подписано к печати 11 05 2000 г Формат 60 х 88/16 Тираж 1000 экз Печ л 35 Зак № 1м №1024

Отпечатано в АООТ «Политех-4» 129110, г Москва, ул Б Переяславская, 46

ISBN 5-8360-0125-1

97858364001 254 И >

Раздел VII

Моей первой научной работой была диссертация «Метод восхождения от абстрактного к конкретному» (1954), в которой я предпринял попытку представить диалектический метод как совокупность логических операций. Диссертация была встречена официальной советской философией крайне враждебно и оказалась фактически запретной для публикации и пользования без особого разрешения. Меня из сферы методологии науки вытолкнули в сферу логики, причем — логики математической. После этого в течение многих лет (до 1976 года) моей основной профессией стала логика. Обстоятельства сложились так, что я за эти годы разработал свою логическую концепцию, радикально отличающуюся от всех тех, которые были известны в мировой логике, включая как классическую, так и неклассическую (в том числе — интуиционистскую) математическую логику. Я назвал все эти концепции традиционными или стандартными. Свою концепцию я назвал нетрадиционной, нестандартной или комплексной логикой. Последнее название я выбрал не столько с целью подчеркнуть отличие моей концепции от других, сколько с целью обратить внимание на то, что должное решение важнейших проблем логики может быть достигнуто именно на пути их рассмотрения в комплексе, а не по отдельности, не изолированно друг от друга. В частности, нельзя должным образом осуществить логическую (формальную) обработку языка как орудия научного познания, игнорируя предметное значение языковых выражений, т. е. их онтологический аспект. Нельзя логически строго описать явления бытия, игнорируя языковые средства и методы их познания. Нельзя логически строго описать методы научного исследования, не привлекая языковые средства фиксирования знаний и оперирования ими. Короче говоря, три ветви старой философии — формальная логика, гносеология и онтология — должны быть слиты в нечто единое при систематическом построении логики в современных условиях в науке.

Основную задачу своей комплексной логики я постепенно осознал в том, чтобы преодолеть дефекты ставших традиционными логических концепций, включая классическую и интуиционистскую математическую логику, и, во-вторых, радикально расширить сферу внимания логики с ориентацией на методологию опытных наук.

Согласно моей концепции, предмет логики — язык. Но не изучение языка (языков) таким, каким он является сам по себе, независимо от логики, а особого рода работа в сфере языка, заключающаяся в обработке определенного рода элементов языка, усовершенствование их

и изобретение новых, а также разработка особых правил оперирования ими. Логика не открывает эти правила как существующие в языковой. практике независимо от того, изучают их или нет, а изобретает их и вносит в языковую практику в качестве искусственных средств оперирования языком. Даже законы силлогистики не были открыты Аристотелем в готовом виде в практике языка, а изобретены им. Конечно, тут имеет место стихийное языковое творчество людей. Но лишь в самых примитивных и смутных формах. Логика должна выполнять эту работу на профессиональном уровне.

Современная логика в форме так называемой математической логики сделала значительный шаг вперед сравнительно с логикой прошлых веков в смысле техники логической работы (математические методы, формальные исчисления), но одновременно она ограничила сферу логических исследований. Последняя свелась к логике высказываний и предикатов, причем — главным образом к техническим (математическим) проблемам. Кроме того, она породила ложную идею неуниверсальности законов логики, т. е. их относительности, зависимости от предметной области (например, идея особой логики микромира) и даже произвола в выборе логики. Она, далее, породила также ложную идею, будто результаты логики имеют непосредственные приложения вне сферы языка. Эта идея приобрела прочность предрассудка, фактически подменив законы логики математическим аппаратом, применяемым в вычислительных и информационных устройствах.

Наконец, ограничив сферу логики в смысле охвата проблем и сведя логические исследования к чисто техническим (математическим) задачам, математическая логика включила явно или неявно в решение чисто логических проблем внелогические предпосылки и допущения, так что получилась деформированная (смещенная) конструкция, затрудняющая, непомерно усложняющая и даже в принципе исключающая решение целого ряда логических задач. Это касается основных разделов математической логики.

Говоря о разработке логики с ориентацией на опытные науки, я имею в виду радикальное расширение ее сферы за счет логической обработки языковых выражений, фигурирующих в языке опытных наук. Это, например, терминология, относящаяся к пространству, времени, эмпирическим связям, изменениям и т. д. Она плохо определена или совсем не определена, многосмысленна, неустойчива, логически не связана в должные комплексы. Это служит основой для всякого рода псевдонаучных спекуляций вроде идей замедления и ускорения времени, обратного хода времени, различного хода времени в разных мирах, особой логики микромира. О том, что может тут сделать логика, читатель подробно узнает из раздела «Логическая физика» в этой книге. А сейчас я приведу простой пример. На вопрос о том, может ли физическое тело одновременно находиться в разных местах, обычно отвечают отрицательно. А на вопрос о том, почему это невозможно, отвечают: так устроен мир. Но дело здесь не в устройстве мира. Да и откуда взять гарантии, что наше утверждение будет верно на все время в прошлом и будущем и во всех местах пространства. Наша уверенность в том, что физическое тело не может одновременно находиться в разных местах, есть логическое следствие неявного определения выражения «разные места». В самом деле, в каком случае места (области пространства) считаются разными? Интуитивно предполагается, что два места х и у различны, если только они не имеют общих точек. Но реальные «точки» суть физические тела. Так что если определение выражения «разные места» записать явно (эксплицировать), то получим следующее. Два места х и у считаются (называются) различными местами, если и только если для любого физического тела а имеет силу утверждение: если а находится в одном из х и у, то в то же самое время оно не находится в другом из них. Из этого определения логически следует утверждение: физическое тело не может одновременно находиться в разных местах.

Результаты моих логических исследований я в свое время опубликовал в многочисленных книгах и статьях, включая следующие: Философские проблемы многозначной логики (1960); Логика высказываний и теория вывода (1962); Основы логической теории научных знаний (1967); Очерк многозначной логики (1968); Логическое следование (1970); Комплексная логика (1970); Логика науки (1971); Логическая физика (1972); Нетрадиционная теория кванторов (1973); Логика классов (множеств) (1973); Очерк эмпирической геометрии (1975); Полная индукция и Последняя теорема Ферма (1979).

Многие мои логические сочинения переводились с русского на западные языки. Основные из них суть следующие: Philosophical Problems of Many-Valued Logic (Dordrecht, 1963); Uber mehrwertige Logik (Berlin-Braunschweig—Basel, 1968); Komplexe Logik (Berlin—Braunschweig-Basel, 1970); Foundations of the Logical Theory of Scientific Knowledge (Dordrecht, 1973); Logik und Sprache der Physik (Berlin, 1975); Logische Sprachregeln (совместно с X. Бесселем) (Berlin—Miinchen, 1975); Logical Phisics (Dordrecht—Boston, 1983); Non-Standard Logic and its Applications (Oxford, 1983); The Non-Traditional Theory of Quantifiers (Language, Logic and Method. Boston, 1983).

В эту книгу включены работы, которые дают достаточно полное представление о том, как формировалась комплексная логика, какова ее ориентация и основные результаты. Все эти работы были написаны до 1976 года. Обстоятельства моей жизни сложились так, что, начиная с 1976 года, я был лишен возможности для регулярной работы в области логики и даже возможности отредактировать сделанное мною при составлении этого сборника. Так что эти работы вошли в сборник в том виде, в каком они были закончены до 1976 года. При этом оказались неизбежными некоторые повторения, которые я не имел возможности устранить.

Попытку как-то систематизировать результаты моих логических исследований я предпринял еще в книге «Основы логической теории научных знаний». В этот сборник из нее вошел фрагмент «Квазиисследование и физическое следование». Вторая попытка имела место в книге «Логика науки». Из нее в сборник вошли фрагменты «Комплексная логика (введение)» и «Нетрадиционная теория вывода». И третьей попыткой была книга «Логическая физика». При подготовке издания ее на немецком и затем английском языках она была значительно исправлена и расширена. И в этом состоянии она вошла в данный сборник под названием «Основы комплексной логики». В нее вошла также работа, посвященная решению проблемы Последней теоремы Ферма, написанная в 1975 году и опубликованная по-английски в 1979 и в 1983 годы.

Из сочинений, посвященных разработке формального аппарата логики, в этот сборник вошли статьи «Очерк многозначной логики», «Логическое следование», «Нетрадиционная теория кванторов» и «Логика классов», помимо разделов в упомянутых работах. Систематическое изложение курса логики, который я читал в течение многих лет в Московском университете, было опубликовано лишь на немецком языке в книге «Logische Sprachregeln» (1975, совместно с Н. Wessel). Включить это в данный сборник было невозможно, поскольку этот курс слишком велик по размерам, а текст его на русском языке у меня не сохранился в силу превратностей моей судьбы.

Мюнхен, 1998

Раздел I 3) ?ад)Ч|—ад) д ад); § 28. Конечные и бесконечные ряды

1Ж*,П

Раздел II § 2. Двузначные и многозначные функции

§ 6. Многозначные функции как виды связей

Раздел III

Раздел IV § 23. Интуиционистская логика

Раздел V

Раздел VI § 23. Системы с оператором условности

§32. Разрешимость сильной теории кванторов для классического случая

Раздел VII § 18. О методе строгой индукции

Раздел VIII §21. Дедукция

§ 39. Непротиворечивость терминов

§15. Измерение и определение

§ 9. Положение индивида в пространстве и времени

§23. Скорость

§ 33. Парадоксы связей

§ 6. Общие утверждения о Мире и физические допущения

tz'(d)v-tz'(d)—p2(d).

Раздел I

КОМПЛЕКСНАЯ ЛОГИКА (ВВЕДЕНИЕ)

Глава 1

Исходные предпосылки

§ 1. Раздвоение логики

Как бы не определялся предмет логики различными специалистами и направлениями в логике, фактически, ее предметами всегда были и остаются язык как средство познания и само познание, поскольку оно совершается в языке и посредством языка и продукты которого фиксируются в языке. Но в силу переворота, который произошел в логике в конце прошлого и в начале нашего века (возникновение математической логики), логика стала прежде всего и по преимуществу совокупностью определенного рода формальных построений (исчислений) и совокупностью теоретических положений о правилах их конструирования, об их свойствах и взаимоотношениях. Формальные построения, которые по идее должны были бы служить лишь средством (аппаратом) решения определенных проблем логики, приобрели самодовлеющее значение и стали сначала основным ее содержанием, а затем даже превратились в особый объект, изучаемый в логике.

Формальные построения логики допускают различные содержательные интерпретации. Использование их для описания каких-то элементов языка науки и правил оперирования ими есть лишь одно из возможных использований, хотя генетически оно и послужило предпосылкой их изобретения. Причем упомянутое использование связано со сравнительно сложными абстракциями и допущениями, предполагает некоторое предварительное (не зависящее от формальных построений) понимание тех или иных элементов языка науки. Естественно, при этом встают вопросы о соответствии такого рода внеформального понимания элементов языка науки и формул логических исчислений, избранных для их описания.

Формальные системы логики суть дедуктивные построения. При создании их первостепенное значение приобретают соображения удобства исследования их свойств, математической простоты, изящества.

Зачастую соображения, связанные с последующей интерпретацией формальных систем, вообще не принимаются во внимание. Следствием этого является возможность отрыва теоретических построений от эмпирических фактов и несоответствий между этими фактами и интерпретированными некоторым образом формулами рассматриваемых построений. Разрешение же вопросов о том, как поступать с такого рода несоответствиями, требует какой-то системы абстракций и допущений, модификации имеющихся формальных построений и конструирования новых.

Но и независимо от указанных несоответствий преобладание дедуктивного метода ведет к существенной перестройке способов абстрагирования при «описательном» («эмпирико-аналитическом») методе, а значит и к изменению отношения научных положений и эмпирических фактов. Дедуктивные построения уже нельзя рассматривать как продукт непосредственной абстракции от эмпирически данных фактов. Это, скорее, лишь удобные с какой-то точки зрения средства исследования этих фактов. При этом невозможно судить о применимости тех или иных формальных построений в исследовании некоторой предметной области, если о ней нет никаких предварительных сведений и она уже не изучена в какой-то мере на описательном уровне. В современной логике эта сторона дела оказалась сравнительно слабо развитой.

Приложения математической логики к самим объектам конкретных наук, а не к их языку породили взгляд на логику как на науку, область исследования и приложения которой образует не только (и даже не столько) язык науки, но и предметные области, изучаемые ими (например, электрические сети, системы клеток мозга, числа и т. п.). Вследствие этого значительная часть прежней проблематики логики выпала из сферы ее внимания или во всяком случае попала в категорию второсортной.

Наконец, в связи с только что упомянутым пониманием логики, правила ее стали рассматривать как неуниверсальные, т. е. как варьируемые в зависимости от особенностей предметных областей, изучаемых различными науками. Это выразилось, в частности, в идеях интуиционистской логики квантовой механики. На этой основе развилась чудовищная идеологическая мистификация как логики, так и достижений науки, давших пищу и повод для таких спекуляций.

Стремление преодолеть разделение ориентации логики на исследование языка как средства познания и на разработку формального аппарата ради самого этого аппарата послужило стимулом для разработки той концепции логики, которую в разных работах называли нестандартной, нетрадиционной или комплексной логикой, а также логикой науки.

Прежде чем предложить вниманию читателя отдельные фрагменты комплексной логики и затем сравнительно систематическое изложение ее основ, приведем ряд предварительных соображений, взятых из книги «Логика науки».

§2. Исследователь

Логика рассматривает язык как совокупность видимых и слышимых слов, т. е. как особого рода материальных «вещей». При этом обычно игнорируются те, кто создают эти «вещи» и оперирует ими, — назовем их исследователями. Но исключать исследователей при рассмотрении языка не только фактически невозможно, но и неразумно. Многие проблемы логики решаются легче, если явным образом учитывать исследователей, а некоторые важные проблемы вообще неразрешимы без этого.

Исследователей существует много, и они заметно различаются. Но мы все же допустим, что все исследователи совершенно одинаковы, и если они как-то различаются в одной и той же ситуации, то их различия совершенно адекватны различным положениям каждого из них в этой же ситуации. Так что мы исключаем всякие разногласия между исследователями и будем вообще говорить об одном исследователе как среднем представителе класса исследователей. Иначе говоря, мы будем рассматривать всех исследователей как существа или сооружения, проделывающие некоторые операции одинаково, если они вообще способны проделывать эти операции. Те операции, которые мы будем рассматривать, на самом деле доступны особого рода техническим устройствам. Во всяком случае мы будем стремиться к тому, чтобы по возможности обезличить описание логических операций и приблизить его к некому машинному идеалу как к удобному средству пояснения.

Мы допускаем, что исследователь наделен некоторым природным (чувственным) аппаратом отражения, задача которого — испытывать внешние воздействия и создавать в себе (в исследователе) определенные состояния. Причем исследователь может создавать такого рода состояния в своем аппарате отражения и без непосредственного воздействия внешних раздражителей (воспоминание, воображение).

Мы допускаем, что упомянутый аппарат отражения необходим для создания, хранения и использования различных элементов языка. Но деятельность его мы рассматривать не будем. Для нас вообще не будет играть роли все то, что происходит в мозгу и в организме человека (внутри любого отражающего существа или устройства — исследователя). Поэтому если мышлением называть какие-то процессы, происходящие в мозгу человека, то придется признать, что логика не учит мышлению. Она не изучает не только «неправильное» мышление, но и «правильное». Традиционное определение логики как науки о правильном мышлении имело смысл лишь постольку, поскольку само мышление тавтологически понималось как осуществление логических операций. Короче говоря, с точки зрения логики голова исследователя принимается во внимание не как предмет исследования, но лишь как полезное средство для осуществления некоторых зримых операций со зримыми элементами языка. Исследуя упомянутые операции, логика через них не изучает никаких процессов мышления. Она изучает сами эти операции, а не что-то такое, что скрыто за ними и управляет ими.

§ 3. Термины и высказывания

Язык состоит из совокупности предложений, построенных по правилам некоторого (русского, английского и т. п.) языка и образующих его базис, а также из совокупности развитых на этом базисе дополнительных средств — формул, графиков, таблиц, схем и т. п. Предметом внимания логики является лишь то, что охватывается терминами «высказывание» («суждение»), «термин» и «логический знак» (или «логический оператор»). В дальнейшем мы точно определим, что такое термин и высказывание, и рассмотрим подробно логические операторы. Но сейчас нам необходимо сделать ряд предварительных замечаний об этом и мы вынуждены поэтому допустить, что читатель имеет какое-то представление о них. На всякий случай приведем несколько примеров. Примеры высказываний: «Электрон заряжен отрицательно», «Если по проводнику пропустить электрический ток, то вокруг него возникает магнитное поле», «Все четные числа делятся на два». Примеры терминов: «атом», «капитал», «элементарная частица, имеющая положительный заряд», «ускорение 10 м/с», «магнитное поле». Примеры логических операторов: «и», «или», «не», «если..., то...», «тот, который», «все».

Это не означает, однако, что упомянутые выше дополнительные средства языка вообще выпадают из сферы внимания логики и не подчиняются тем законам, которые она устанавливает. Дело в том, что эти дополнительные языковые средства так или иначе «прочитываются» с помощью высказываний. Им фактически ставится в соответствие некоторое множество высказываний, что равносильно умению обращаться с ними. Возьмем, например, формулу вида у = 7.x, изображающую зависимость величин х и у. Ей соответствует множество предложений вида «Если х = а, то у = 2а», где область значения а образуют величины х. И если в рассматриваемых дополнительных средствах языка науки имеется какая-то часть, для которой не находятся соответствующие высказывания (которая не «прочитывается» в высказываниях), то к ней нельзя будет применить правила логики, и только. Но это относится и к огромному числу предложений науки, без которых наука невозможна, но которые по тем или иным причинам не приводятся к логически стандартизированному виду.

Продолжим наш пример. Пусть у нас помимо приведенной выше формулы имеется еще некоторый график, который изображает зависимость величины z от величины у. Этот график точно так же может быть прочтен предложениями вида «Если у = а, то z = Ь». Если нам известно, что х = 2, то по правилам умозаключений, которые логика формулирует для высказываний, мы делаем вывод о том, что у — 4. Пусть одно из высказываний, соответствующих нашему графику, есть высказывание «Если у — 4, то z = 8». Из него и из предшествующего заключения у = 4 мы получаем по правилам логики, что z = 8. И все это рассуждение стало возможно лишь благодаря прочтению данных формулы и графика в высказываниях. Логика не рассматривает правила этого прочитывания.

Выше, рассматривая термины и высказывания, мы привели примеры того, что известно под именем слов, групп слов и предложений. Ничего предосудительного в этом нет, ибо вообще невозможно привести примеры высказываний и терминов, не приведя тем самым примеры предложений и, соответственно, слов, символов, групп слов и символов. Однако это удвоение общих названий для одних и тех же примеров может быть расценено различно.

Широко распространена точка зрения, согласно которой высказывания (суждения) и предложения различаются как нечто идеальное (мысленное) и материальная оболочка этого идеального. Эта точка зрения соответствует субъективному подходу к научным знаниям, о котором говорилось ранее. По нашему мнению, эта точка зрения означает излишнее «умножение сущностей». Нам кажется более предпочтительной другая точка зрения. Выбирая в качестве предмета внимания определенного вида предложения, логика осуществляет их стандартизацию, т. е. рассматривает их лишь в той мере, в какой они расчленяются строго определенным образом на логические элементы — на термины, высказывания и логические операторы. Например, предложение «Нечетное число не делится на два» расчленяется не на шесть слов, а лишь на два термина «Нечетное число» и «не делится на два». Эта стандартизация соответствует тому, что реальный исследователь, имеющий дело с наукой, так или иначе умеет устанавливать логическое (описываемое в терминах логики) строение предложений или находить для них другие предложения (адекватные с точки зрения сообщаемого знания), которые можно легко подвести под стандартную схему. Если исследователь не умеет в данных предложениях находить их логическое строение, он не может воспользоваться теми советами, которые дает логика науки. Аналогично обстоит дело с терминами.

Возьмем фразу «Самолет пролетел сто километров». Ее можно истолковать двояко: (1) как «Самолет находится на расстоянии ста километров (от некоторого места)»; (2) как «Расстояние, которое преодолел самолет, включает отрезок сто километров». Различие этих истолкований видно из следующего. Во втором случае из данного высказывания будет следовать, что самолет пролетел пятьдесят (десять и т. п.) километров, а в первом — нет, т. е. высказывание «Самолет пролетел пятьдесят километров» в первом случае будет неверно, если верно (1). Отрицание высказывания (2) будет означать, что самолет пролетел расстояние меньше ста километров. В первом случае оно может означать любой расстояние, не равное ста километрам. Усмотреть в самом предложении, в каком именно смысле оно употребляется, невозможно. Исследователь должен это обнаружить их каких-то других источников.

Когда в логике некоторые предложения изображают схемой (символом) вида S - Р, то это не следует воспринимать как предписание именно так строить предложения (хотя стандартизация языка науки, вообще говоря, есть явление весьма желательное). Это следует воспринимать просто как сокращенную запись того, что некоторые предложения расчленяются на субъект, предикат и соединяющий их логический оператор. И если мы не имеем правила оперирования с высказываниями такого вида, то эти правила относятся не к каким-то идеальным сущностям, а ко всем реальным предложениям, которые удается подвести под эту схему. Причем умение исследователя устанавливать логический тип предложения и его строение мы предполагаем данным.

Здесь имеет место ситуация, сходная с символами химии. Например, символ Н2О не есть фотографическое изображение воды. Это лишь краткая и удобная запись того, что молекула воды состоит из двух атомов водорода и атома кислорода. И никому в голову не приходит мысль о том, что этот символ относится к какой-то искусственной воде.

§ 4. Логические операторы

Из данных терминов образуются ложные термины и высказывания, а из высказываний — сложные высказывания и сложные термины. Причем в языке науки имеются какие-то показатели того, из каких именно высказываний или терминов построено данное сложное высказывание и термин. Это — специальные слова (например, «и», «или», «не», «если, то», «тот, который» и т. п.), грамматическая форма слов, особые их комбинации и расположение и т. п. Специальные слова, символы и их группы такого рода мы будем называть логическими операторами. В обычном и научном языке они не всегда выражаются стандартно, однообразно и явно. Мы, однако, должны допустить, что они суть особые, локализованные в пространстве и времени, воспринимаемые предметы. Исключим из рассмотрения также факт многозначности языковых средств и разнообразие выражений одних и тех же функций (выполняемых ролей) знаков. Эти абстракции означают следующее: в реальных языках имеется нечто такое, что соответствует тем символам, с помощью которых в логике обозначаются рассматриваемые операторы; эти символы однозначны, а их видимое различие есть показатель различия функций соответствующих языковых средств. Другими словами, здесь абстрагируются функции языковых средств, какой бы вид они ни имели. С другой стороны, абстракции означают допущение необходимых навыков распознавания этих функций в любых контекстах данного языка.

Логические операторы имеют значение не сами по себе, но лишь как элементы в структуре терминов и высказываний. Определить их свойства — значит определить свойства содержащих их языковых образований. Поэтому логические операторы сами по себе не являются терминами, а образуют особую рубрику элементов языка науки. Терминами являются лишь их обозначения в логике.

§ 5. Правила логики

Правила логики (логические правила) суть правила оперирования высказываниями и терминами (и, естественно, входящими в них логическими операторами). Эти правила не открываются людьми в окружающем их мире, а изобретаются вместе с появлением и совершенствованием навыков конструирования терминов, высказываний и действий с ними. Логика как особая наука, приступая к изучению этих правил, сталкивается со следующим обстоятельством. Она обнаруживает эмпирически данными определенного вида термины, высказывания (и содержащие их операторы) и уже функционирующими некоторые правила обращения с ними. И с этой точки зрения, правила, устанавливаемые логикой, имеют опытную основу. Но логика вместе с тем обнаруживает: свойства определенного вида терминов и высказываний и содержащих их операторов) установлены лишь для некоторых случаев их употребления, но не для любых возможных ситуаций; свойства эти установлены неотчетливо и не с предельной общностью (нередко в связи с конкретным видом языковых форм); не установлены отношения различных операторов. Устраняя эти недостатки, логика продолжает творческую деятельность человечества по разработке и совершенствованию упоминавшихся средств языка науки, и с этой точки зрения, логические правила оперирования этими средствами языка суть не что иное, как определения свойств логических операторов и содержащих их образований из терминов и высказываний.

Кроме того, сами методы логики позволяют разработать точные правила не только для фактически встречающихся ситуаций, но и для любых логически мыслимых (возможных) ситуаций, а также выяснить логически возможные виды терминов, высказываний и операторов), которые, может быть, еще не употребляются в науке. Во всяком случае, получив некоторый материал для работы, а также своего рода задание и ориентиры, логика делает свое дело уже независимо от этого материала, исследуя логически возможные случаи и устанавливая для них соответствующие правила. И с этой точки зрения логику можно считать априорной наукой, результаты которой имеют силу для любой науки, если только последняя вводит в обиход элементы языка, подпадающие под описанные в логике типы.

Возьмем, например, логический оператор, который обычно истолковывают как «и». В реальных языках логика обнаруживает сложные высказывания, истинные лишь тогда, когда все входящие в их состав высказывания истинны. Роль операторов в таких случаях помимо слова «и» выполняют и другие средства: запятая, слово «но», слова «а также» и даже порой слова «если, то», которым в логике предназначена совсем иная роль. И хотя все указанные средства выполняют в языке и другие функции, существенно одно: случаи такого вида фактически встречаются, и для того, чтобы выделить функции указанного оператора, в логике вводят особый знак конъюнкции. Последний выполняет в логике исключительно роль оператора рассмотренного вида. Его можно истолковать теперь как «и». Но не только так: любые языковые средства, выполняющие такую роль в языке, суть пример конъюнкции. С другой стороны, используя свои методы, в частности, таблицы истинности), логика устанавливает связь такого рода операторов с другими (с «или», «не» и т. п.), определяя свойства конъюнкции для всех возможных ситуаций (для всевозможных комбинаций с другими операторами), а также может ввести новые операторы, точно сформулировав правила их употребления (например, так вводится материальная импликация, антиимпликация).

Продолжим наш пример. Всем известны правила приписывания значения истинности высказываниям с операторами «и», «или», «не» в простых комбинациях и в случаях, когда ограничиваются двумя значениями — «истинно» и «ложно». Эти правила привычны и воспринимаются как нечто само собой разумеющееся, данное от природы. Но достаточно взять случай, когда высказывания могут принимать три значения истинности (или даже более), как обнаруживается, что никаких само собой разумеющихся правил для этих случаев вообще нигде нет. Они должны быть изобретены, вновь установлены кем-то и затем получить более или менее широкое признание. При этом выясняется, что возможны различные варианты этих правил. В частности, для отрицания возможны по крайней мере три различных варианта. И во избежание путаницы при этом должны быть введены различные логические операторы, учитывающие эти вариации.

Логика, далее, изучает свойства терминов и высказываний, не зависящие от того, являются ли они терминами и высказываниями физики, химии, биологии, истории или какой-либо иной науки. Она изучает правила, общие любым терминам и высказываниям с определенной структурой, и не рассчитана ни на какую науку специально. Нет логики специально для физики, химии и т. п. Нет логики специально для математиков, физиков, историков, макрофизиков, микрофизиков, ибо логика находит в науке именно то, что она ищет: правила, которые не зависят от сферы науки, от особенностей той или иной предметной области).

Таким образом, в силу самих методов, используемых в логике, формулируемые ею правила универсальны. Если мы ввели некоторый оператор А так, что по его определению будет иметь силу правило X д ля содержащих его терминов или высказываний, то не может встретиться случай, когда оператор А употребляется, а правило X не имеет силы.

Когда говорят о правилах логики, то обычно имеют в виду правила вывод одних высказываний из других. Однако правила логики не сводятся в правилам вывода. В логике рассматриваются правила образования сложных терминов из простых, высказываний из терминов и других высказываний, терминов из высказываний; правила построения сложных комплексов высказываний и терминов, образующих теории; правила оперирования некоторыми терминами (например, модальными предикатами) и т. п. Причем различные типы правил логики имеют различные источники формирования и различные способы применения, и судить о них в общем виде без анализа этих их особенностей — значит говорить нечто банальное или ошибочное (в силу односторонности).

Возьмем, например, термины «человек» и «курит». Посредством оператора «который» из них можно образовать новый (сложный) термин «человек, который курит». Если исследователю известен смысл данных терминов и свойства оператора «который», то ему известен смысл образованного из них сложного термина. И это возможно в силу особых логических правил обращения с терминами, которые явным образом отличны от правил вывода.

§ 6. Онтологические утверждения в логике

Логика ничего не утверждает о предметах, которые отображаются в терминах и высказываниях. Но законам логики в ряде случаев можно придать вид утверждений не о свойствах терминов и высказываний, а о предметах, к которым термины и высказывания относятся (т. е. вид онтологических утверждений). Например, утверждению «Из высказывания X следует высказывание Y» можно придать вид утверждения «Если имеет место ситуация X, то имеет место ситуация У».

Такая онтологизация утверждений логики связана, однако, не с природой этих законов, а с привычкой относить содержание высказываний к соответствующим предметам и с удобствами языка. Достаточно поставить вопрос о том, на каком основании принимаются подобные утверждения, как обнаружится, что они суть следствия определений содержащихся в них логических операторов.

Из логических утверждений, далее, по некоторым правилам получаются онтологические утверждения. Так, из утверждения «Из X логически следует Y», построенного из субъектов «высказывание X» и «высказывание У» и двухместного предиката «логически следует», получается условное высказывание «Если X, то У», состоящее из высказываний X и У и логического оператора «если, то». Особенность таких онтологических следствий из логических законов состоит в том, что они не зависят от опыта, истинны в силу чисто логических оснований. Так, если на самом деле из X логически следует У, то «Если X, то У» истинно независимо от конкретного содержания Хи У.

В логике, далее, принимаются утверждения, непосредственно имеющие форму онтологических. Таковы, например, утверждения вида «Либо X, либо не-Т». Однако и в этом случае подобные утверждения принимаются вовсе не потому, что так устроен окружающий нас мир (т. е. не как обобщение результатов наблюдений), а исключительно потому, что они суть следствия определений, входящих в них логических операторов или сами суть части неявного определения этих операторов. Так, операторы «и», «или», «не» и т. д. буквально по нашей воле и по соглашению вводятся в употребление такими, что утверждения «X или не-Х», «Если не-не-Х, то X» и т. д. будут верными для любых X. И когда мы утверждаем, например, что в мире нигде и никогда не встретится ситуация, в отношении которой будет истинно «X и не-Х», то наша уверенность базируется отнюдь не на том, что мы изучили мир на все времена и во всех местах, а исключительно на том, что мы изобрели операторы «и» и «не» именно такими. Просто в нашем языке с такими операторами недопустимо признание возможности «X и не-Х», и ничего более.

Конечно, практика познания заставляет людей вводить в обиход определенного вида логические операторы. Практически встречающиеся ситуации, когда одни предметы исключают другие, одни предметы сосуществуют с другими и т. д., служат отправной базой для введения в обиход соответствующих логических операторов. Но это нисколько не влияет на то, что сами они суть продукты творчества людей, что им волею людей навязываются указанные выше свойства.

Но имеет место и еще более тонкое и далеко идущее отношение онтологических и логических утверждений. Оно связано с тем, что многие онтологические термины («начало», «конец», «вечно», «пространство», «время», «причина») могут быть уточнены посредством терминов логики со всеми вытекающими отсюда последствиями. Эти последствия образуют своего рода границы (логические табу), за которые не может выходить наука при выдвижении своих гипотез. Причем границы эти вытекают из принятых определений, а не извлекаются из опыта (т. е. априорны). Таковы, например, утверждения «Ни одно событие не может произойти раньше самого себя», «Между одновременными событиями не может быть отношения причины и следствия».

Одним словом, в фундаменте логики вообще и любых ее разделов не лежат никакие онтологические допущения.

§ 7. Универсальность логики

Существует мнение, будто законы логики не являются универсальными, т. е. имеются случаи, когда один и тот же закон логики в одной области науки ведет к правильным результатам, а в другой — к ошибочным; будто законы логики имеют исключения, зависят от предметной области. Для подкрепления этого мнения (помимо общих пространных соображений) ссылаются на вполне определенные факты. Еще с прошлого века идет традиция, отвергающая закон противоречия в отношении переходных состояний объектов. В современной логико-философской литературе к этому присоединяют ограничения на закон исключенного третьего и двойного отрицания в интуиционистской логике, а также на законы коммутативности и дистрибутивности в «квантовой логике».

Если логика действительно не является универсальной, единой для всех наук, то ее положения не имеют априорной силы для наук, и вопрос о ее использовании в них оказывается сомнительным. Но рассматриваемое мнение есть плод недоразумения. Уместно спросить: 1) почему именно такие-то законы логики считаются неуниверсальными, а не другие? 2) Могут ли встретиться случаи, когда и другие законы логики окажется неуниверсальными? 3) Имеются ли все-таки законы логики, являющиеся универсальными? 4) Где грань между универсальными и неуниверсальными законами логики? Ответить на подобные вопросы несхоластическим образом невозможно. Законы логики по самой своей природе универсальны, не имеют исключений, не зависят от особенностей той или иной области. От этих особенностей зависит лишь то, какие именно законы из множества возможных законов логики будут использоваться. Что касается фактов, которые якобы подтверждают эту концепцию, то они суть результат смешения различных логических форм (это мы покажем по мере изложения).

Не является аргументом в пользу тезиса неунинереальности логики и факт множественности логических систем. Мы оставляем в стороне различие точек зрения, способностей и интересов логиков, различие интерпретаций логических исчислений, различие направлений в логике, исторической прогресс и прочие общеизвестные вещи. Возьмем наиболее интересный для нас случай: имеются два логических исчисления; они интерпретируются как логические теории, претендующие на описание свойств одних и тех же логических операторов; однако множества доказуемых в них формул (и значит, множества допускаемых ими правил логики) не совпадают. Если дело обстоит именно таким образом, то правильный вывод из этого факта может быть только такой: эти системы определяют различные наборы логических операторов.

Примером такого рода логических систем являются классическое и интуиционистское исчисления высказываний. Если они претендуют на то, чтобы дать определение свойств операторов «и», «или», «не», то их можно представить как различные определения отрицания. И неверно думать, что имеется некое природное отрицание, которое можно познать с различной степенью глубины, полноты и точности, подобно тому как познают атомы, общества, животных, и свойства которого «интуиционисты» постигли лучше, чем «классики» (или наоборот). Прогресс здесь имеет место. Но он состоит в том, что применительно к некоторым потребностям познания отрицание дифференцировалось, и для различных его форм построены логические системы, определяющие их свойства. Различие логических систем (если, конечно, последние не являются вариациями на одну и ту же тему) есть показатель расширения и обогащения аппарата логики. Но это ни в коем случае не есть показатель того, что одни и те же законы логики верны в одних областях науки и неверны в других.

Иное дело — вопрос об универсальности определенной концепции логики. В этой связи надо заметить, что стремление представить классическую математическую логику в качестве единого средства решения любых проблем логической теории научных знаний (т. е. в качестве единой концепции логики вообще) оказалось неправомерным. Во многих случаях использование ее дало лишь чисто иллюстративный эффект, породило парадоксальные ситуации и тупики. Так что ближе к истине будет оценка классической математической логики лишь как одного из средств логической теории научных знаний и, при условии соответствующих интерпретаций, как одного из ее разделов. В результате критики концепции универсальности логики по тем направлениям, о которых упоминалось выше, рухнула концепция, согласно которой классическая логика одинаково пригодна для решения всех проблем логической теории научных знаний (и «универсальна» в этом смысле). Разработка логики по этим направлениям, однако, есть разработка новых разделов универсальной логики.

§ 8. Логические исчисления

Существенное место в логических исследованиях в наше время занимает использование логических исчислений (формальных построений). Это использование идет по двум линиям. Первая из них — экспликация элементов интуиции. При этом имеют место интуитивное понимание некоторых объектов, логическое исчисление и интерпретация последнего, устанавливающая его соответствие с первым. Если непосредственного совпадения не получается, то исчисление либо приспосабливается к интуитивным предпосылкам путем введения дополнений и ограничений, либо строится с таким расчетом, чтобы указанное соответствие имело место. Получающиеся таким методом теоретические построения дают решение лишь отдельных проблем, причем решение частичное и порой с «парадоксальными» (не соответствующими интуитивному пониманию) следствиями, что не отвергает их познавательной ценности (возможность использования дедукции и предвидения, доказательность, экспликация понятий, исключение двусмысленности, простота). По второй линии логические исчисления рассматриваются независимо от интуиции, как нечто вновь изобретенное логикой в дополнение к тем логическим средствам, которые уже выработаны в языке. В обоих случаях они суть лишь способы определения логических операторов, способы установления классов логических правил, относящихся к этим операторам. Без них, в принципе, можно обойтись, конструируя сразу теории в соответствующих разделах логики по общим правилам построения теорий.

Гпава 2

Частная теория терминов и высказываний

§ 1. Предмет частной теории терминов и высказываний

Общая теория терминов и высказываний устанавливает логические правила, которые не зависят от значения и смысла терминов и высказываний. Частная теория устанавливает смысл некоторого множества логических терминов и правила оперирования содержащими их высказываниями, используя для этой цели средства общей теории. Эти логические термины суть, например, выражения «индивид», «класс», «скопление», «отношение», «структура», «существует», «возможно», «случайно», «необходимо» и т. п. Последнюю теорию можно также называть частной теорией определений и вывода.

§2. Индивиды

Термины-субъекты, которые не могут быть родовыми по отношению к любому термину, будем называть индивидуальными, а обозначаемые ими предметы — индивидами. Другими словами, термин-субъект а является индивидуальным, если и только если для любого термина Ь имеет силу следующее: если Ь —*• а, то а —*• Ь. Примеры индивидуальных терминов: «первый космонавт, осуществивший орбитальный полет вокруг Земли», «русский поэт М. Ю. Лермонтов, убитый на дуэли в 1841 г.», «планета Солнечной системы Земля» и т.п.

Пусть and — переменные для терминов-субъектов. Приведенному определению можно придать такой вид: Ь является индивидуальным термином, если и только если

(V а)((а —*■ Ь) —»(Ь —*■ а)).

Из определения следует: если а есть индивидуальный термин, и при этом Ъ-~* а, то а Ь и а Ь.

Число предметов, обозначаемых индивидуальным термином, равно единице. Потому эти термины называют также единичными. Но этот признак является внелогическим, бесперспективным с точки зрения получения логических следствий.

Переменные для индивидуальных терминов будем называть индивидуальными переменными.

Будем употреблять выражения типа «Индивид а» и «а есть индивид». Первое из них есть лишь языковая трансформация термина «Предмет, который обозначается индивидуальным термином а». Второе есть языковая трансформация высказывания «Термин а индивидуален». Само же по себе выражение «индивид» (в качестве термина-субъекта) совпадает с терминов «предмет». Употребляя его в специфическом смысле, стремятся обратить внимание на неповторимость предмета. Но какие бы разъяснения мы тут не выдумывали, логическую строгость здесь вносит только ссылка на индивидуальность термина. Скажем мы «Индивид а», «а есть индивид», «Возьмем индивид а», «Пусть а есть индивид» и т. п., во всех случаях точный смысл будет иметь только одно: а есть индивидуальный термин, т. е. для любого термина 6, если b —■■ а, то а —■- Ь.

Помимо правила, получаемого из определения, для индивидуальных терминов имеют силу также следующие правила: если а есть индивидуальный термин, то

1) х И (V а)х;

2) (Э а)х И х.

Таким образом, для индивидуальных терминов кванторы излишни.

§ 3. Классы (множества)

Выражение «класс» и «множество» мы употребляем как синонимы. Мы, далее, различаем логическую и математическую теории классов (множеств). Задача логической теории классов — установить такие правила оперирования терминами классов и высказываниями с этими терминами, которые не зависят от конкретных свойств тех или иных классов.

Мы различаем термин «класс» и особый терминообразующий оператор, который также обозначается словом «класс», но термином не является. Будем в качестве такого оператора употреблять символ К.

С помощью оператора К образуются термины первичных классов по такому правилу: если а есть термин-субъект, то К а есть термин-субъект, причем, Ка есть индивидуальный термин.

Образовать первичный класс — значит построить термин К а, т. е. буквально сказать «класс предметов а». Например, образовать класс богов — значит образовать термин «класс богов», где слово «класс» есть оператор X; образовать класс микрочастиц — значит построить термин «класс микрочастиц» и т. п.

Термины первичных классов образуют основу, на которой строится вся терминология, обозначающая классы. Путем обобщения терминов классов вводится, в частности, термин «класс». А именно, это можно сделать, используя переменную для терминов классов: слово «класс» будет термином таким, что если а есть термин класса, то а -^«класс». Используя операцию ограничения, можно вводить термины типа «класс такой, что Р» (например, «пустой класс») и «класс такой, что х» (например, «класс такой, что все элементы этого класса имеют признаки Q1,..., Qn»).

Высказывания о том, что предметы, обозначаемые термином а, включаются в класс, обозначаемый термином В, будем записывать символами вида

а ЕВ.

Фигурирующий в них предикат включения индивидов в класс (т. е. Е) определяется совместно со свойствами классообразующих операторов, в том числе — совместно с К. Индивиды, обозначаемые термином а, суть элементы класса В. Но термин а может быть общим.

Свойства терминов с оператором К и предиката Е определяются имплицитно системой утверждений, в числе которых могут быть такие:

(3 а)(а G Kb) F (3 6)(6 € Ка),

(V a) (a Е Kb) Л (V b)(b Е К с) F (V а)(а Е К с),

(3 e)(e G Кб) Л (V b)(b е К с) F (3 a)(a € Кс),

(а € Kb) Л (а € Кс) F (3 b)(b € К с).

Здесь и в ряде случаев ниже мы не приводим полной системы аксиом, поскольку это не потребуется. А для иллюстрации сути дела достаточно отдельных примеров.

Используя предикат Е и оператор К, термин «класс» (сокращенно kl) можно определить также следующим образом: если а есть термин класса, то а € Kkl. Очевидно, если b есть термин-субъект, то КЪ есть термин класса, и значит КЬ Е Kkl.

§ 4. Отношения классов

Высказывание о том, что класс А включается в класс В, будем записывать символами вида

А ЕВ.

Фигурирующий в нем предикат включения класса в класс (т. е. С) определяется через предикат Е имплицитно следующим образом:

(V а)((а 6 А) -» (а 6 В)) Ч F (А С В),

(3 а)(((а 6 А) Л~ (а 6 В)) V ((а 6 В)Л~(а6 Л))) ЧF~ (Л С В),

(V а)(а 6 Л) Ч F (Ко, С Л),

где а есть индивидная переменная.

Из терминов классов образуются термины того же рода с помощью операторов объединения (и), пересечения (п), и дополнения (-) классов. Правила построения терминов: 1) если а и Ь суть термины классов, то a U J и а П J - термины классов; 2) если а термин класса, то d — термин класса. Свойства этих операторов определяются утверждениями (в частности):

(а 6 Л) А (а 6 В) Ч F (а 6 Л П В),

(а 6 Л) V (а 6 В) Ч h (а 6 Л U В),

(а 6 Л) ЧН (а 6 Л).

Для существования первичного класса достаточно построить его термин. Так, построив выражение «класс богов», мы образовали класс богов, и он стал существовать независимо от того, существуют боги или нет. Вопрос о существовании производных классов решается в зависимости от соблюдения правил логики при построении их названий и от дополнительных определений. В частности, если из определения термина класса следует (а 6 Л) А~ (а 6 Л), то Л не существует.

Существование классов вообще не зависит от существования индивидов, включаемых в них. Так, целое число, равное квадратному корню из пяти, не существует, но класс целых чисел, равных квадратному корню из пяти, существует. О нем, в частности, можно сказать, что этот класс пуст (т. е. нет такого целого числа, которое в него может быть включено без ошибки). И наоборот, существование индивидов не зависит от того, включают их в какие-то классы или нет и в какие классы их включают. Термин класса может быть построен так, что такой класс заведомо существовать не будет. Но в этот класс могут включаться существующие индивиды. Например, образуем термин класса такой: «класс, в который включается предмет а, и в то же время этот предмет не включается, а также в который включаются электроны». Такой класс не существует, поскольку нарушены правила логики при его образовании; но электроны, как известно, существуют.

Как видим, классы — это такие предметы, которые существуют лишь постольку, поскольку конструируются их названия. И когда пытаются определить классы как нечто, существующее независимо от их терминов, то классы смешивают с энками и скоплениями предметов. А это смешение не всегда безразлично. Например, тройка целых чисел таких, что сумма кубов двух из них равна кубу третьего, не существует, тогда как класс таких троек чисел существует, и о нем, в частности, можно сказать, что он пуст. Но представить такой класс как нечто, существующее независимо от названия класса, здесь невозможно.

Изучение классов есть изучение предметов, включаемых в эти классы. Так что все предикаты для классов определяются со ссылкой на их элементы. Приведем несколько примеров такого рода.

Класс А есть подкласс класса В, если и только если А С В. А поскольку А С В есть лишь сокращение для выражения (V а)((а 6 А) —» (a G В)), то первое в приведенном определении может быть заменено на второе.

Классы А и В не пересекаются, если (Va) ~ ((a G А) Л (a G В)), и пересекаются, если (За)((а G А) Л (а G В)), где а есть индивидная переменная.

Класс А является пустым, если (Va) ~ (а G А), и непустым, если (За)(а G А). Класс А является универсальным, если (Va)(a G А), и неуниверсальным, если (3 а)~(яб4).

Классы А и В эквивалентны, если и только если (А С В) Л (В С А) или, в другой форме, (Va)((a G А)«-»(a G В)).

Класс считается конечным, если число его элементов конечно, и бесконечным, если число его элементов бесконечно.

Выражение «мощность класса» есть лишь замена выражения «число элементов класса». Все предикаты порядка для классов определются через указание на упорядоченность их элементов.

§5. Скопления

Как и в случае с классами, будем различать оператор «скопление» и термин «скопление». Последний определяется (аналогично термину «класс») так: если а есть термин, обозначающий скопление индивидов, тов-* «скопление».

Первичные термины скоплений строятся по правилу: если а есть термин-субъект, то «скопление а» есть термин-субъект. Прочие термины скоплений предметов образуются по общим правилам образования терминологии. Заметим, что в отличие от термина «класс а» термин «скопление а» не обязательно индивидуален.

Пример различия оператора и термина «скопление»: в термине «скопление, состоящее из a, Ъ и с» слово «скопление» есть термин, а в термине «скопление звезд в области А» — оператор. Когда употребляют выражение «дома, расположенные в районе А», «молекулы в данном объеме газа», «звезды, входящие в Галактику» и т. п., часто имеют в виду не классы, а скопления соответствующих предметов. Это — иная точка зрения на предметы, чем в случае образования классов. Так, в отношении класса бессмысленно говорить о пространственных размерах, о перемещении и т. и., тогда как подобные предикаты вполне уместны в отношении скоплений. Существование класса не зависит от существования включаемых в него индивидов, существование же скоплений зависит. Так, скопление из а и b существует, если и только если существует каждый из а и Ь, тогда как класс, в который включаются а и Ь, существует, если образован термин «класс, в который включаются а и 6».

Как в случае с классами, будем символами вида а € В изображать то, что предмет а входит (включается) в скопление В. Символами вида А С В будем изображать (как и в случае классов) то, что все предметы, включающиеся в скопление А, включаются в скопление В.

Если термин скопления А построен так, что относительно любого индивида а известно, включается он в Л или нет, то А есть индивидуальный термин, а обозначаемое им скопление — индивид.

Выражения вида В и С, ВпС, В для скоплений будем рассматривать соответственно как соединение В и С, как общую часть В и С и как скопление индивидов, не входящих в В.

Для скоплений может быть построена система определений, частично аналогичная определениям для классов, частично же отличная от нее. В частности, для скоплений принимаются такие утверждения, не имеющие силы для классов:

1) F Et(A) -»((6 G А) -» Bi(6));

2) F Es(A) -» ((b € А) -» Bs(b)),

где А есть переменная для скоплений, Ъ есть переменная для эмпирических индивидов. Et есть предикат «Существует во время i», Es есть предикат «Существует в области пространства а».

§6. Состояния, события

Пусть х есть высказывание аР(а1,..., а”), где n 1, а а означает наличие или отсутствие кванторов, отрицаний и оператора неопределенности в тех или иных допустимых сочетаниях, или комбинация высказываний такого рода посредством операторов, их образующих. В таком случае J. х есть термин состояния. Предметы, обозначаемые такими терминами, суть состояния.

Термин a’ (i = 1,..., п) будем называть свободным в х, если в а нет соответствующего квантора (Va‘) и (3 а’). Термин sx будем считать индивидуальным (а обозначаемое состояние — индивидуальным состоянием), если и только если все свободные термины из числа суть индивидуальные термины.

Употребляется также выражение «событие». Оно ассоциируется обычно с такими J. х, в которых в предикате высказывания х имеется какое-то указание на то, что х стало истинным, а до этого было истинным ~ х. Например, термин «тот факт, что частица а попала в область b» обозначает событие.

§7. Существование

Предикат «существует» будем сокращенно записывать символом Е. употребление такого предиката есть эмпирически данный факт, поскольку встречаются высказывания вида «Электрон существует», «Флогистон не существует», «Христос как историческая личность не существовал» и т. п.

Предметы существуют или не существуют в определенном месте, в определенное время, в любом месте, в любое время и т. д., — в каких-то координатах. Мы их будем предполагать при рассмотрении предиката Е, но для упрощения изложения будем от них отвлекаться (они специфически не характеризуют его). И введение символа Е выполняет здесь, кстати сказать, еще одну задачу: отвлечься от тех ассоциаций, которые вызывает грамматическая форма слова «существует».

Имеются случаи, когда смысл термина Е не определяется, а лишь разъясняется. Эти случаи суть случаи употребления в высказываниях Е(а), -1 Е(а) и ?Е(а), где а есть индивидуальный термин. Здесь имеют место два подслучая: 1) вопрос о существовании индивида решается в зависимости от возможности наблюдать с помощью его органов чувств или посредством приборов, непосредственно или по его следам по результатам воздействия на другие предметы); сюда же относится доверие к свидетельствам тех, кто наблюдал той или иной индивид; 2) вопрос о существовании индивидов решается посредством доказательства из других данных, как допущение для каких-либо целей, как вывод из определений. Неопределенность здесь означает, что невозможно установить посредством наблюдения (например, в случае процесса возникновения или уничтожения индивида) или рассуждения, существует или не существует индивид.

Предполагая данным значение Е для указанных случаев, можно дать точное определение этого предиката для других случаев.

Пусть а в высказываниях Е(а), -i Е(а) и ? Е(а) может быть родовым термином. Например, в высказывании «Электрон существует» слово «электрон» является общим термином. Определения Е для общих субъектов имеют такой вид:

Я(в) = Df- (3 &)((& —*а)А ад),

где Ь есть индивидная переменная, или, в другой форме,

ад = Df- (3 b)E(b I (6 -- а)),

что читается как «а существует, если и только если существует по крайней мере один такой индивид, который есть а»,

-1 ад) = Df (v &)((& — а) -* -1 ад))

или, в другой форме,

-1 ад) = O/ (V Ь)Е(Ь I (6 - a)),

что читается как «а не существует, если и только если все индивиды, которые суть а, не существуют».

? ад) = Df - ~ ад) л ~ -1 ад).

Для энок субъектов предикат Е определяется так:

ад' ,...,an) = Df- ад') л... л ад"),

т. е. энка предметов существует, если и только если существует каждый предмет, входящий в нее.

-1 ад1, ...,an) = Df-~, ад1) v... v - ад"),

т. е. энка предметов не существует, если и только если не существует по крайней мере один из входящих в нее предметов.

?ад‘, ...,an) = Df- ~ ад1,..., а”) л -л ад1,..., a").

В имлицитной форме принятые определения имеют такой вид:

1) ад)-I I-(з &)ад ад — «));

2) ад) 3 Ь (V Ь) -1 ад l (b - a));

3) ?ад)Ч|—ад) д ад);

4) ад1,..., а") з ь ад1) Л ... д ад");

5) ->ад1,...,an)3i-iад1)v...v-1 ад");

6) ?ад1,...,a")31— ад',...,ап)л~-1 ад',...,«").

Существование индивидуальных состояний определяется аксиомами:

7) ад ж) ЗЬ ж,

т. е. sx существует, если и только если х истинно;

8) -,Е(|®)-11—х,

т. е. sx не существует, если и только если ~ х истинно.

Если sx есть родовой термин, то предикат существования определяется для sx на общих основаниях (как выше). Поскольку либо х истинно, либо ~ х истинно, то для существования состояний отрицания ~ и к совпадут, что запишется аксиомами:

9)

Из приведенных аксиом получаются следствия, например, такие:

(х/\у))\-Е(1х)ЛЕ(1у),

hE?(l (®V~®)),

I- (а: Л~а:)).

Вопрос о существовании классов решается иначе, чем для рассмотренных случаев. Для первичных классов: 1) Е(Ка), если и только если a есть термин-субъект; 2) -> Е(Ка), если и только если a не есть термин-субъект; 3) ~Е(Ка) = Е(Ка). Для других терминов классов предикат существования определяется так: Е(а), если и только если соблюдены правила построения терминов при образовании а, и введение a не ведет к противоречию. Построим, например, такой термин класса а: «класс, в который включается индивид b и не включается этот же индивид Ь». Этот термин по построению обладает таким свойством: b € а и ~ (Ъ € а), т. е. ведет к противоречию. Такой класс по определению самого a не существует.

Как уже говорилось, иначе обстоит дело с существованием скоплений предметов. Здесь все зависит от того, как построен термин скопления. Если термин a построен так, что в скопление a включаются только предметы bm (m > 1), то Е(а) = Df ■ E(bl) Л.. .ЛЕ(Ът). Если a построен так, что указано лишь число предметов, включаемых в а, то для существования а необходимо и достаточно существования именно такого числа предметов данного рода. Если не определено, какие именно предметы данного рода включаются в скопление a и сколько предметов включается в а, то возможны два случая. Если при этом а есть индивидуальный термин, то имеет силу такое определение: Е(а), если и только если существует по крайней мере один индивид, входящий в а, т.е.

Е(а) Ч h (3 b)E(b 1 (Ъ е а)),

Я(а)-I I-(V Ь)-> Я(М (Ь € а)),

?ВДЧ1—Е(а)Л—<Е(а).

Если a есть общий (родовой) термин, то вопрос решается так же, как выше для родовых терминов, т. е. Б(а) В Е (3 Ы)Е(Ъ | (Ь —1 а)) и т. д. (только здесь для d вопрос решается в указанных выше определениях, поскольку d есть скопление).

И совершенно иначе предикат существования определяется для абстрактных предметов. Здесь надо различать два аспекта. Пусть d есть термин абстрактного предмета. Предмет b существует эмпирически, если и только если имеется его эмпирическая интерпретация а —- Ъ и при этом а существует. Это — один аспект. Другой аспект — чисто логический: d существует логически, если и только если при образовании его соблюдены правила логики и употребление его не ведет к противоречию.

§ 8. Кванторы и существование

Возьмем высказывания «Некоторые предметы называют флогистоном» и «Некоторые предметы называют круглым квадратом». Они имели строение (В а)Х. В соответствии с принятой в логике традиции их рассматривают как высказывания «Существует предмет, который называется флогистоном» и «Существует предмет, который называется круглым квадратом», имеющие строение Е(а ( ж). Но первые считаются истинными (флогистон называют флогистоном, а круглые квадраты — круглыми квадратами), а последние нет (одно из них отвергается как физическая гипотеза, а второе — как логически противоречивое). Так что в общем случае из высказываний (В а)Х логически не следуют высказывания Е(а ж). Высказывания (В а)Х не предполагают существования а, т. е. из них не следуют высказывания Е(а). Они предполагают более слабое условие, а именно — лишь возможность выбора а. А выбрать можно и не существующие предметы. Это можно сделать, в частности, употребляя обозначающие их термины, смысл которых известен. Высказывания (В a)X с этой точки зрения означают: можно выбрать такой а, что X. Аналогично высказывания (у а)X не предполагают существования а. Они означают: какой бы a мы не взяли, X истинно в отношении к нему. Так что кванторы В нельзя отождествлять с предикатами Е.

Соотношение квантора В и предиката Е определяется правилами:

1) Б(а) Е (3 b)(b —1 а);

2) ДЭВ(!)))(6-а)|- ->В(а);

3) Е(а J. ж) F (В а)ж;

4) (-1 3 а)ж I—| Е(а | ж).

Утверждения же

(3 Ь)(Ь — a) F Е(а),

(3 а)х F Е(а J. ж)

логическими правилами не являются. Если они где-то принимаются, то лишь как внелогические допущения. Принятие таких утверждений как общелогических правил порождает парадоксы. Помимо того, что говорилось в начале параграфа. Приведем еще такой примитивный пример. Из -~*Е(а) следует (Эа)~>#(а). Если истолковывать (3 а)Х как «Существует а такой, что X», получим «Существует а такой, что не существует а». А это равносильно допущению, о котором здесь идет речь и согласно которому из (3 а) -> Е(а) следует Е(а J. -> 25(a)). Поскольку а 1 -I Е(а) j -< Е получим Е(а J. ->Е).

§ 9. Модальные предикаты

Предикаты «возможно», «необходимо» и «случайно» (их называют модальными) будем для краткости записывать символами М, N и С. Как в случае с предикатом Е, смысл этих предикатов зависит от логических типов предметов (субъектов), к которым их относят.

Прежде всего надо сказать, что модальные предикаты ассоциируются с терминами состояний, т. е. с терминами типа sx. Что касается просто терминов предметов, то употребление модальных предикатов есть лишь результат сокращений такого типа:

М(а) = Df ■ М(J. Е(а)),

N(a) = Df- M Е(а))

и т. д. Мы в дальнейшем, рассматривая высказывания вида М(а), N(a) и т. д., будем предполагать, что а суть термины состояний.

К высказываниям с модальными предикатами относится все то, что говорилось о месте, времени, условиях и т. д. в отношении предиката Е. Но мы все это, как и выше, для упрощения изложения будем опускать как нечто само собой разумеющееся и предполагаемое.

Предикат N определяется через предикат М таким образом:

N(l s) = D/-M(l~8),

= 1~х),

?ЛГ(1 х) = Df- ?М(1~ж).

А в случаях, когда отрицания ~ и -> совпадают, достаточно такого определения

N(lx) = Df- ~М(1~х).

Так что в дальнейшем будет достаточно рассмотреть лишь предикат М.

Подчеркиваем, что термины M,N и С суть предикаты, а не субъекты. Однако их часто рассматривают как субъекты, говоря о возможности, необходимости и случайности как об эмпирических предметах. Например, «То, что получилось а, есть чистая случайность», «В имеет возможность попасть в А» и т. п. Но в таких случаях либо слова «возможность», «необходимость» и «случайность» употребляются в таком смысле, что это не имеет никакого отношения к модальностям состояний (под возможностями имеют в виду средства, необходимость понимают как обязанность и т. п.), либо выражения с этими словами суть литературные вариации высказываний с модальными предикатами (например, фраза «В имеет возможность попасть в А» может быть модификацией высказывания «То, что В попадет в А, возможно»).

§10. Возможность

В языковой практике предикат М вводится в самых различных случаях, которые объединить в одном определении невозможно. Приведем основные случаи.

Для родовых терминов 1 ж предикат М определяется аналогично предикату Е:

М(X х) = Df- (Э Ъ)М(Ъ I (Ь —X ж)),

-> М([ ж) = Df ■ (Vb-. M(b z (d —г ж)),

?M(l ж) = Df - ~ M(зж) A ~ -i M(\ ж),

где Ь есть переменная состояний.

Для терминов состояний с операторами V и Л предикат М определяется некоторой системой аксиом, среди которых могут быть такие аксиомы (системы аксиом могут варьироваться, и приводимые ниже аксиомы могут оказаться теоремами, выводимыми из других аксиом):

Аф V у)) 4 F М(1 ж) V М(\ у),

М(Х (ж V у)) 41—I М([ ж) Л -I М(\. у),

М([ (ж Л1/)) 41—| М(зж) V -1 у)

и т. п. Интересно, что в этом случае эксплицитные определения не всегда возможны. Так, поскольку неприемлемо утверждение

ЛГ(1 ж) Л М(1 у) I- М(( (ж Л у))

(а оно неприемлемо в общем виде, так как если ж —у, то будет iAf(| (ж Л у))), неприемлемо и определение вида

Аф (® Л у)) 41- М(1 ж) Л Лф у).

Однако и здесь при некоторых ограничениях можно найти имплицитное определение, заменимое на эксплицитное. В частности, в рассматриваемом примере это можно сделать так:

М(\. (х Л у)) HF Af(l х) Л Af(l у) Л~ (х —у).

Для энок и скоплений предметов предикат М определяется аналогично Е (если в определениях Е везде заменить В на М, то получим определения М). Например,

М(а1,..., а") = Df М(а') Л ... Л М(а”).

Для абстрактных предметов и для классов термины Е и М не различаются, т. е. если a есть термин абстрактного предмета или класса, то

М(а) = Df - E(a),

->M(a) = Df-->E(a).

Рассмотрим, наконец, смысл предиката М в сочетании с индивидуальными терминами 1 х. Один случай здесь является бесспорным, а именно — случай

х -+ Af(l х).

Этот случай предполагает, что х истинно, и предикат М в нем оказывается практически излишним. Интереснее другой случай, а именно — когда х не является истинным (или ~ х истинно), т. е. 1 х не существует в то время, когда строится высказывание о возможности или невозможности sx. Но для этого случая строгого определения предиката М нет. Навык оперировать им вырабатывается на отдельных примерах. Ниже мы опишем некоторую общую схему для этого.

Пусть t1 есть время, когда строится (принимается) высказывание aAf(J. а:), где а означает наличие ->, ? или их отсутствие. Возможны два подслучая: 1) предполагается, что состояние sx возможно или невозможно в будущем (в какое-то время t2); 2) предполагается, что состояние 1 х было возможно или невозможно в какое-то время t2 в прошлом. Второй подслучай сводится к первому, поскольку смысл предиката М здесь устанавливается путем переноса всей ситуации во время t3, предшествовавшее t2. Например, в t2 состояние 1 х не существовало; предикат М будем рассматривать с точки зрения положения вещей во время t3, предшествовавшее t2, в которое sx также не существовало; но мы смотрим на дело так, как будто нам в t3 не известно, что | х в t2 существовать не будет. И не исключено, что согласно каким-то правилам введения М высказывание М(1 х), отнесенное к t2, для t3 окажется приемлемым. Такие случаи употребления часто встречаются (например, в высказывании «Наполеон мог выиграть битву при Ватерлоо»).

Итак, остался случай употребления предиката М для индивидуальных состояний, которые не существуют в настоящее время, причем предполагается будущее время существования или несуществования этих состояний. Излагаемые ниже определения для этого случая не являются правилами получения истинных (или принимаемых) высказываний с предикатом М, а суть лишь разъяснение смысла этого предиката для такого случая.

Определению здесь подлежит не просто выражение М(\. s), а выражение [Af(J. [ж<2])<1 ], т. е. выражение «тот факт, что х во время t2, возможен во время t1». Определение примет такой вид

IM(l [st2])?] -

= Df- (t2 > t1) Л~ (si'J A (1 3 I a)([at'] A ([at1] [st2])),

где a есть переменная для высказываний, t2 > t1 есть высказывание t2 позже t1, ~ [si1] означает, что х неистинно в ?, а оставшаяся часть определяющего выражения означает, что нет такого высказывания, которое было бы истинно в t1 и из которого следовало бы, что х неистинное t2. Поскольку соотношение t1 и t2 предполагается неявно, то вместо выражения [Л1(| [st2])?] берется его сокращенный языковый заместитель Af(| а:), и возникают неразрешимые проблемы его истолкования.

Отрицание возможности 1 х определяется так:

Ими [*?])?] =

= O/ (t2 > ?)л~ [st1] Л (3 I a)([a?] A ([at1] [st2])).

Неопределенность определяется стандартно:

?Af(l s) = Df- ~M(ls)A~-.M(i s).

§11. Случайность

Предикат «случайно» (будем употреблять букву С) определяется через предикат М так:

С(| х) = Df - х Л Л/(J. ~ х),

C(l s) = Df - s Л -i М(l~ ®),

? <7(i s) = Df - ~C(|s)A —■ C(J. s).

Опять-таки речь идет о смысле предиката С, а не о том, что нам дает уверенность в справедливости утверждения с этим предикатом. Например, высказывание «А проиграл партию в шахматы В случайно» можно рассматривать с двух точек зрения: 1) каков смысл слова «случайно»; 2) почему мы так считаем. Ответ на первый вопрос есть дело логики. Ответ на второй в ее компетенцию не входит.

От случайности надо отличать модальное безразличие Б. Последнее определяется так:

Б(; а) = Df- М(1 х) Л М(1 ~ х),

-> Б(1 х) = Df- -> M(l х) Л -I М(|~ х).

Во многих случаях ЯЗЫКОВОЙ практики предикат «случайно» употребляется так, что содержащие его высказывания не поддаются никакой проверке. В особенности это относится к индивидуальным событиям («Наполеон проиграл битву при Ватерлоо случайно (не случайно)», «Язык в человеческом обществе возник случайно (не случайно)» и т. п.).

Рассмотрим такую ситуацию. Пусть человек А находится в комнате X, из которой можно выйти в любую из изолированных комнат К1,...,К” (п > 2). Причем, выйдя в какую-то из У’, А не может вернуться обратно в X и попасть в другие У*. В комнате Y1 находится другой человек В. Поскольку А может выйти из X в Y1, встреча Ас В может состояться. Но поскольку А может выйти не в У1, а в какую-то другую из У’, то возможно и то, что встреча А с В не состоится. Согласно заданным условиям и определению предиката случайности имеем следующее: если А вышел из X в У1, и, следовательно, встреча его с В состоялась, то это событие произошло случайно.

Но изменим условия для А так. Пусть А имеет возможность выходить в любую из У' и затем возвращаться обратно, причем пусть он может это сделать заданное (в частности — неограниченное) число раз. И если при этом произошла встреча А с В, то мы еще не имеем оснований высказать о ней высказывание с предикатом случайности.

В рассматриваемом случае возможны варианты, в которых указаны дополнительные сведения о ситуации. Один вариант состоит в том, что принимается условие: число выходов А из X в Y' не меньше п, и при этом А обязан выходить в каждую из Y'. Очевидно, в этом случае А обязательно выйдет и в У1. А если встреча А с В необходима, то по определению предиката «случайно» она неслучайна.

Во втором варианте принимается лишь условие, согласно которому число выходов А из X в У не меньше п. Пусть А совершил гп выходов, и на последнем встретился с В. Случайно или неслучайно это произошло? Ничего по этому поводу сказать нельзя, поскольку для этого случая предикат «случайно» не определен. Интересно здесь то, что причиной отсутствия условий для употребления этого предиката является дополнительная информация о ситуации, исключающая возможность принятия утверждения о том, что встреча А с В может не состояться.

Пусть a есть событие, наступление которого зависит от наступления событий класса Ь так: если наступило a, то наступило какое-то событие Ь, и если не наступило Ь, то не наступило a. Пусть класс Ъ разбит на п непересекающихся потенциально непустых подклассов, а мощность класса Ь равна т. Предикат С для рассматриваемого случая можно определить так: 1) если наступило а, и при этом т < п, то С(а), 2) если наступило а, и при этом т > п, то ~С(а). Выражение С(а) остается при этом не определенным по той причине, что

-,C(a)4l-N(a),

а из заданных условий не следует, что а непременно произойдет. Так что в рассматриваемом случае различие отрицаний -i и ~ весьма существенно: ~С(а) означает «Нельзя сказать, что а случайно», а -> С (а) означает « а неслучайно (т. е. необходимо)».

Вернемся к нашему примеру. Если число выходов А из X меньше числа различных У’, то по принятому определению встреча его с В случайна, а если оно равно или больше числа Y', то неверно, что она случайна. Но нельзя сказать, что она неслучайна. Чтобы сказать, что она неслучайна, нужны дополнительные условия, из которых следовало бы утверждение о необходимости встречи.

Предикат «случайно» употребляется также в случаях, когда вероятность наступления события сравнительно мала. Здесь нет единого предела, ниже которого величина вероятности считается настолько малой, что употребляют слово «случайно»; этот предел зависит от конкретных условий и соответствующих явных или неявных соглашений. Например, вероятность 0,01 гибели самолета в мирное время рассматривается как огромная, а вероятность 0,1 в военное время как незначительная.

812. Фатализм

Фатализм есть концепция мира, согласно которой все происходящее в мире происходит с необходимостью. Будучи распространен на будущее, он ведет к концепции предопределенности.

Эта концепция не есть нечто такое, с чем можно спорить как с одной из гипотез науки. Она есть результат двусмысленности предикатов М и N.

Согласно самим определениям предикатов возможности и необходимости верны лишь такие утверждения А :

х I- М(\. х),

N(\. х) I- х,

т. е. «Существующее возможно» и «Необходимое существует или будет существовать» (в соответствующее время), а утверждения В:

х h N(.I х),

Af(J, ж) h х

неверны, т. е. неверны утверждения «Если нечто существует, то с необходимостью» и «Если нечто возможно, то оно существует». Утверждения А верны, а утверждения В неверны не в силу какого-то опытного изучения мира, а в силу определений терминов М и N. Последние вводятся в употребление именно такими. Так что если некоторое состояние SX существует, существовало или будет существовать, то из этого логически не следует, что sx необходимо. Не исключено, что из каких-то других источников будет установлено, что sx действительно необходим. Но — из других источников, а не из факта существования sx. Так что утверждение «Все существовавшее и существующее необходимо» неявным образом предполагает иное определение предикатов возможности и необходимости, согласно которому

E(a)\-N(lE(a)), -> Е(а) h М(1 Е(а)).

Точно так же ошибочно считать, будто все то, что не произошло в прошлом, было невозможно, так как по определению предиката М утверждение

I- -I х)

неверно. Другое дело, высказывание -> М(J. х) может оказаться верным, но уверенность в этом нам даст не знание о том, что ~ х истинно, а какие-то другие сведения.

Что касается будущих состояний, то концепция предопределенности есть либо тавтология «Чему быть, того не миновать», либо частный случай приведенного выше переопределения предикатов.

Чтобы проверить суждение «Все состояния, которые будут иметь место в будущем, будут иметь место с необходимостью (являются необходимыми)» в случае с излагаемым здесь определением предиката N, надо проверить каждое суждение вида N(1 х), где | х обозначает состояния, которых нет сейчас, но которые будут иметь место со временем. Но, во-первых, мы не можем иметь даже терминов типа | х для всех будущих состояний. Во-вторых, чтобы принять такие высказывания сейчас, когда истинно ~ х, нужны какие-то основания, а не просто чисто психологическая вера. И среди этих оснований должны быть указаны правила признания истинности высказываний вида N(sx) для будущих состояний. А правила эти в общем сводятся к следующему: если у нас имеются такие высказывания у, которые мы принимаем как истинные сейчас, и если истинно у —» ж, то высказывание N(sx) истинно. Если же таких высказываний нет или имеются высказывания z такие, что z х, то ЛГ(зж) неистинно. Но всем хорошо известно, что случаи такого рода, когда находятся у, бывают, но бывают не так уж часто, да и то с массой оговорок, ошибок и т. д. Так что если принято определение М и N такое, что верны утверждения А и неверны В, то концепции фатализма и предопределенности суть результат логических ошибок.

§ 13. Модальные операторы

Слова «возможно» и «необходимо» могут играть роль не только предикатов, но и операторов, подобно тому как слова «существует» и «универсально» могут быть предикатами и кванторами. Будем для этой цели употреблять символы соответственно М и N. Они определяются так:

(Ma)x = Df М(а J. ж),

(-1 Ма)х = Df -л М(а J. ж),

(Na)x = Df- N(a I x),

(~<Na)x = Df - -> N(a J. ж).

§ 14. Актуальное, экзистенциальное, потенциальное

В определениях терминов в определяющей части могут фигурировать выражения с Е, М и 3. Будем в таком случае различать экзистенциальное, потенциальное и актуальное наличие определяемого признака. Например, согласно определениям

Q\a') = Df-E(clP(a,c)),

Q\a) = Df- М(с i Р(а, с)),

Q\a) = Df- (3 с)Р(а,с),

Q1 экзистенциально присущ a, Q2 — потенциально, Q3 — актуально. Если принимается (3 а)Х -> Е(а J. ж), то для предметов а актуальное совпадает с экзистенциальным. Если принимается М(а J. ж) —»Е(а J. ж), то потенциальное совпадает с экзистенциальным. Если принимается (За)Х —» М(а J. ж), то актуальное совпадает с потенциальным. Поскольку в традиционном понимании существование отвергалось как предикат и принималось только как квантор, то экзистенциальное и актуальное не различались, и актуальное противопоставлялось только потенциальному. В выражении «актуальное» никакого иного смысла мы не вкладываем.

§15. Измерение возможности

возможности состояний различаются по величине или степени. Например, употребляются выражения вида «зх очень возможно», «Возможность зх незначительна», «Возможность зх почти равна нулю», «зх более возможно, чем зу» и т. п., в которых в архаической форме явно проступает различие возможностей состояний по величине. В такого рода случаях к предикату М присоединяются некоторые языковые средства а, фиксирующие величину, и в результате получаются предикаты типа Ма. В частности, это могут быть предикаты типа «М со степенью, равной /3», «М со степенью большей (3» и т. п.

Частный случай предикатов типа Ма суть предикаты вероятности, где а есть выражение =/?,</?,>/?,> /3 или < /?, а /? суть числа на некотором отрезке от А до В. Принято измерять вероятность числами от 0 до 1. Это факт внелогический. Мы будем рассматривать 0 и 1 соответственно как «минимальная величина» и «максимальная величина». Выражения «Вероятность зх равна /3 (есть /3, больше (3, меньше /3 и т. п.)» суть лишь языковые трансформации высказываний типа Ма([ х) («| х возможно со степенью /?», «| х имеет степень возможности, равную (3» и т. п.). Будем их для краткости и удобства чтения записывать общепринятыми символами типа р(х) — [3, р(х) > /3 и т. п.

Логические свойства предикатов вероятности определяются утверждениями:

I- 0 р(х) < 1,

I- (р(х) = 0) <-> -I М([ х),

I- (р(х) > 0) <-> М(\. х),

которые суть частный случай утверждений для предикатов величин, и, дополнительно к ним, утверждениями:

F р(х А у) min (р(ж), р(у)),

Ь Р(х V у) > max (р(х), р(у)),

I- р(~х) — 1 -р(х), относящимся к операторам A, V,~. Для оператора условности имеют силу утверждения:

Н (х -> у) -> (р(ж) < р(у)),

I- ж —► (р(х —> у) = р(у)).

Наличие различных способов вычисления вероятности и возможность модификации правил вычисления нельзя рассматривать как наличие различных понятий вероятности. Дело в том, что слово «вероятность» есть лишь замена выражения «величина (степень) возможности», а точным определением его является не изобретение определений типа «вероятность есть...», а описание свойств предикатов вероятности и, более того, содержащих их высказываний. Правильно поставленным здесь будет вопрос такого рода: каков смысл выражений типа Ма([ ж), р(ж) = а, р(х) > а ит. п.? Логически правильный ответ на вопрос есть описание свойств предикатов Ма и описание способов нахождения а.

Употребляют выражение «вероятность высказывания». Оно многосмысленно и неопределенно. Оно может означать вероятность того, что некоторое высказывание х истинно или будет истинным, а эти выражения в свою очередь могут означать, что sx существует или наступит, а также то, что мы правы в отношении некоторого предмета, утверждая х.

Интерес здесь представляют два случая. Первый: вероятность того, что sx существует, есть вероятность того, что мы обнаружим существование I х. Здесь имеется в виду уже не состояние sx, а состояние ! у, где у есть высказывание «Существование sx обнаружено (установлено и т. п.)». Для этого случая имеет силу очевидное правило: р(у) < р(ж).

Второй случай: вероятность того, что мы правы, утверждая х. Это — частный случай вычисления вероятности для индивидуальный состояний. Здесь принимаются во внимание обстоятельства в пользу х и против. Только ситуация здесь запутывается потому, что в качестве обстоятельств «за» и «против» могут приниматься во внимание признаки предметов, о которых говорится в х (например, при установлении вероятности того, что мимолетно виденный нами человек есть А, принимаются во внимание известные нам признаки А и обстоятельства его жизни).

Несколько слов еще об одной любопытной логической ошибке. Встречается утверждение, что возможное событие рано или поздно осуществится. В самом деле, если М(! ж), то р(ж) > 0. А если число некоторых «испытаний», в которых может выпасть состояние sx, достаточно велико, то отсюда следует, что sx рано или поздно будет иметь место. Но это было бы верно, если бы частотный метод был единственным способом установления вероятности событий. Как мы видели, этот метод не применим для индивидуальных событий и вообще в случаях, когда число «испытаний» не может быть достаточно большим. Кроме того, высказывание р(ж) > 0 может быть просто следствием M(i ж), а последнее может быть принято только потому, что ж не ведет к противоречию, что нет таких ! у, что у -»~ж, и т. п.

§16. Отношения

Среди высказываний с двумя и более местными предикатами имеются такие, которые имеют строение aRb и a ~<Rb или могут быть путем некоторых языковых преобразований приведены к такому виду. Например, «а больше Ь», «а не больше Ь», «а в три раза тяжелее Ъ» и т. д. Такие высказывания называются высказываниями об отношениях, а то, о чем в них говорится, называется отношениями (т. е. если х есть высказывание об отношении, то предмет, обозначаемый термином sx, есть отношение). Например, термин «Тот факт, что а больше Ъ» обозначает отношение.

В символах aRb и a-<Rb буква R обозначает тип предиката отношения (и, соответственно, отношения), но не сам предикат полностью. Так, в высказывании «а больше Ь» субъекты суть термины and, предикат запишется выражением «первый предмет больше второго», тип отношения обозначает слово «больше». Термин Ь может быть парой, тройкой и т. д. терминов. Например, в высказывании «а находится между Ь, с и d» термин, идущий вслед за отношением «находится между», есть тройка терминов (6, с, d).

Оператор ? определяется для высказываний об отношениях следующим образом:

(a?Rb) = Df• ~(аЯ6)Л~(а--Л6).

Отношение R является рефлексивным, если и только если истинно aRa, симметричным, если и только если истинно (aRb) —» (bRa), и транзитивным, если и только если истинно (aRb) Л (bRc) —»(aRc).

§17. Сравнение

Отношения различаются как отношения сравнения (например, «тяжелее») и отношения порядка (например, «расположен правее»), В случае сравнения предметов выделяются какие-то признаки и выясняется наличие или отсутствие предметов этих признаков (сходство и различие), а также количественное сходство или различие по какому-либо признаку.

Имеется группа высказываний сравнения, в которых говорится о превосходстве одних предметов над другими по какому-то признаку. Будем их изображать символами вида

а > pb,

где символ > р читается как «превосходит по признаку р». Это — схематическое, или обобщенное, изображение группы высказываний, которые литературно могут иметь самую различную форму и знак отношения, в которых не всегда расчленен на > и р. Так, в высказываниях «а выше 6» и «а тяжелее Ь» слова «выше» и «тяжелее» суть частные случаи знаков отношения «превосходит по высоте» и «превосходит по весу».

Внутреннее отрицание и неопределенная форма таких высказываний имеют вид

а -I > pb и а?> pb.

Через отношение превосходства определяются отношения «тождественно по признаку» и «уступает по признаку». Будем их записывать символами = р и < р. Таковы, например, «а имеет такую же высоту, как d», «а равен по весу Ь», «а легче d», «а меньше 6» и т. п. Определения этих отношений можно эксплицитно записать так:

(а — pb) = Df• (а -| > pb) A (b -> > pa),

(а -л = pb) = Df- (а > pb): (6 > pa),

(а < pb) = Df - (b > pa),

(а -I < pb) = Df - (b > pa) : (а = pb),

где оператор есть сильная дизъюнкция («одно и только одно из двух»). Неопределенность определяется по общему правилу.

Логические свойства знака отношения > р определяются имплицитно системой аксиом С", среди которых имеются такие:

1) (- (а -л > pa)-,

2) (а > pb) Ь (6 -I > pa)-,

3) (а > pb) h (b > pa): (а — pb);

4) (а > pb) А (Ъ > рс) Ь (а > рс);

5) (а > pb) Л (6 = рс) Ь (а > рс)-,

6) (а — рЬ) А(Ь> рс) Ь (а > рс);

7) (а -> > pb) А (Ъ -> > рс) Ь (а -I > рс).

Первая аксиома означает, что отношение > р нерефлексивно, вторая — что оно несимметрично, четвертая — что оно транзитивно. Знак А — рВ здесь фигурирует лишь как сокращение для (Л~> > рВ) А (В-1 > рА), так что он может быть устранен.

Очень важное значение имеет следующее обстоятельство. Сравнение предметов всегда производится каким-то способом и относительно чего-то третьего, отличного от сравниваемых предметов. Например, чтобы сказать, что а движется медленнее, чем Ь (или что скорость a меньше скорости Ь), необходим либо некоторый способ сравнения величин, либо способ наблюдения движущихся предметов, — требуется тот, кто осуществляет сравнение и какие-то средства для этого. Так что условимся букву за знаками >, — и < считать не только знаком признака предметов, но и способом сравнения, т. е. будем в способ сравнения включать признаки, по которым осуществляется сравнение, и то, как производится сравнение.

§ 18. Отношение порядка

Отношение порядка рассмотрим несколько подробнее, так как оно играет весьма большую роль в последующем изложении.

Выражение «упорядоченность (порядок) предметов» мы принимаем за первично ясное, ограничиваясь примерами и пояснениями. В частности, расположение предметов в пространстве и появление или исчезновение их во времени суть случаи упорядоченности. Для фиксирования ее употребляются выражения «первый», «второй», ..., «выше», «ниже», «раньше», «одновременно», «правее» и т.п.

Порядок предметов а и Ь определяется относительно третьего предмета с, который будем называть точкой определения и отсчета порядка.

При установлении порядка предметов важны не только точки определения порядка, но также и способы некоторых действий. Мы можем, например, определить порядок точек а и Ъ на окружности относительно третьей точки с. Но порядок and тем самым еше остается не заданным: потребуется еще указать, будем мы двигаться по часовой стрелке или против. В зависимости от направления движения мы получим разные результаты: в одном случае окажется, что а будет дальше b относительно с, а в другом — Ъ дальше а. В дальнейшем мы будем употреблять выражение «способ отсчета (определения) порядка», полагая, что способ отсчета (определения) порядка включает также и точку отсчета (определения) порядка.

Высказывания о том, что а находится в отношении порядка R к b относительно способа установления порядка а, будем изображать символом

a(Ra)b.

Соответственно, а -< (Ra)b и a? (Ra)b суть его частное отрицание и неопределенная форма.

Вопрос о зависимости порядкового отношения предметов от способа установления порядка имеет различные аспекты.

Аспект логический. Пусть а и 0 суть различные способы установления порядка. При этом условии из a(Rla)b логически не следует как a(R'0)b, так и его отрицание ~ (а(Я'^)б). Здесь предполагается одно и то же время tl. Если в это время имеет место а(10а)Ь и a(R20)b, то, избрав вместо а другой способ 0, мы тем самым не можем изменить отношение a(R'a)b, т.е. сделать верным ~ (а(Я*а)Ь). Причем это выполняется в силу правила логики l-~ (я:Л ~ х).

Аспект эмпирический (или физический). Пусть a(R'a)b во время 0 и a(R20)b во время I2. Здесь возможно, что порядковое отношение аиЬ во время t2 изменится по каким-то причинам сравнительно с t1 так, что будет неверно a(R'a)b. В частности, причиной этого может быть применение способа /3. Но это не обязательно всегда так: в t1 возможно будет ~ (а(Л'а)б), хотя мы вообще не применяем (3. Здесь возможен также случай, когда применение (3 исключает применение а. И тогда в t2 будет верно а? (Rla)b и, следовательно, ~ (a(Rla)b), но будет неверно а -> (Rla)b.

Установление отношений порядка для некоторых предметов проблемы не представляет. Их порядок как-то дан, и споров на этот счет не возникает. Для других же случаев порядок устанавливается путем применения к указанным выше случаям правил логики, математики и специальных правил, выработанных в той или иной области науки применительно к особенностям изучаемых в ней предметов (например, теория относительности в физике).

Как и в случае со сравнением, высказывания о превосходстве одних предметов над другими по порядку относительно некоторого способа установления порядка, а также о тождестве предметов по порядку и о том, что одни предметы уступают другим по порядку (опять-таки относительно некоторого способа установления порядка) будем изображать символами вида

а > ab, а < ab, а — ab.

Аналогично — внутренние их отрицания и неопределенные формы:

а > ab, а ? > ab, а < ab

и т. д. Отличие от сравнения состоит лишь в том, что вместо признака р имеется в виду способ установления порядка.

Отношения = а и < а определяются через > а точно так же, как в случае с аналогичными отношениями сравнения, а отношение > а определяется имплицитно аксиомами УП', среди которых имеются аксиомы, аналогичные аксиомам сравнения 1-7 для > р (с той лишь разницей, что имеется в виду не признак р, а способ упорядочивания а).

Заметим, что различение > а и < а не предрешает вопроса о том, какое из отношений пар «дальше—ближе», «выше—ниже», «правее— левее» и т. п. будет > а и какое будет < а. Важно здесь лишь то, что если одно рассматривается как > а, то другое есть < а.

§19. Отношение «между»

Простейший случай отношения «между» определяется так: а находится между b и с относительно а, если и только если (а > аЬ)л(с > аа) или (Ь > аа) Л (а > ас). В общем виде (для любого числа предметов) это отношение определяется так: а находится между Ь1,..., Ьп относительно способов установления порядка а1,..., am, если и только если для любой пары Ь’ и bk из Ъ1,..., Ъп найдется такой о3 из al,...,am, что (а > aW) Л (bk > a3о) или (Ъ1 > a3 a) Л (а > c?d').

Для скоплений (и энок) предметов имеет силу следующее положение: скопление (энка) предметов А находится между Ь1,..., Ь” относительно а1,... ,ат, если и только если каждый предмет, входящий в А, находится между Ъ1,... ,Ъп относительно а1,... ,ат.

Выражение «а находится между Ъ1,... ,Ъп относительно а» будем записывать символом Ц(а(б’,..., Ъп)а).

§ 20. Существование отношений

Вопрос о существовании отношений заслуживает особого внимания, ибо к нему сводится вопрос о существовании пространства и времени.

Для отношений имеют силу общие положения о существовании состояний sx. Однако особенности этих состояний при этом не учитываются. Поэтому необходимо здесь сделать некоторые дополнительные разъяснения.

Термин s(aRb) является индивидуальным, как очевидно из сказанного выше, если и только если а и b суть индивидуальные термины. Если s(aRb) есть индивидуальный термин, то предикат существования для него имеет такой смысл: отношение s(aRb) существует, если и только если существует а, существует b и результат некоторых операций с а и b (сравнения and или установления их порядка) дает именно R. Для общих терминов s(aRb) проблема существования сводится к проблеме для индивидуальных терминов по рассмотренным выше правилам для любых общих терминов.

Из определения существования отношения aRb следует: если существует это отношение, то существуют оба предмета а и Ь; и если не существует по крайней мере один из а и Ь, то не существует и их отношение.

Другими словами:

Е([ (aRb)) Ч И Е(а) Л E(b) Л (aRb),

-> E(l (aRb)) ЧI—• Е(а) V Е(Ъ) Л (а Rb).

§21. Упорядоченный ряд

Скопление индивидов такое, что для любой пары а и b из них а > ab или Ь > аа, будем называть упорядоченным относительно а рядом. Индивиды, входящие в данный упорядоченный ряд, суть его элементы. Из определения очевидно: если a = ab, то а и Ь не могут быть элементами одного ряда. Они могут быть лишь элементами различных рядов.

х

Рис. 1

На рис. 1 изображены три упорядоченных ряда А, В и С. Все они упорядочены относительно индивида х, а стрелка указывает направление выбора индивидов и возрастание их порядка. На рис. 2 изображены упорядоченные ряды D, Е и F, элементы которых упорядочены относительно х, но способ установления порядка несколько иной: определяется поворотом х, причем изогнутая стрелка показывает возрастание порядка индивидов.

Элементы а и Ь ряда А, упорядоченного относительно а, будем называть соседними, если и только если ни один элемент А не находится между а и Ь относительно а. Так, на рис. 1 соседними являются а1 и а2, а2 и а3, а3 и а4 и т.д.

Определение соседних элементов ряда можно записать также следующим образом: а и Ь суть соседние элементы А, если и только если

(-13 с)((а 6 А) Л(Ь Е А)) Л |Ц((а, Ь)а),

где а, Ь и с суть индивидные переменные. Это определение есть определение актуально соседних элементов ряда. Если в нем заменить 3 на М, то получим определение потенциально соседних элементов ряда. В дальнейшем мы ограничимся формулировками определений с 3, полагая, что читатель сам сможет сделать дополнение «актуальное» и построить соответствующее определение с М.

Если а и b суть соседние элементы ряда относительно а, будем это записывать символами вида

a | ab.

На рис. 1 отношение ряда В и А обозначается выражением «отрезок ряда». Здесь В есть отрезок ряда А. Аналогично ряды Е и D на рис. 2 суть отрезки ряда F. В общем виде термин «отрезок ряда» определяется таким образом. Пусть and —элементы ряда А. Пусть В есть скопление индивидов такое, что все индивиды В не уступают по порядку a относительно а или не превосходят по порядку b относительно а (или то и другое). Если В С А, то В есть отрезок ряда А.

Из элементов ряда А могут быть выбраны такие элементы, которые образуют новый ряд В. Так, элементы а1, а3, а5 и а7 ряда А на рис. 1 образуют ряд. Но такой ряд нельзя назвать отрезком А. Это — отношение рядов уже иного рода.

Ряд есть скопление индивидов, и вопрос о его существовании решается в зависимости от того, как это скопление определено. Например, ряд из индивидов а, Ь и с, упорядоченных так, что а > ab и Ъ > ас, существует, если и только если существует все три индивида а, Ь и с и при этом они упорядочены именно так, как указано выше. Но пусть ряд А определен так: если а > ab, то а € А и Ь 6 А. Для существования такого ряда необходимо и достаточно, чтобы существовала по крайней мере одна пара индивидов а и b такая, что а > ab.

§22. Соприкосновение

Будем говорить, что индивиды а и Ь соприкасаются (не соприкасаются) относительно а и класса индивидов А, если и только если а> ab или b > аа, и при этом никакой индивид класса А невозможно (некоторый класс индивидов А возможно) поместить между а и Ъ относительно а. На рис. 1 индивиды а1 и а2 соприкасаются относительно а, а индивиды a3 и а4 не соприкасаются, поскольку между ними можно поместить некоторый индивид Ь.

Конечно, вопрос о том, можно или нет в том или ином конкретном случае поместить между а и b какой-то индивид с, решается в зависимости от некоторой условности, договоренности, практических показано на рисунке. Но он в каждом случае практически решается, и этого достаточно, чтобы оправдать данное определение. Для определения безразлично, можно или нет реализовать ту или иную операцию, ибо определение имеет целью установить значение терминов, а не правило выяснения значений истинности высказываний с этими терминами.

возможностей и т. п. Например, на рис. 3 изображены &

два индивида and, которые могут считаться сопри-касающимися, поскольку у них есть точка соприкос- с

новения к, и могут считаться ^соприкасающимися, --

поскольку возможно поместить индивид с так, как Рис.З

Ссылки на класс А будем опускать, предполагая, что в каждом случае имеется в виду какой-то или любой класс индивидов. Высказывание «« соприкасается с b относительно а» будем для краткости записывать символом

а || ab.

Принятое определение можно записать так:

1) (а || ab) Н F ((а > ab) V (Ъ > аа)) Л (-< ЛГс)Ц(с(а, &)а);

2) (а -I || ab) Н И ((а > ab) V (Ь > аа)) Л (ЛГс)Ц(с(а, b)a);

3) (а?|| ab) ЧН~(а || аЬ)Л~(а-> || ab).

Если не вводится оператор М, то в приведенных определениях следует заменить М на 3 .

В рассматриваемом случае различение отрицаний -■ и ~ исключительно важно: a -> || ab означает «а и Ь не соприкасаются относительно а», а ~ (а || ab) означает «Нельзя сказать (принять), что а || аЪ» (это может быть не только а || ab, но и a — ab, а?> ab и т. п.).

Из определения следует:

(a — ab) (a |j ab),

~(a || aHh~(a> ab) A~(b > ad) V

V ~ (-1 Mc)(((a > ас) Л (с > a6)) V ((- > ac) A (c > aa))), (a || ab) t- (a || ab).

§ 23. Непрерывность и прерывность эмпирического ряда

Ряд является эмпирическим, если и только если он образован эмпирическими индивидами. Ряд является абстрактным, если и только если он образован абстрактными индивидами.

Одни и те же предикаты могут определяться различно для абстрактных и эмпирических рядов. В частности, это имеет место для предикатов прерывности и непрерывности.

Ряд А будем называть непрерывным (сплошным) относительно а, если и только если все его соседние элементы попарно соприкасаются относительно а. Другими словами, ряд А непрерывен относительно а, если и только если

(V a)(V6)((a Е А) Л (b Е А)) Л ((а | ab) —* (a || ab)),

где a и b суть индивидные переменные. Ряд А будем называть прерывным (пористым) относительно а, если и только если по крайней мере для одной пары соседних элементов его верно, что они не соприкасаются относительно а. Другими словами, ряд прерывен относительно а, если и только если

(3 а)(3 b)((a Е А) Л (b Е А)) Л (a | ab) Л (а -> || ab).

Так, ряды В и С на рис. 1 непрерывны, а ряды В и В на рис. 2 прерывны.

§ 24. Начало и конец ряда

Ряд А имеет начальный элемент относительно а, если и только если найдется такой элемент этого ряда, что любой другой элемент этого ряда превосходит его по порядку относительно а. Если аиЬ суть индивидные переменные, то определяющая часть этого определения запишется так:

(3 a)(V b)((a Е А) Л((Ь Е А) Л ~ (а^Ь) —+ (Ь > aa))).

Элемент а есть начальный или первый по порядку элемент ряда А.

Ряд А имеет конечный элемент относительно а, если и только если

(3 a)(V d)((a Е А) Л ((b Е А) Л ~ (а ?=* Ь) —> (а > ab))).

(т. е. если найдется такой его элемент а, который превосходит все остальные по порядку относительно а). Элемент а есть конечный или последний элемент ряда А относительно а.

Ряд А не имеет начального элемента относительно а, если и только если

(V a)(3 b)((a Е А) —► (b Е А) Л (b > aa)).

Ряд А не имеет конечного элемента относительно а, если и только если

(V a)(3 b)((a E А) - (b Е А) Л (а < ab)).

Ряд может быть определен так, что при этом указывается, какой элемент является начальным, какой является конечным или и то и другое. Так, на рис. I индивид а1 есть начало ряда А, а индивид а8 — конец. Индивид Ь3 есть начало ряда Е на рис. 2, а индивид Ь6 — конец ряда D. Но ряды могут быть определены так, что не указывается, какие именно их элементы суть конечные и начальные. В одних случаях такого рода проделывается какое-то исследование, в результате которого устанавливается начальный или конечный элемент ряда (или и то и другое). В других же случаях выясняется или допускается невозможность сделать это или вообще допускается отсутствие начального или конечного элемента ряда (или того и другого).

Возможно так, что начиная с некоторого момента порядок индивидов ряда А относительно а установить невозможно. Это — случай с неопределенностью. Если х есть утверждение «Ряд А имеет начальный (конечный) элемент», а у —утверждение «Ряд А не имеет начального (конечного) элемента», то рассматриваемый случай запишется как ~ ж Л ~ у. Практически же здесь допустима та или иная договоренность. В частности, последний элемент ряда А, для которого можно установить порядок относительно а, правомерно принять за первый или последний элемент ряда.

Если же допускается, что ряд не имеет начального или не имеет конечного элемента, а из а не ясно, наступит или нет такой момент, когда порядок индивидов относительно а установить становится невозможно, то создается видимость рядов, не имеющих начального или конечного элементов (или даже того и другого). Однако это имеет смысл лишь на уровне допущений. Что касается утверждений типа «Ряд А не имеет начального элемента», «Ряд А не имеет конечного элемента» и т. п., то они не могут быть проверены эмпирически в случаях, о которых идет речь, в силу невозможности перебрать бесконечный ряд предметов и установить для них отношение порядка. Так что если из определения ряда или из способа построения его обозначения нельзя вывести начального или конечного элемента, а эмпирически соответствующие утверждения нельзя проверить, то одинаково правомерны как допущения отсутствия начального или конечного элемента, так и допущения их наличия или возможности. При этом только надо помнить, что это — лишь допущения, а не бесспорные истины.

Невозможность установить начальный (конечный) элемент ряда и отсутствие таковых не всегда совпадают. Это зависит от определения ряда.

Конечный элемент одного ряда не всегда есть начальный элемент другого, а начальный одного не всегда есть конечный элемент другого. Так, ряд А может быть таким относительно а, что, начиная с некоторого момента, установить порядок индивидов относительно а становится невозможным, так что ни о каком начальном или конечном элементе нового ряда относительно а говорить нельзя. Что касается ряда В относительно другого способа упорядочивания 0, то из утверждения о существовании начального или конечного элемента ряда А не следует утверждение о существовании конечного или начального элемента ряда В. Так что утверждение о том, что конечный (начальный) элемент одного ряда есть начальный (конечный) элемент другого, либо бессмысленно, либо неверно.

Если ряд не имеет начального элемента, из этого не следует, что этот ряд не существует и не существуют его элементы.

Будем говорить, что ряд ограничен, если и только если он имеет начальный и конечный элемент, и что ряд безграничен, если и только если не имеет начального или конечного (или того и другого) элемента. Из определений следует, что возможен ряд, о котором неверно сказать, что он ограничен, и нельзя сказать, что он безграничен (случай с неопределенностью).

§25. Интервал

Для выражений «интервал» и «интервал между а и Ь» не возможно построить определения по принципу «Интервалом (интервалом между а и Ь) называется...». Здесь возможны лишь определения сложных выражений, которые содержат слово «интервал» и высказывания с этом словом. Например, выражение «величина интервала между and равна десяти с» есть замена (по определению) выражения «между а и b можно поместить десять предметов класса с так, что предметы a,b и с образуют непрерывный ряд»; выражение «а произошло в интервале между бис» есть замена для выражения «а произошло между бис» (здесь слово «интервал» вообще является излишним).

Выражение «интервал» уместно использовать лишь для случаев, когда предметы суть элементы упорядоченного ряда. Точнее говоря, слово «интервал» есть лишь часть выражения «интервал между а и b относительно а», которое уместно исключительно для случаев, когда имеет место (a > ab) или (b > aa). Будем это выражение для краткости и наглядности записывать символом вида

{а, Ь, а}.

Предметы а и b будем называть границами интервала. Выражение {а, Ь, а} есть термин-субъект. Причем термины {а, Ь, а} и {&, а, а} не всегда тождественны по значению; аналогично для терминов {а, Ь, а} и {а, Ь, р}, если аир различны.

Термин {а, Ь, а} будем считать индивидуальным при заданном а, если и только если а и b суть индивидуальные термины. Все прочие термины интервалов определяются в конечном счете через термины типа {а, Ь, а} по общим правилам введения терминов.

§26. Протяженность

Интервалы характеризуются величиной или протяженностью. Выражения вида «Протяженность {а, Ь, а}» будем записывать символами вида

1{а, Ь, а},

где I есть просто слово «протяженность».

Протяженность интервала между эмпирическими предметами определяется возможностью или невозможностью поместить между ними какие-то предметы и числом последних, а также путем сравнения с другим интервалом. Здесь способ нахождения величины интервала есть одновременно способ определения выражения, в котором говорится об этой величине, — типичный пример для «операционных» определений. Так, в выражении «интервал между а nb равен десяти с» указана величина интервала — «десять с», а в выражении, через которое оно определяется («между а и Ъ можно поместить...»), указан некоторый способ измерения величины интервала.

Сравнение интервалов {а, Ь, а} и {с, d, fl} предполагает такое их сопоставление, чтобы можно было представить а,Ь,с и d упорядоченными относительно а или fl так, что либо а — ас (или а — flc), либо Ь = ad (или b — fld), но чтобы при этом интервалы не изменялись по величине, т. е. представить как наложение одного из них на другой, совмещая одни из их элементов. Условимся накладывать {с, d, fl} на {а, Ь, а} так, что {с, d, fl} равен по протяженности {с, d, а}.

Возможны такие имплицитные определения выражений, сравнивающих интервалы:

(/{а, Ъ, а} — 1{с, d, а}) Н h ((a — ас) «-*(& = ad)),

(1{а, Ъ, а} > 1{с, d, а}) -41- ((а = ас) —>

—> (Ъ > ad)) Л ((b = ad) —> (с > аа)),

(1{а, Ь, а} < 1{с, d, а}) Н I- (Z{c, d, а} > /{а, Ъ, а}).

Интервалы {а, Ь, а} и {а, b, fl} не обязательно равны, если различны а и fl.

Для обозначения протяженности отдельно взятых предметов используются выражения «длина», «высота», «продолжительность» и т. п. Выражение «Протяженность а» будем кратко записывать символом

1а.

Протяженность эмпирических предметов определяется (там, где это уместно) так: протяженность эмпирического предмета а относительно некоторого способа установления порядка а равна протяженности интервала {Ь, с, а} такого, что если а поместить между b и с, то Ъ и а будут соприкасаться относительно а. Частный случай — в качестве Ъ и с берутся части а такие, что все прочие части а находятся между бис относительно а.

Протяженность эмпирических предметов определяется относительно некоторых способов установления порядка. Если а есть предмет, а не интервал между предметами, то в определении должно фигурировать выражение «1а относительно а». Будем его записывать символом

/{а, а}.

Если а и р различны, то не всегда 1{а, а} — 1{а, р].

Приведенное выше определение 1{а, а} можно записать так:

F (Ь || аа) Л (а || ас) —* (/{а, а} — 1{Ь, с, а}).

Или, в другой форме,

F (/{а, а} = l{b I х,с I х, а}),

где х есть (Ь || аа) Л (а || ас).

Для абстрактных предметов и интервалов между ними утверждения о протяженности принимаются как допущения. Здесь единственными ограничителями являются логическая непротиворечивость утверждений и интересы приложения теоретических построений. Известны случаи, когда допускаются предметы, не имеющие протяженности, бесконечно малые и бесконечно большие интервалы, нулевые интервалы и т. п. Для эмпирических предметов такого рода допущения неправомерны. Так, невозможно наблюдать предметы, не имеющие никакой протяженности или имеющие бесконечно малую протяженность; невозможно зафиксировать бесконечно большой интервал между эмпирическими предметами и т. п. Все допущения такого рода нельзя подтвердить и опровергнуть опытным путем.

Если для каких-то эмпирических предметов и интервалов между ними не существует способ установления (нахождения, измерения) величин из протяженности, то соответствующие выражения не имеют смысла. Подчеркиваем, что в такого рода случаях не установлен (или даже не может быть в принципе установлен) смысл выражений 1а. Но это никак не означает того, что упомянутые предметы и интервалы не имеют протяженности, т. е. что 1х — 0.

Заметим, что выражения вида la > lb, la < lb и т. д. тождественны выражениям вида соответственно а > lb, а < lb и т. д. (т. е. «а превосходит b по протяженности» и т.д.).

Если ~ (а > ab) Л ~ (Ь > аа), то понятие интервала к этому случаю не применимо. В этом случае на вопрос о том, каков интервал между а и Ь, следует ответить лишь так: ~ (а > ab) Л ~ (Ь > аа). И если непременно потребуется установить интервал между а и Ь, надо найти такой способ р упорядочивания а и Ь, согласно которому ((а > рЬ) V (b > pa)).

§27. Абстрактные ряды

Абстрактный упорядоченный ряд есть ряд, элементы которого суть абстрактные предметы.

Если элементы абстрактного ряда не имеют протяженности, то многие предикаты для них определяются иначе, чем для эмпирических рядов. Это имеет первостепенное значение для устранения целого ряда затруднений (вроде парадоксов Зенона). Последние совершенно непреодолимы, если не учитывать различия абстрактных и эмпирических рядов и того, что одни и те же предикаты определяются различно в зависимости от того, к каким рядам они относятся.

Пусть а, Ъ и с суть переменные для терминов, обозначающих элементы ряда А, т. е. а € А, Ь € А, с € А.

Примем определения:

1) ряд А непрерывен относительно а, если и только если

(V a)(V b)(3 с)Ц(с(а, Ь)а);

2) ряд А прерывен относительно а, если и только если

(3 а)(3 b)(-> 3 с)Ц(с(а, Ъ)а).

Несовпадение этих определений с соответствующими определениями для эмпирических рядов очевидно. Посмотрим, к каким последствиям ведет такая интерпретация абстрактного ряда в терминах эмпирического ряда, при которой осуществляется следующее: для каждого элемента а абстрактного ряда находится элемент Ь эмпирического ряда такой, что принимается b —•■ а (т. е. каждому элементу абстрактного ряда приводится в соответствие элемент эмпирического ряда). В таком случае непрерывность эмпирического ряда будет выступать так, будто для любых двух элементов эмпирического ряда имеется такой элемент, который помещается между ними. И так без конца. Но это ошибочно.

Причина ошибки — неправильная интерпретация абстрактного ряда: интерпретироваться должны не только его элементы, но и предикаты, введенные для абстрактных предметов. Правильная интерпретация в рассматриваемом случае имеет такой вид. Если абстрактный ряд непрерывен, то интерпретация его непрерывности как непрерывности эмпирического ряда означает:

1) абстрактный непрерывный ряд сопоставляется с эмпирическим непрерывным рядом;

2) каждому элементу абстрактного ряда сопоставляется какой-то элемент эмпирического ряда, а не перерыв («пустое место») между элементами эмпирического ряда — таких перерывов в последнем нет.

Так что если «спроецировать» лирический ряд, мы наткнемся на являющийся элементом этого ряда.

страктного ряда это может быть один и тот же индивид эмпирического.

На рис. 4 изображен отрезок АВ, точки которого образуют непрерывный абстрактный ряд, и тела a, b, с, d, образующие непрерывный эмпирический ряд CD. Пунктирными стрелками указано, что если ряд CD есть интерпретация ряда АВ, то проекция любой точки АВ наткнется на какое-то из тел a, Ь, с, d. Причем точки

точку абстрактного ряда на эм-какой-то эмпирический индивид, Причем для различных точек аб

,, 1 234

А I 1---ГТ—Г-

t ♦♦

Cab

Рис. 4

2 и 3 проецируются

на одно и то же тело Ь, точка 4 проецируется в стык тел b и с, т. е.

сопоставляется сразу двум телам эмпирического ряда.

Если абстрактный ряд интерпретируется так, что каждому элементу его ставится в соответствие элемент эмпирического ряда, причем разным его элементам ставятся в соответствие разные элементы эмпирического ряда, то непрерывный ряд не имеет эмпирической интерпретации.

Таким образом, интерпретация абстрактного ряда не есть просто интерпретация его элементов. Это есть еще подыскание подходящей интерпретации прочих терминов, относящихся к рядам, не вступающей в конфликт с соответствующей терминологией для эмпирических рядов.

Заметим кстати, что многочисленные парадоксы и противоречия в науке возникают вследствие того, что смешиваются абстрактные и эмпирические предметы, а ели они и различаются, то нарушаются правила интерпретации первых в терминах вторых.

§ 28. Конечные и бесконечные ряды

Ряды различаются как конечные и бесконечные с точки зрения числа входящих в них элементов и протяженности. Случай для протяженности сводится к случаю для числа элементов ряда, а последний рассмотрим в следующей главе.

Говоря о конечности и бесконечности рядов, надо учитывать различие эмпирических и абстрактных рядов. Для эмпирического ряда, например, имеет силу положение: если число элементов его бесконечно, то он бесконечно протяжен. Для абстрактных рядов это не всегда так.

Если эмпирический ряд ограничен, то он имеет конечное число элементов и конечную протяженность; и наоборот. Здесь можно построить подходящую систему определений с весьма любопытными следствиями. Например, отрезок АВ на рис. 4 содержит бесконечное множество точек, но имеет конечную протяженность.

Для абстрактных рядов правомерны любые допущения, лишь бы они были логически непротиворечивы. Таковы, например, допущения бесконечно протяженных рядов. Можно также допустить ряд, который бесконечно протяжен, но имеет начальный и конечный элемент (если, например, допустить бесконечно большой интервал между его элементами). Для эмпирических же рядов такие допущения либо остаются эмпирически неверифицируемыми гипотезами, либо же такие абстрактные ряды не имеют эмпирических интерпретаций. Так, абстрактный ряд с бесконечно протяженными интервалами между какими-либо его элементами не имеет эмпирической интерпретации.

§29. Структура

Интуитивно приемлемым кажется такое определение структуры: структура есть скопление индивидов, для любого элемента a которого найдется такой другой его элемент Ь и такой способ установления порядка а, что a > ab или b > aa. Однако такого рода определение, цель которого — наметить для читателя, о чем будет идти речь. С таким определением невозможны строгие рассуждения.

Покажем сначала, как вводятся первичные термины структур. Они могут быть введены разными способами, и, в частности, — таким.

Выражение «Структура, которая образуется элементами скопления А относительно класса способов установления порядка В» будем считать термином, тождественным по значению термину «Скопление индивидов А такое, для любого элемента а которого найдется другой его элемент Ъ, и такой способ установления порядка а, принадлежащий к классу В, что а > ab или Ъ > аа».

В приведенном определении слово «структура» определено как часть сложного термина. Чтобы ввести его в употребление как термин, производный от первичных терминов структур, можно воспользоваться общими правилами введения терминологии, в том числе — обобщением.

Приведенное определение является эксплицитным. Из него очевидно, что индивиды какого-либо скопления образуют структуру лишь относительно некоторых данных способов установления порядка. Если последние не даны, ни о какой структуре и речи быть не может. А так как выбор этих способов есть дело исследователя, то он не имеет права спрашивать относительно какого-то скопления А, есть оно структура или нет, если предварительно не задал (не выбрал) класс способов установления порядка В. Структура — скопление, но не всякое скопление — структура (хотя это не исключает того, что для любого скопления из двух и более индивидов могут быть найдены какие-то способы установления порядка такие, что это скопление будет структурой).

Имлицитно термины первичных структур определяются так: элементы скопления А образуют структуру относительно класса способов установления порядка В, если и только если для любого элемента a этого скопления найдется другой его элемент Ъ и такой способ установления порядка а, относящийся к классу В, что a > ab или b > aa. Используя индивидные переменные а и b и переменную для способа установления порядка а, определяющую часть (после слов если и только если) можно записать так:

(V а)(Э 6)(3 а)((а € A) A (b е A) A (a G В) —> ((а > ab) V (b > aa))). пунктирными стрелками, будет иная (о чем скажем ниже) структура из a, Ь и с, но все же структура. Но зато индивиды а и с не образуют структуру относительно способа установления порядка, указанного на рис. 6 пунктирными стрелками.

В имплицитном определении слово «структура» определено как

часть высказывания. И требуются еще дополнительные логические

операции, чтобы ввести термин «структура» как самостоятельный тер

мин. Впрочем, это не является обязательным делом, если при оперировании этим термином в ориентировочном смысле иметь в виду, что в рассуждениях всегда предполагаются термины, обозначающие конкретные структуры (в конечном счете — первичные термины структур).

Частный случай скопления А, указанного выше, есть скопление, состоящее из индивидов а1,..., я" (п > 2), а частный случай класса В — перечисление способов установления порядка а',..., am (т > 1).

На рис. 5 показано, что индивиды а, b и с образуют структуру относительно способов установления порядка а1 (точка отсчета порядка х, направление возрастания указано стрелкой) и а2 (у и стрелка). Но эти индивиды могут образовать структуру относительно других способов установления порядка, в частности — так, как показано на рис. 6. Здесь точка отсчета одна, но порядок а, b и с устанавливается путем проецирования их на линию, указанную большой, сплошной стрелкой. Если изменить способ проецирования, как указано

Рис. 5

Рис. б

Упорядоченный ряд есть, очевидно, структура. Простейшая структура — структура из двух индивидов и одного способа установления порядка.

Определение структуры дает право считать или не считать то или иное скопление А структурой относительно В. Но оно не содержит в себе всего того, что мы можем знать о структуре. Структура может исследоваться как самостоятельный предмет. В частности, могут выясняться интервалы между ее элементами, число элементов, их порядок друг относительно друга и т. д. Причем если индивиды А суть эмпирические индивиды, то структура из них есть также эмпирический индивид, хотя мы сами выбираем способы установления порядка и можем их менять. От этого выбора зависит лишь способ описания скопления А, от смены этих способов изменяется лишь способ описания того же самого скопления А, а не само это скопление. К структурам относится все, сказанное об отношениях порядка вообще, только в усложненной форме.

Использование терминов структур в качестве субъектов высказываний (предицирование структур) не означает еще того, что можно ассоциировать их с любыми предикатами, получая осмысленные высказывания. Имеются такие предикаты, для которых еще должны быть установлены условия приписывания их структурам (т. е. установлен — их смысл в сочетании с терми-

нами структур). С примерами такого рода нам придется еще _______ , _________ ___ встречаться.

Пусть скопление Л1 обра

зует структуру С относитель-но В. Пусть А2 есть скопле-'——1 ние, образующее структуру D

Рис. 7 точно так же относительно В.

Если Л1 С Л2, то будем говорить, что С есть подструктура структуры D относительно В. Если ~ (Л2 С Л1), то С — собственная подструктура структуры D. На рис. 7 скопление индивидов а, & и с есть подструктура скопления индивидов а, Ь, с и d.

Пусть скопление Л1 образует структуру С1 относительно В, а скопление А2 — структуру С2 относительно В. Объединением структур С1 и С2 будем называть такую структуру С, которая образована из элементов скоплений А1 и А2 относительно В, причем С1 и С2 — подструктуры С.

Пусть В —класс способов установления порядка, относительно которого элементы скопления А образуют структуру С. Будем говорить, что скопление индивидов D находится внутри С (включено в С) относительно В, если и только если все элементы D находятся между элементами А относительно В.

В зависимости от того, какими являются элементы структур — эмпирическими или абстрактными предметами, — различаются эмпирические и абстрактные структуры. Проблемы эмпирической интерпретации последних являются порой еще более сложными, чем проблемы эмпирической интерпретации абстрактных рядов.

Индивид а находится внутри структуры А относительно /?, если и только если а находится между граничными точками А относительно /3.

Индивид а находится вне структуры А относительно класса способов установления порядка В, если и только если для любой пары Ь' и bk ее граничных точек и для любого а такого, что a € В, имеет силу утверждение:

(6* > abk) —»((а > ab‘) V (а < abk)).

Индивид а не находится внутри А относительно В, если и только если он есть граничная точка А или находится вне А относительно В.

Следствия:

1) если а находится вне А относительно В, то существует структура А* такая, что А есть собственная подструктура А* относительно В;

2) если структура А находится вне В, то В находится вне А;

3) если А находится внутри В, то В не находится внутри А.

Если А есть структура типа X относительно класса способов установления порядка а, то А есть структура того же типа X относительно класса способов установления порядка /3 такого, что a С fl. В частности, если А есть пространственная (временная) структура относительно а, то А есть пространственная (временная) структура относительно fl.

§ 30. Существование структуры

Вопрос о существовании структур сводится (в соответствии с правилами построения терминологии) к вопросу о существовании структур, обозначаемых первичными терминами структур. А существование последних определяется в зависимости от существования их элементов и отношений между ними, удовлетворяющих определению соответствующих терминов. Например, структура, которую образуют индивиды а, Ь и с относительно а, существует, если и только если существуют а, Ь, с и между ними имеют место отношения порядка относительно а, удовлетворяющие определению структуры. Аналогично обстоит дело с предикатом возможности.

Таким образом, утверждение «Структура не существует (невозможна), если не существуют (невозможны) образующие ее индивиды» есть следствие определения структуры и предиката существования (возможности) применительно к отношениям вообще и структурам в частности.

§31. Протяженность и порядок структур

Вопрос о протяженности структур сводится к вопросу о протяженности индивидов, интервалов и рядов и к операциям с соответствующими величинами. Таковы, как известно, операции по нахождению площадей и объемов фигур и тел. Мы эти вопросы не рассматриваем. Ограничимся краткими замечаниями.

Если принято, что протяженность эмпирического индивида всегда больше нуля, то из этого следует, что протяженность любого рода эмпирической структуры также больше нуля.

Протяженность индивидов устанавливается так же, как протяженность некоторой структуры, образуемой частями этих индивидов.

Протяженность подструктуры А данной структуры В не может превышать протяженности В. Если индивид a находится внутри структуры А, то его протяженность не больше протяженности А. Если индивид а есть элемент структуры А, его протяженность не больше протяженности А.

Для установления порядка структур необходимы дополнительные соглашения. Например, возможно такое соглашение: структура А превосходит по порядку структуру В относительно а, если и только если

(V а)(3 b)((b £ В) Л ((а £ А) -> (а > ab)),

где а и b суть переменные для терминов эмпирических индивидов. Более сильное определение получится, если определяющей части придать вид:

(V a)(Vb)((b € В) Л (а £ Л) -> (а > ab)),

С точки зрения первого определения возможен случай, когда А > аВ и при этом А находится внутри В относительно С такого, что а £ С. С точки зрения второго определения это исключено.

§32. Соответствие

Выбрать предмет — значит так или иначе обратить на него внимание, указать на него, назвать, представить и т. п. Выбор предметов есть первичная познавательная операция, разъясняемая на примерах.

Выбор двух или более различных предметов есть их сопоставление. Обращаем внимание на то, что в случае сопоставления предметов каждый из сопоставляемых предметов может быть выбран независимо от других. Выбираемые предметы различны, так что предмет сам с собой не сопоставляется.

Если принято (установлено) некоторое правило сопоставления предметов, будем говорить, что установлено соответствие этих предметов. Соответствие устанавливается только между различными предметами. Точнее понятие соответствия определяется для конкретных его видов. Соответствие предметов считается установленным с точки зрения какой-то данной группы лиц, и без этих лиц оно вообще не существует. Независимо от лиц, устанавливающих соответствие предметов, последние сами по себе в соответствии не находятся.

Высказывание «Предмет Ь соответствует предмету а» (или «Предмету а соответствует предмету 6», «Предмету а поставлен в соответствие предмет 6») будем кратко записывать символом

а <= Ь,

где <= есть двухместный предикат «второй соответствует первому».

Если а и Ь суть индивидуальные термины, то предикат <= имеет такой смысл: а <= Ь, если и только если ~ (а 6) и принято решение в некоторых заданных условиях х всегда вслед за выбором а выбирать Ь. Выражение «всегда вслед за выбором а выбирается Ь» равносильно выражению «если выбирается а, то вслед за этим выбирается Ь». Так что выражение а <= Ь есть лишь сокращенная запись более сложного выражения, содержащего высказывание типа у —> z.

Если Ь есть общий термин, а а индивидуальный, предикат соответствия определяется так:

(а <= Ь) = Df■ (V а)((а —■■ Ь) —> (а <= а)),

(а -I <= 6) = Df- (3 «)((« —1 6) Л (а <= а)),

где а есть индивидная переменная (т. е. а <= Ь, если и только если любой индивид, который есть Ь, соответствует а). Если а есть общий, а Ь — индивидуальный термин, то определение примет вид:

(а <= b) = Df - (V а)((а -- а) -» (а <= 6)),

(а -I <= 6) = Df - (3 а)((а —'■ а) Л (а <= 6)),

(т. е. a <= b, если и только если любому индивиду, который есть а, соответствует Ь). Если а и Ъ оба общие термины, то

(а <= b) = В/ (V a)(V /3)((а а) Л (/3 Ь) -» (а <= /3)),

(а -л <= b) = В/ (3 а)(3 /3)((а! —* а) Л (/3 —Ь) Л ~ (а <= /3)), где аир суть индивидные переменные. Например, любой экземпляр слова «стол» соответствует любому экземпляру столов. Из определений следует:

(а^Ь) —»~ (а <= Ь) Л ~ (Ь <= а).

§33. Соответствие классов

Установление соответствия предметов практически целесообразно тогда, когда приходится иметь дело с отношениями классов предметов. По нашему мнению, оно имеет смысл лишь для непустых и непересе-кающихся классов. При этом мы исходим из таких соображений.

Из рассмотрения случаев, когда устанавливают соответствие пересекающихся (имеющих общие элементы) классов, обнаруживается, что их общие элементы так или иначе удваиваются. Если индивид а включается в класс Айв класс В, то при сопоставлении А и В как различных классов (иначе сопоставление невозможно) рассматривают а как общий термин, а в качестве индивидуальных терминов фигурируют а I (а £ А) (т. е. берется индивид а, включаемый в А) и a J. (а € В) (т.е. берется индивид а, включаемый в В).

Рассмотрим такой пример. Пусть устанавливается какое-то соответствие класса натуральных чисел А и класса четных чисел В. Число 2 включается как в класс А, так и в класс В. Но дело в том, что выражение 2 не есть индивидуальный термин (2 не есть единственный индивид, обозначаемый словом «два»). Существует много индивидов, которые суть «два». И мы их здесь можем продуцировать в любом количестве: 2, 2, 2,... И все они различны (хотя бы потому, что занимают различное место в пространстве). Аналогично для всех других чисел. Так что при установлении соответствия классов натуральных и четных чисел берутся фактически не А и В, а совсем другие классы, являющиеся лишь их подклассами, а именно: 1) класс, в который включается только один экземпляр единицы, только один экземпляр двойки и т. д.; 2) класс, в который включается только один экземпляр двойки, только один экземпляр числа четыре и т. д. Термины этих классов (соответственно А* и В*) в отличие от А и В являются общими, а не индивидуальными. И при этом двойки, включаемые в эти классы, суть различные индивиды. Поскольку берутся любые классы такого рода, то получаемые утверждения в явной форме имеют вид (Va)(3 0)х, где а и /3 — переменные для классов такого рода, ах — результат сопоставления их. Классы А* и В* —непересекающиеся классы. Классы же Л и В таковы, что В С А. Причем А содержит ничем не ограниченное и не поддающееся учету множество единиц, двоек и т.д. Аналогично В.

Итак, будем говорить, что класс В поставлен в соответствие классу А, если и только если А и В не пересекаются, оба не являются пустыми, и каждому элементу А поставлен в соответствие по крайней мере один элемент В. Это есть определение предиката <= для терминов классов. Из определения следует:

1) если хотя бы один из А и В пуст, то ~ (А <= В) Л ~ (В <= А);

2) если А и В пересекаются, то ~ (А <= В) Л ~ (В <= А);

3) если А С В, то ~ (А <= В) Л ~ (В <= А);

4) ~ (А <= А).

Пусть a, b,c,d — индивидные переменные; А и В — переменные для классов; х — высказывание «А и В не пусты и не пересекаются»; у — высказывание «Каждому элементу А ставится в соответствие один и только один элемент В», т. е.

(Va)(3 b)(Vc)((a € А) Л (b € В) Л (a <= Ь)А

Л((а <= с) Л (с е В) —+ (Ь с))),

z есть высказывание «Разным элементам А ставятся в соответствие разные элементы В», т. е.

(V a) (V b) (V с) (V d) ((a G А) Л (Ь G А) Л (с G В)Л

A(d € В) Л (а <= с) Л (b <= d) Л ~ (а b) —(с^ d)).

Примем такие определения:

1) класс В однозначно соответствует классу А (сокращенно А В), если и только если х А у Az, т. е.

(А В) = Df- (ж Л у А г);

2) классы А и В находятся во взаимнооднозначном соответствии (сокращенно А <^>В), если и только если (А В) А (В А), т. е.

(А ^>В) ее Df - (А «= В) Л (В «= А).

§34. Функция

Если указан (установлен) общий способ, с помощью которого для каждого элемента Ка можно установить, какие именно элементы КЪ ему соответствуют, то будем говорить, что задан (установлен) способ или тип соответствия класса КЬ классу К а или что задана функция Ь от а.

Высказывания о том, что Ь есть функция от а, будем записывать символами вида

&<=/(«)>

где f обозначает способ соответствия (тип функции), а <= / есть двухместный предикат «первый есть функция f от второго».

Для одних и тех же Ка и КЬ могут быть установлены различные способы соответствия, фиксируемые высказываниями

Ь 4= / '(a),..., Ь 4= /"(a),

где n > 1. Например, соответствие класса нечетных чисел КЬ классу четных чисел К а может быть установлено равенством Ь = а + 1 и равенством b = а ± 1. И если принято решение установить упомянутые виды соответствия класса КЬ классу Ка, все b <= /'(a) считаются истинными.

§ 35. Упорядоченные состояния

Важное значение для науки имеет фиксирование порядковых отношений состояний. Например, «После того, как прозвенел звонок, у собаки началось отделение слюны», «Вокруг проводника возникает магнитное поле в то время, как по нему проходит электрический ток» и т. п.

Частный случай высказываний, учитывающих порядок событий, суть высказывания типа «у в отношении R к х (или к тому, что а:)». Будем их записывать символами

(Rx)y.

Например, «у через час после того, как х».

Встречаются, далее, высказывания вида «х и затем у», «х и перед этим у», «х и слева от этого у» и т. п. Это своеобразные упорядоченные конъюнкции нередко употребляются неявно и смешиваются с обычными. Именно на таком смешении базируется, на наш взгляд, исключение некоторых законов классической логики в «логике микромира».

В общем случае упорядоченные конъюнкции имеют вид

х Л (Rx)y.

Аналогично возможны упорядоченные дизъюнкции

х V (Rx)y.

Для этих конъюнкций и дизъюнкций не всегда верны утверждения х Л (Rx)y —» у Л (Ry)x,

х V (Rx)y ->yV (Ry)x.

Так что для них нельзя принимать правила коммутации

х Л (Rx)y Н у Л (Ry)x,

х V (Rx)y h у V (Ry)x.

Для них верны правила коммутации лишь такого вида:

(х Л (Я'х)у) Л ((аЯ'б) -> (М?2а)) h (у Л (Я2у)а:),

(ж V (Я'х)у) Л ((аЯ'б) -► (Ы?2а)) Г (у V (R2y)x).

Например, из высказывания «х и затем у» следует «у и до этого х», поскольку из «а происходит после Ь» следует «Ь происходит до а».

§ 36. Условные высказывания с отношением порядка

Встречаются условные высказывания вида

х -»(Rx)y,

где R есть отношение порядка. Например, «Если по проводнику пропустить электрический ток, то одновременно с этим (или сразу после этого) вокруг проводника возникает магнитное поле». Благодаря наличию R эти высказывания приобретают дополнительные свойства, в частности, такие:

(х -»(Rx)y) Ч h (V sx)((Rx)y),

(х -> (Я'х)у) Ч Н А((аЯ'Ь) -> (М?2а)) h у -> (Я2 ~ у) ~ х).

§37. Функциональная зависимость

Для любых двух непустых классов К а и Я6, в принципе, может быть найден способ соответствия / такой, что b <= /(a). Это тривиально: условимся, например, любому а ставить в соответствие какой-то один b или любой Ь. Это тривиально, поскольку установление соответствия классов есть волевое решение лиц, имеющих дело с классами.

Однако имеются случаи, когда способ соответствия навязывается какими-то обстоятельствами и не является произвольно выбираемым.

Это бывает тогда, когда между индивидами одного класса и индивидами другого класса, независимо от того, изучают их или нет, имеется какая-то связь (зависимость). Высказывания, получаемые в таких случаях, суть высказывания вида

s(Rx)y <= /(i ж),

в которых речь идет не просто об индивидах, но о состояниях индивидов.

Эти высказывания получаются из высказываний вида

ж‘ —> (Rx')y'

таких, что

(1 ж* ж) Л (I у' -^1 у’) Л(\.у<= /(I ж)).

Здесь f подбирается с таким расчетом, чтобы выполнялось условие

F (J. (Rx)y <= /(J. ж)) Л ж* —»(Лж*)у‘

для любых ж’ и у' таких, что J. ж‘ —4 ж и 1 у1 —4 у. Такие высказывания — высказывания о функциональной связи состояний.

Приведем пример. Наблюдаются состояния предметов а и Ъ последовательно во времени по некоторому признаку Р. Причем фиксируется величина Р для a и затем через некоторое время t фиксируется величина Ь по этому признаку. Это — тип отношения R в высказывании (Rx)y. Составляется таблица величин а и Ь. Изучение последней позволяет установить, что с некоторыми огрублениями, допущениями и т. п. величина b всегда примерно в два раза больше величины a. Это — тип функции / в высказывании 1 у <=■ /(I ж). Высказывания ж’ и у' здесь — высказывания о величине а и, соответственно, b в данное время и в диапазоне величин, установленном также наблюдением (это может быть задано таблицей).

Высказыванию | (Rx)y <= /([ ж) можно придать вид условного высказывания

ж —> (Rx)y*,

где / внесено в у так, что получается высказывание у*. Так, в рассмотренном выше примере высказыванию можно придать вид: «Если a имеет некоторую величину, то через время t предмет b будет иметь величину вдвое больше».

§38. Связи

Высказывания вида

х -> (Rx)y,

s(Rx)y <= f(sx)

такие, что высказывание

х -» у,

не является логически доказуемым (логически истинным), будем называть высказываниями о связи состояний | х и ! у или о физическом следовании | у из J. х. Если a есть такое высказывание, то sa есть термин связи, а то, что обозначается этим термином, — связь состояний. Последние суть элементы связи. Будем говорить также, что упомянутые состояния находятся в связи (связаны).

Поскольку высказывание о функциональной связи можно трансформировать в условное высказывание с отношением, в дальнейшем мы будем высказывания об эмпирических связях брать в обобщенной форме х —» (Rx)y, где у может содержать описание некоторой функции.

Если в х —» (Rx)y отношение R означает тождество координат для х и у, та Rx опускают, и высказывания принимают вид х —> у. Но отношение Rx в них так или иначе предполагается. Например, в высказывании «Если по проводнику пропустить электрический ток, то вокруг него возникает магнитное поле» предполагается то же самое время или время сразу после наступления первого события.

Высказывание А о связи строится с таким расчетом, чтобы из высказываний ж! можно было чисто логически получать высказывания у', такие, что [х'^К^хи^у' Е К I у, аж, у и Rx входят в А. Другими словами, а строится так, чтобы имело место

ж’ Л (| х € К | ж) Л А И (Яж’)у‘.

Поэтому А можно рассматривать как особое правило получения одних высказываний из других. Но это правило не логическое (относящееся к свойствам языка), а относящееся к свойствам той или иной предметной области.

В зависимости от строения ж и у различаются простые и сложные высказывания о связях. Соответственно различаются и связи. Так, в высказывании (а Л Ь) —> (Я(а Л Ь)с) высказывание ж есть сложное высказывание аЛЬ, состоящее из двух высказываний; в а —> (7?a)(6Vc) сложным является у.

Свойства сложных высказываний о связях определяются через простые особыми логическими правилами. Например, это правила вида

(a V Ъ -> (Я(а V b))c) Ч h (а -> (Яа)с) Л (Ь —» (ЯЬ)с),

(а —» (Ra)(b Л с)) ЧI- (а —»(Яа)Ь) Л (а —> (Яа)с),

и т. п. Но, кроме того, здесь возможны правила совершенно иной природы. Более подробно вопросы, относящиеся к связям, рассмотрим в следующей главе.

§ 39. Упорядочивание классов

Надо различать два типа упорядочивания классов. Первый тип упорядочивания (назовем его дифинитивным или конвенциальным) состоит в том, что принимается решение приписывать элементам заданного класса тот или иной порядок (порядковый номер) и то или иное порядковое отношение. Например, задан класс предметов А, состоящий из предметов a, b, с, d. В случае конвенциального упорядочивания принимается решение (в частности) считать а первым по порядку, b —вторым, с и d —третьими; и кроме того, принимается решение (явно или неявно) считать, что b превосходит по порядку а, с и d превосходят по порядку Ь, с и d тождественны по порядку. Здесь способ упорядочивания есть само принятое нами решение (обозначим а). Это решение может быть заменено другим, скажем — таким (обозначим /3): будем считать, что (b > M), (a > /9с), (a — (3d).

Второй тип упорядочивания (назовем его эмпирическим) состоит в том, что по соглашению выбирается точка отсчета порядка и некоторое направление (скажем, «траектория») воображаемого перемещения наблюдателя, которое он предпринимает с целью выбора предметов данного класса. Например, задан класс домов в некотором районе А, и принимается решение установить их порядок таким способом:

1) начинаем от дома или домов, расположенных севернее остальных;

2) двигаемся направо, отмечая дома каким-то образом; 3) двигаемся от отмеченного дома к ближайшему от него неотмеченному наружному дому. При этом из способа установления порядка нельзя логически вывести порядок и отношение порядка элементов класса. Это находится эмпирически.

Короче говоря, если задан класс предметов и принят конвенциальный способ упорядочивания их, то из этого чисто дедуктивно можно выяснить порядковые отношения элементов класса. Если же задан класс предметов и принят эмпирический способ их упорядочивания, то вопрос о порядковых отношениях элементов класса решается в зависимости от дополнительных сведений о их положении (в частности — от данных наблюдения).

Могут быть случаи упорядочивания элементов класса А такие, когда некоторый подкласс В этого класса упорядочен конвенционально, а другой С — эмпирически. Могут быть также случаи, когда класс А разбивается на подклассы В],...,Вп упорядоченные различными способами как конвенционального, так и эмпирического упорядочивания.

§ 40. Эпистемическая логика

Лиц, имеющих дело с высказываниями, будем называть выска-зывателями. Пусть а есть имя высказывателя (термин, обозначающий высказывателя), а ж есть высказывание. Всякое высказывание есть особый воспринимаемый (видимый, слышимый и т. п.) предмет, оно имеет смысл и истинностное значение. К числу эпистемических высказываний мы относим только такие высказывания, в которых говорится от отношении высказывателя а к высказыванию х в этих трех аспектах. Эти высказывания суть следующие.

Будем говорить, что высказыватель а знаком с высказыванием х как с воспринимаемым предметом, если он может произнести или написать х, слышал или видел х, помнит его и т.п. Высказывания, в которых фиксируется эго, будем схематично записывать в виде «а имеет х» (или «а обладает х») и называть высказываниями обладания. Обладание высказыванием есть некоторая способность или некоторое состояние высказывателя. Высказыватель может обладать высказыванием, не зная его смысла и значения истинности.

Будем говорить, что высказыватель а знаком со смыслом высказывания х (понимает ж), если ему известно значение всех терминов, входящих в ж, и свойства всех логических операторов, входящих в х. Очевидно, имеют место различные степени и формы понимания смысла высказывания, зависящие от уровня и характера образования, навыков оперирования речью и т.п., что для нас роли не играет. Для нас здесь достаточно принять, что если высказыватель в какой-то форме и степени, принятой для данного круга лиц, знаком со значением терминов и свойствами логических операторов, входящих в ж, то он знаком со смыслом ж (понимает ж) с точки зрения этого круга лиц. Для того, чтобы понимать смысл ж, этим высказыванием надо так или иначе обладать. Высказывания ж будем схематично записывать в виде «а понимает х» и называть высказываниями понимания.

Выражение «а не понимает х» в обычной речи двусмысленно. В одном смысле оно означает, что а обладает высказыванием ж, но не знает значения каких-то терминов или свойств каких-то логических операторов, входящих в л. В другом смысле оно означает, что неверно говорить, будто а понимает ж. И причиной такого отрицания может быть не только то, о чем сказано выше, но и то, что а вообще не обладает высказыванием х. Так что здесь необходимо различать два вида отрицания.

Если высказыватель а считает (думает, утверждает и т. п.), что высказывание х истинно (или что положение на самом деле, как говорится в ж), будем говорить, что а признает (или принимает ж). Высказывания, фиксирующие это, будем называть высказываниями принятия (признания) и схематично записывать в виде «а принимает (или признает) ж».

В случае высказываний принятия не предполагается, что принимаемое высказывание истинно. Высказыватель может признавать истинным высказывание, которое на самом деле истинным не является. Принятие высказывания х высказывателем а есть некоторое действие а. В частности, это суть такие действия: а заявляет вслух другим лицам или говорит самому себе, что он признает (считает истинным) ж; на вопрос о том, признает а высказывание х или нет, он отвечает «да», кивает головой и т. п. Высказывания принятия и фиксируют такого рода действия высказывателя. Эти действия разнообразны. Условимся считать, что а принимает х, если и только если он осуществляет или может осуществить в некоторых условиях (например, по требованию, по принуждению, по доброй воле) какое-то действие, которое можно отнести к классу действий по принятию высказываний.

Отрицание высказывания «а принимает х» точно также двусмысленно. Оно употребляется в активном смысле, т. е. как «а принимает не-ж», и в пассивном смысле, т. е. как «а не осуществляет никакого действия, которое есть принятие х». Мы будем употреблять его во втором смысле.

Действия по принятию высказываний разнообразны. Так что возможны (и встречаются на самом деле) случаи, когда высказыватель каким-то способом принимает х (например, говорит самому себе или близким знакомым, что он считает х истинным), а другим способом этого не делает, в частности, заявляет вслух для какой-то группы лиц, что он не принимает х. Согласно нашей условности относительно пассивного смысла отрицания принятия высказывания в этом факте нельзя усматривать никакого противоречия. Если высказыватель заявляет, что он не признает ж, то в нашем смысле это означает лишь то, что он не признает ж одним способом (официальным заявлением о признании), что не исключает того, что он принимает ж другим способом. Высказыватель допустит логическое противоречие лишь в том случае, если признает ж и в то же время признает не-ж.

Для того, чтобы принять ж как высказывание, высказыватель должен понимать его. Так что здесь опять-таки открываются две возможности для отрицания высказывания «а принимает ж», а именно — такие: 1) а понимает х, но не осуществляет действия по его принятию;

2) нельзя сказать, что а принимает х, и причиной этого может быть не только то, что указано в пункте 1, но и непонимание х.

С высказываниями принятия связаны высказывания отвергания и безразличия. Первые будем записывать в форме «а отвергает х». Они суть сокращения или замены высказываний вида «а принимает не-ж». Вторые будем записывать в форме «а безразличен к ж». Они суть сокращения для высказываний вида «а не принимает ж и не принимает не-ж» или «а не принимает и не отвергает ж».

Наконец, к числу эпистемических высказываний относятся высказывания, в которых говорится о том, что высказывателю а известно, что высказывание ж истинно (а осведомлен о том, что ж; а знает, что ж). Будем такие высказывания называть высказываниями осведомленности или знания и записывать схематично в форме «а знает, что ж».

В случае высказываний осведомленности предполагается, что ж истинно, и а каким-то образом принимает это (и, следовательно, обладает высказыванием ж и понимает его). Частный случай таких высказываний — высказывание вида «а догадывается о том, что ж», «а слышал о том, что ж» и т. п. В общем, встречаются какие-то состояния высказывателей, который фиксируются в высказываниях осведомленности.

Для высказываний осведомленности точно так же существенно различать два вида отрицания. Без этого получаются парадоксальные следствия. Так, интуитивно очевидно, что когда говорят «а знает, что ж», то предполагают истинность ж. Точно так же предполагают истинность жив случае, когда говорят «а не знает, что ж», эту логическую связь предложений можно записать с помощью оператора условности так:

1) если а знает, что ж, то ж;

2) если а не знает, что ж, то ж.

Из первого утверждения по правилу контрапозиции получим:

3) если не-ж, то а не знает, что ж.

А из утверждений 2 и 3 по правилу транзитивности получим:

4) если не-ж, то ж.

Имеет силу утверждение:

5) если ж, то ж.

Из 4 и 5 имеем:

6) если ж или не-ж, то ж.

А из 6 в силу того, что логически истинно «ж или не-ж» получим, что истинно любое высказывание ж.

Но и независимо от таких парадоксов очевидно следующее. Отрицание высказывания «а знает, что ж» может означать, что ж истинно, но а не принимает его, и что высказывание «а знает, что ж» неверно. Причем, причиной во втором случае может быть не только непринятие ж, но и неистинность ж.

Все приведенные высказывания содержат по два термина-субъекта (термин а и термин «высказывание ж» или «тот факт, что ж») и двухместные предикаты соответственно обладания, понимания, принятия, отвергания, безразличия, осведомленности. Будем эти предикаты для краткости записывать буквами соответственно A,B,C,D,E,F, а высказывания в целом — символами вида Аатх, Ватх, Сатх, Damx, Еатх, Famx.

Обращаем внимание на то, что в эпистемические высказывания Ратх входят не просто высказывания ж, а термины тх, обладающие одной особенностью. Возьмем высказывание «а сказал, что ж», являющееся частным случаем высказывания «а имеет ж». Пусть ж эквивалентно у. Если принято правило замены эквивалентности, из этого получается высказывание «а сказал, что у», которое может быть ошибочным при истинном высказывании «а сказал, что ж». Избежать такого рода парадоксов без фиксирования упомянутой особенности терминов нельзя. А особенность эта состоит в том, что в такие термины ж входит не в качестве высказывания, а в качестве физического (слышимого, видимого) предмета. Отсюда следует один важный вывод, имеющий общелогическое значение. Считать, что одно языковое выражение входит в другое, если и только если оно есть графическая часть второго, не всегда верно. Необходимо в каждом случае точно определять, когда одно языковое выражение есть вхождение в другое в качестве языкового выражения данного типа.

Сказанное касается не только эпистемических высказываний. Так, из того, что некоторое данное высказывание ж длиннее графически высказывания у, не следует, что ж длиннее z, если даже у и z эквивалентны, ибо правило эквивалентной замены касается замены вхождений высказываний в качестве высказываний, а не в качестве физических предметов.

Задача эпистемической логики состоит в том, чтобы установить правила оперирования высказываниями с указанными предикатами, т. е. определить эти предикаты своими методами. Причем, сделать это мы должны будем в соответствии с теми интуитивными соображениями, которые частично изложены выше, частично будут ясны из самого вида конструируемых исчислений.

Определение свойств эпистемических предикатов, которые не зависят от отношения высказывателей к правилам логики и имеют силу для каждого высказывателя в отдельности, дает система SE'. Образуется эта система благодаря дополнениям к логическим системам, указанным выше. Символы A, V, -1,~, Ь суть соответственно операторы конъюнкции, дизъюнкции, внутреннего отрицания, внешнего отрицания и предикат логического следования. Выражение ж 41- у будет употребляться как сокращение для двух выражений х Ь у и у I- х.

Дополнение к алфавиту (или собственный алфавит SE]):

1) список переменных для терминов, обозначающих высказывателей (для имен высказывателей);

2) А, В, С, D,E,F — постоянные двухместные эпистемические предикаты соответственно обладания, понимания, признания, отвергания, безразличия, осведомленности.

Дополнение к определению предикатной формулы: если а есть переменная для имен высказывателей, а х есть пропозициональная формула, то Аах, Вах, Сах, Dax, Eax, Fax суть предикатные формулы.

Определение вхождения пропозициональной формулы должно принять такой вид. Пропозициональная формула х входит в пропозициональную формулу в таких и только таких случаях:

1) у входит в у A z, z А у, у V z, z V у;

2) х* (г = 1, 2,..., п) входит в ж1 Аж2А.. .Аж"; и в ж1 \/ж2У.. .Vxn;

3) если у входит в z, a z в v, то у входит в v.

Дополнительные аксиомные схемы:

1) ~Ааж1—> Аах;

2) Аах Ь Аау, где у входит в ж;

3) Вах I- Вау, где у входит в ж;

4) Вах F Аах; -> Вах I- Аах;

5) ~ Вах I- ~ Аах V -> Вах;

6) Сах I- Вах; -> Сах I- Вах;

7) ~Саж1-~Важ \/->Саж;

8) Dax 41- Са ~ ж;

9) -1 Dax 41—>Са~ ж;

10) Еах 4 Г -> Сах А -> Dax;

11) -1 Еах 41- С аж A Dax;

12) Fax 4 h Сах А ж;

13) -i .Раж 41—I Саж А ж.

Аксиомы 1 означают, что для предиката А отрицания не различаются, ибо в теории предикации доказуемо: -> Aax I- Аах. Аксиомы 8-13 означают, что предикаты D, Е, F являются производными и вообще могут быть элиминированы из языка. Парадоксы, о которых говорилось выше, здесь не получаются, ибо формулы ~ Fax I- -n Fax и ~ Fax I- х здесь недоказуемы. Если истолковать -> Сах в активном смысле, т. е. принять аксиомы -<Сах НН Са ~ х, то будет доказуемо 1-~ Еах, т. е. получим, что высказыватель не может быть безразличен к любому высказыванию. А это не соответствует интуиции.

Отношения высказывателей к правилам логики настолько разнообразны и индивидуальны, что здесь невозможно указать нечто общее для всех. Здесь возможно лишь определение различных типов высказывателей.

Допущение, что высказыватель знает и принимает какие-то правила логики, само по себе еще не делает систему эпистемической логики более богатой, чем SE1 (допустим). Упомянутое допущение должно реализоваться в принятии дополнительных аксиом, имеющих силу для того или иного типа высказывателей.

Но допущение, что высказыватель знает и принимает правила логики, предполагает, что эти правила установлены и кому-то известны. А если они еще не установлены вообще, не общеприняты и т. п.? Выход из положения находят в том, что предполагают вполне определенный класс правил логики. Ниже мы приведем примеры определений типов высказывателей, в которых класс правил логики не ограничен конкретными логическими исчислениями. Система SE2 образуется путем присоединения к SE' такого рода определений.

D1. Высказывателя а мы будем называть примитивно логичным, если и только если для него имеют силу аксиомные схемы

14) Саж1-~Са~ж;

15) Сах A Cay I- Са(х А у);

16) Сах 4I- СаСах.

Из O1 выводится, что если а примитивно логичен, то для него имеют силу теоремные схемы Fax l-~ Fa ~ х, Fax 41- FaCax, Fax 4 I- CaFax, Fax 4 b- FaFax и т. п.

D2. Высказывателя а мы будем называть практически логичным, если и только если для него имеют силу аксиомные схемы 14-16 и, кроме того, аксиомные схемы:

17) Ca(F х) I- Сах\

18) Са(х I- у) F (Сах I- Сау)

(при этом выражения с предикатом следования включаются в число предикатных формул исчисления SE2).

Из D2 следует, что если а практически логичен и принимает правило х Л у И у, то для него будут иметь силу теоремные схемы Fai'Fb1 . ,.inFbnjFcx F Fai'Fb1 ...inFbnx, где n 1, a i\...,in,j означают наличие или отсутствие внутреннего отрицания (в любых комбинациях). Частный случай — теоремы FaFbx F Fax и Fa -> Fbx F Fax. При этом будут доказуемы также формулы F~ Fa-у Fax и Fa(x Ну)!- (Fax F Fay). Если принято правило (F х) F х, то будут теоремами формулы Fa(F х) F Fax.

DZ. Высказывателя а мы будем называть абстрактно логичным, если и только если для него имеют силу аксиомные схемы 14-16 и, кроме того, аксиомные схемы:

19) (И ж) 1- Сах;

20) (xh у) F (Сах F Сау).

При этом, очевидно, решение вопроса о том, когда имеет место х и х\-у, предоставляется авторам логических систем.

Рассмотрим теперь взаимоотношения двух высказывателей а и Ъ такого рода. Пусть Fax. Из этого не следует как FbFax, так и ~ FbFax, что очевидно. Пусть FbFax. Очевидно также, что из этого не следует как FaFbFax, так и ~ FaFbFax (т. е. а может знать и может не знать о том, что FbFax). Пусть FaFbFax. Опять-таки при этом возможно, что b знает об этом, и возможно, что Ъ не знает об этом. Пусть FbFaFbFax. Но далее интуитивная ясность исчезает. И возникает вопрос: можно ли построить такое высказывание Fawx или Fbwx, где w есть какая-то последовательность букв F, а, и Ь, чтобы имели силу утверждения Fawx F FbFawx или Fbwx F FaFbwx? Мы исходим из того фактического положения, что в такого рода ситуациях высказыватели рано или поздно догадываются о том, что одному из них известно то, что другому известно в связи с ним и высказыванием х. Т. е. мы допускаем, что в коммуникации а иЪ относительно х, начиная с некоторого момента, приписывание Fa к Fbwx и Fb к Fawx теряет практический смысл.

Пусть [nab] есть выражение, в котором подряд п раз (n 1) записано выражение FaFb, а [пЬа] — выражение, в котором п раз подряд записано FbFa. Например, Fa[2ba]x есть выражение FaFbFaFbFax. Примем следующее определение, реализующее наше допущение.

D4. Пару высказывателей а и Ъ будем называть взаимнодогадливой парой n-й степени, если и только если для них имеют силу аксиомы:

21) [(п + 1)аЬ]ж А [(п + 1)Ьа]ж F [(п + 2)аЬ]х.

Если n = 1, то аксиомы 21 имеют такой вид

FaFbFaFbx Л FbFaFbFax Н FaFbFaFbFaFbx.

Из 21 следует:

[(п + 1)аЬ]ж Л [(п + 1)Ьа]ж Ь [(n + 2)ba]x.

Если п — 1, то это следствие имеет вид:

FaFbFaFbx Л FbFaFbFax F FbFaFbFaFbFax.

Для практически логичных высказывателей из 21 следует:

22) Еа[(п + 1)Ьа]ж Ь [(n + 2)ba]x.

Если n = 1, то это следствие имеет вид:

FaFbFaFbFax Н FbFaFbFaFbFax.

Для практически логичных высказывателей из 21 выводится также следствие:

CaCbCaCbx Л CbCaCbCax Л CaCbCax Л CbCaCbx Л CaCbx Л

Л СЬСах Л Сах Л СЬх Ь СаСЬСаСЬСаСЬх л СЬСаСЬСаСЬСах.

И наоборот, из этих формул для высказывателей указанного типа выводятся формулы 21.

Определения, аналогичные D4, можно принять для трех и более (вообще для любого п, большего двух) высказывателей. В частности, это можно сделать так.

D5. Энку (п > 2) высказывателей а],а2,...,ап будем называть взаимнодогадливой энкой m-й степени (т > 1), если и только если для них имеют силу аксиомы:

[(т + п- 1)у']ж Л ... Л [(т + п- 1)у*]ж Ь [(т + п)у']х, где у',..., ук суть всевозможные перестановки из а1, а2,..., ап.

Мы привели D5 лишь для иллюстрации общей идеи. В какой мере можно минимизировать антецедент приведенной формулы, мы не рассматриваем.

Если не считать сами антецеденты формул 21 и 22 в целом, то множества выводимых из них следствий, которые образуются только из букв F, а, b и х, совпадают: это суть выражения Fax, Fbx, FaFbx, FbFax, FbFaFbx, FaFbFax, FaFbFaFbx, FbFaFbFax. И в этом смысле эти варианты эквивалентны.

§41. О понятии веры

Высказывания веры «N верит в то, что X» (или «N принимает X на веру») суть частный случай эпистемических высказываний. Будем их записывать символами типа

W(N, mX),

где W есть предикат веры («принимает на веру»).

Какова интуиция такого рода высказываний (и предикатов)? Пусть А есть высказывание «N не имеет доказательства и опытного подтверждения X или вообще знает или считает, что таковых нет»; В есть высказывание «N принимает X»; С есть высказывание «N волен принимать или не принимать X». Высказывание W(N,mX) есть лишь сокращение для А Л В Л С т. е.

W(N, mX) Ч И А Л В Л С.

Этим исчерпываются свойства предиката W. Прочие утверждения, касающиеся W, могут лишь характеризовать самих верующих. Например, N будет называться непротиворечиво верующим, если и только если (W(N,mX) Л W(N,m ~ X)); N будет называться логично верующим, если и только если имеет силу: если X \- Y, то W(N, mX) Л W(N, mY) и W(N, m ~ У) h W(N, m~X); N будет называть практически логично верующим, если и только если имеет силу: если N известно, что X И Y, то W(N, mX) Ь IF(?V, mY) и W(N,m~Y)\-W(N,m~X).

§ 42. О понятии предпочтения

Высказывания предпочтения в логически полном и явном виде суть высказывания типа «N предпочитает действие X прочим действиям из множества действий Y». Будем для краткости записывать их символами

1Ж*,П

Употребляются их урезанные и трансформированные формы «N предпочитает X» (и в этом случае неявно предполагается какое-то У) «X предпочтительнее прочих У» (здесь предполагается какой-то N), «X предпочтительнее» (предполагается какое-то У и какой-то N). Выражение вида «N предпочитает высказывание X прочим из У» есть лишь трансформация высказывания «N предпочитает принятие (признание) X признанию прочих У».

Каков интуитивный смысл высказываний (и предиката) предпочтения? Они относятся прежде всего к действиям. Прочие случаи можно представить как производные, т. е. просто как сокращения для фундаментальных случаев. Например, высказывание «N предпочитает классическую музыку» иногда есть лишь сокращение для «N предпочитает слушать классическую музыку». Эти выражения, далее, предполагают следующие условия. Задано какое-то множество действий X. Это множество разбивается на два непустые и непересекающиеся подмножества У и Z. Частный случай — в У, Z или в каждое из них включается по одному действию. Так что множество X содержит по крайней мере два действия. Заметим здесь, что неосуществление действия может быть также действием, так что множество X может состоять из таких двух действий, каждое из которых противоположно другому («курить» и «не курить», «идти в кино» и «не ходить в кино» и т. п.).

Символом O(N, X) будем записывать высказывание «N осуществляет X». Смысл предиката О для отдельно взятых действий мы считаем интуитивно ясным. Если X есть положительное действие, то X есть отрицательное по отношению к нему действие. Оно определяется так:

О(ЛГ,Х)Ч1—O(N, X).

Из этого следует

O(N,X) Ч h O(N, X).

Для множеств из двух и более действий предикат О определяется так:

O(N, X) Ч И (3 a)(O(N, a) Л (а 6 X)).

Здесь O(N, X) означает: «Осуществляется хотя бы одно из действий множества X».

Действия, включаемые в X, далее, обладают следующим свойством: если осуществляется какое-то из действий Y, то в данном случае не осуществляется никакое из действий Z, т. е.

I— (O(N, У) Л O(N, Z)).

Из этого следует

h O(N, У) Л ~ O(N, Z): ~ O(N, Z) Л O(N, У): I— O(N, У) Л А~О(ЛГ,Х).

Случай, когда

~О(ЛГ,У)Л~О(^ Z), не исключается.

Пусть некоторое существо N попадает в ситуацию, когда ему предоставляется возможность выбрать какое-то действие (действия) из X и осуществить это действие. Он может ничего не выбирать. Если выберет действие из У (или из Z), то не может выбрать действие из Z (соответственно, из Y). Предикат для такого одиночного случая определяется так:

П (N, Y, X) 3 I- O(N,Y) A(3Z)1(YCX)A(ZCX)A(XCDYUZ)A Л(3 a)(a € У) Л (3 а)(а € Z) А (Уа)~((а € У) Л (а € 2))Л Л((а € У) Л (Ь € Z) ^~(O(JV, а) ЛO(N, б)))],

где а и Ъ суть переменные для действий, a Z есть переменная для множеств действий.

Если число случаев, когда существу N приходится выбирать и осуществлять действие из X, больше двух, то предикат для них должен быть определен специально. В частности, если N осуществляет действия из X регулярно, и число случаев выбора достаточно велико, то может быть определен через число случаев выбора или через отношение числа выборов действий данного подмножества У к некоторому принятому числу выбора действий X вообще (в частности — как вероятность выбора). Например, если число случаев выбора и осуществления какого-либо действия из У равно а на каждое число /3 случаев выбора и осуществления какого-либо действия из X, то может быть принято соглашение:

, fa 1\

пWК, JC)чн

Через П можно определить прочие предикаты предпочтения. Например:

1) U(N, (У, Z), X) 3 l-~nw Y, Z)A~ Z, X);

2) 0(W,y,Z)3H[](N,(y,~y),X).

В (1) дано определение равнопредпочтительности, а в (2) — безразличия.

Особый случай — высказывание предпочтения высказываний. Пусть iX есть «принятие X». В таком случае возможны определения типов предпочитающих. Например, N будет называться непротиворечиво предпочитающим, если и только если

П(^> гх,и)\—да, IX,и)-

И вообще, «логика предпочтения», как и «логика веры», есть лишь система определений предикатов предпочтения и типов предпочитающих.

§ 43. О логике оценок

Оценочные высказывания суть высказывания типа

РД(а),

где a есть термин оцениваемого предмета (в частности, это может быть пара, тройка и вообще энка из двух или более предметов), Р есть название признака, по которому производится оценка a, R есть оценочное выражение вроде «хороший», «плохой», «лучше», «пять баллов», «девять очков» и т. п. Логика оценок устанавливает специфические логические свойства оценочных выражений. Именно специфические. Высказывание «лучше», например, обладает свойствами, устанавливаемыми в логике сравнения. В логике оценок должно быть обращено внимание на такое его свойство, которое является общим для него и других оценочных выражений и отличает от неоценочных выражений (например, от «выше»).

Соотношение Р и PR определяется правилом:

1) I-(РЯ-Р).

Из (1) следует:

I- ((а X PR) - (а X Р)),

I- РЯ(а) -»Р(а),

I—Р(а) —>~РЯ(а).

Например, плохой спортсмен — спортсмен; если человек не является спортсменом, о нем нельзя сказать, что он плохой (хороший и т. п.) спортсмен.

Оценки можно разделить на субъективные и объективные. В первом случае нет никаких общепринятых (для данного круга лиц) критериев оценки. Так что, если лицо № высказало РЯ(а), то другое лицо не имеет никаких критериев установить, верно это или нет. Во втором случае такие критерии имеются (с той или иной степенью полноты, устойчивости, четкости и т.д.). Оценки, далее, можно разделить на абсолютные и относительные. Первые имеют место тогда, когда в РЯ(а) термин a не есть энка из двух или более терминов, а вторые — когда a есть (а1,..., а”), где п > 2. Наконец, можно различать первичные и производные оценки. Первые нельзя вывести из других оценочных высказываний, вторые же, наоборот, получаются из других высказываний того же рода. Производные оценки, в свою очередь, можно разделить на логически производные и фактически производные. Примеры логически производных оценок. Из высказываний «а лучше b как спортсмен» и «Ь лучше с как спортсмен» получается высказывание «а лучше с как спортсмен». Если мы решили считать, что PQ(a) есть сокращение для PR1 (а) V PR2(а), то будут иметь силу утверждения PR1 (а) —» PQ(a) и PR2(а) —» PQ(a), где PQ будет производной от PR1 и РЯ2 оценкой. Такие случаи интереса не представляют, так как здесь специфика оценочных отношений никак не учитывается. Пример фактически производной оценки. Известно, какие баллы получили ученики данного класса по математики. Вычислив среднеарифметический балл, получают оценку класса в целом. Именно такие случаи имеют интерес для логики. В общем, задачу логики оценок мы видим в установлении некоторых правил, специфически относящихся к оценочным выражениям.

Будем рассматривать критерии оценок по аналогии с координатами высказываний. Это — своеобразные координаты, специфически относящиеся к оценочным высказываниям. Если х есть оценочное высказывание, а и — термин критериев оценок, то [хи] точно так же есть оценочное высказывание. Для оценочных критериев имеет силу правило:

2) [хи1] Л (и1 -*• v2) I- [хи2].

Когда знаки критериев оценок опущены, мы предполагаем, что они одинаковы для всех оценочных высказываний данного выражения.

Оценочные высказывания с разными критериями оценки логически независимы, т. е.

3) |-~ (vl —*■ v2) Л~ (и2 —■1 v1) —([xvl] —»[z/v2]) Л

A~([j/v2] -> [xv1]).

Различные первичные оценки независимы, т. е.

4) I—(R1 —*■ R2) A~(R2 —*• Я1) ->~(РЯ'(«) — РЯ2(а)).

Например, из того, что ученик не получил пятерку, не следует, что он получил четверку.

Пусть В есть энка из двух или более индивидов. Пусть а € В означает, что а есть один из индивидов, входящих в В (а принадлежит В). Если все индивиды В оцениваются по признаку Р, то возможен (найдется) метод оценки В по тому же признаку Р, т. е.

5) I- ((3 v)((e € В) -»(3 Я)РЯ(в))) -> (3 v)(3 R)PR(B),

где R — переменная для оценочных выражений, a v — переменная для критериев оценки.

Например, если всем ученикам класса поставили оценки по данному предмету, то и всему классу в целом можно приписать оценку (например, среднеарифметический балл).

6) Оценка энки индивидов зависит исключительно от оценок входящих в нее индивидов, т. е. если даны критерии оценки для В, и известны оценки всех индивидов, входящих в В, то этого достаточно для получения оценки В.

7) I- w [PR2(a)v2].

§ 44. О логике норм и вопросов

Каждой норме соответствует нормативное высказывание, т. е. высказывание, содержащее название действия и предикат «запрещено», «разрешено» или производный от них предикат. Например, норме «Не курить» соответствует высказывание «Курить (или курение) здесь запрещено». Так что можно принять правило: из нормы А следует норма В, если и только если из нормативного высказывания, соответствующего А, следует нормативное высказывание, соответствующее В.

Вопрос есть языковое выражение, состоящее из двух частей:

1) часть предполагаемого или возможного высказывания; 2) языковое выражение, означающее предложение (просьбу, приказание) дополнить первую часть до некоторого истинного высказывания. Последнее есть правильный ответ на вопрос. Так что можно принять правило: из вопроса А следует вопрос В, если и только если из правильного ответа на А следует правильный ответ на В.

Так что идея каким-то образом обобщить понятие логического следования, чтобы оно было применимо к языковым выражениям, не являющимся высказываниями, сама по себе абсурдна. Имеет смысл лишь идея редукции отношений таких выражений к отношениям высказываний.

Раздел II

ОЧЕРК МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ

Цель очерка — дать общее представление о многозначной логике как об особом разделе и направлении современной логики и выяснить ряд общих вопросов логики, которые впервые возникли или приобрели новый смысл в связи с развитием многозначной логики. Содержание ее существенно отличается от содержания [4] и [72] как с точки зрения рассматриваемого материала, так и с точки зрения общих выводов.

Глава 1

Двузначная логика

§ 1. Двузначная логика

Двузначная логика есть совокупность логических исследований, в основе которых явно или неявно лежит принцип (гипотеза) двузначности высказываний: «Каждое высказывание либо истинно, либо ложно». В современной логике эти исследования охватывают: 1) разработку логических систем, базирующихся на принципе двузначности высказываний, и исследование свойств и взаимоотношений этих систем; 2) использование таких логических систем для решения различных проблем логики. В первом случае можно говорить об аппарате двузначной логики, во втором — о двузначной концепции логики.

Двузначную логику иногда называют аристотелевской. Но, как справедливо заметил Лукасевич, принцип двузначности высказываний впервые сформулировал Хризипп, а не Аристотель. Последний допускал высказывания, которые не являются истинными и ложными (например, высказывания о будущих случайных событиях). Формальные проблемы, интересовавшие Аристотеля, не были явным образом связаны с вопросом о числе значений истинности высказываний. Хризипп же создал своего рода прообраз современной логики высказываний (пропозициональной логики), а последняя немыслима без гипотезы о числе значений истинности и их отношениях.

Двузначную логику мы изложим лишь в той мере и в такой форме, в какой это требуется и удобно для целей дальнейшего изложения.

§ 2. Двузначная пропозициональная логика

Примем обозначения:

1) х, у, z, ж', ж2,... — пропозициональные переменные;

2) а, Ь, с, а*, а2,... — пропозициональные формулы;

3) А, С, D, Е, К, N,... — пропозициональные константы, называемые соответственно нестрогой дизъюнкцией, материальной импликацией, строгой дизъюнкцией, материальной эквивалентностью, конъюнкцией и отрицанием;

4) 1 и 2 — значения, которые принимают пропозициональные переменные и формулы;

5) если а есть пропозициональная формула, то [а] есть ее значение, т. е. число 1 или 2. Слово «пропозициональная» в дальнейшем будем иногда опускать, полагая, что будут иметься в виду пропозициональные переменные, формулы, константы.

Формулы образуются из переменных и констант по определенным правилам. Функция, которая каждой комбинации значений переменных, входящих в данную формулу, ставит в соответствие определенное значение самой формулы, называется пропозициональной. Пропозициональная логика исследует свойства пропозициональных функций. В рассматриваемом случае аргументы (переменные, входящие в формулы) и функции (формулы, содержащие эти переменные) принимают только два значения. Поэтому функции называются двузначными, а изучающий их раздел логики — двузначной логикой. Пропозициональные константы обозначают типы пропозициональных функций.

Установлено, что функции от трех и более аргументов можно определить через унарные (от одного аргумента) и бинарные от двух аргументов) Это определение состоит в следующем: для каждой функции от трех и более аргументов (обозначим ее через а) может быть найдена формула Ь, которая содержит те же самые переменные и знаки только унарных и бинарных функций и которая равнозначна ей, т. е. [а] — [Ь] при любых комбинациях значений переменных. Поэтому мы ниже будем рассматривать лишь унарные и бинарные функции. Установлено также, что из множества унарных и бинарных функций можно выбрать некоторые в качестве основных таким образом, что через них определяются остальные (в только что указанном смысле). Такая система основных функций (в частности, это может быть одна функция Шеффера) называется функционально полной.

Примем следующее определение формулы:

1) переменная есть формула;

2) если а есть формула, то Na есть формула;

3) если а и b суть формулы, то Fab есть формула, где F есть любая бинарная константа А, К, С и т. д.;

4) нечто есть формула только в силу (1-3).

Вхождение в формулу:

1) a входит (есть вхождение) в a, Na, Fab, Fba ;

2) если a входит в b, а b входит в с, то a входит в с;

3) одна формула входит в другую лишь в силу 1 и 2.

В качестве основных функций примем N и К, которые определим следующим образом:

1) [Kab] — max ([а], [Ь]),

т. е. значение КаЬ равно большему из значений формул а и ft;

2) pVa] = 2 — [а] 4-1.

Система пропозициональной логики с основными функциями К и N функционально полна.

Прочие из указанных в начале параграфа функций определяются через К и N так:

3) [4аЬ] = [NKNaNb]-,

4) [Cab] = [NKaNb]?

5) [Dab] = [KAabANaNb]-,

6) [Eab] = [KCabCba].

Легко показать, что

[Лаб] — min ([а], [Ь]),

т. е. значение АаЬ равно меньшему из значений формул а и 6,

[Cab] = min (3 - [а], [Ь]),

[Dab] — min (mm ([а], [ft]), min (3 - [а], 3 - [ft])),

[Eab] = max (min (3 - [a], [ft]), min (a, 3 - [ft])).

Табличные определения введенных функций имеют такой вид:

а

Na

1

2

2

1

а

b

КаЬ

АаЬ

Cab

Dab

Eab

1

1

1

1

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

Примем, наконец, определения:

1) формула а есть тавтология (общезначима), если и только если [а] = 1 при всех наборах значений переменных, входящих в нее;

2) формула а выполнима, если и только если [а] — 1 по крайней мере для одного набора значений переменных, входящих в нее;

3) формула a есть противоречие (невыполнима), если и только если [а] — 2 при всех наборах значений переменных, входящих в нее.

Используя введенные определения, можно показать, что приводимые ниже формулы суть тавтологии:

AaNa — закон исключенного третьего;

DaNa — закон исключенного третьего;

NKaNa — закон противоречия;

CNNaa — закон снятия двойного отрицания;

CaNNa — закон введения двойного отрицания;

ENKabANaNb — закон Де Моргана;

ENAabKNaNb — закон Де Моргана,

EKKabcKaKbc — закон ассоциативности;

EAAa.bcAa.Abc — закон ассоциативности;

CCabCNbNa — закон контрапозиции;

CKabKba — закон коммутативности конъюнкции;

CAabAba — закон коммутативности дизъюнкции;

EKaAbcAKabKac — закон дистрибутивности;

EaKbcKabAac — закон дистрибутивности;

Eaa — закон тождества.

Есть разные способы построения двузначной пропозициональной логики (см., например, [33]). Употребляются разные выражения для ее обозначения: «двузначная алгебра логики», «двузначное матричное построение», «двузначное истинностное построение».

§ 3. Классическое пропозициональное исчисление

Чтобы выяснить, является та или иная произвольно взятая формула тавтологией или нет, надо пересмотреть всевозможные комбинации значений входящих в нее переменных и для каждой комбинации установить значение формулы в соответствии с принятыми определениями. Аналогично для выполнимости и невыполнимости.

Но имеется другой способ решения этой задачи. Он заключается в следующем: из множества тавтологий выбираются некоторые в качестве основных и указываются правила получения из них всех прочих тавтологий Выбранные таким образом тавтологии называют аксиомами, а правила получения из них других тавтологий — правилами выхода из аксиом. Сам способ называют аксиоматизацией. Логическая система, посредством которой таким способом охватываются все тавтологии двузначной пропозициональной логики, называется классическим пропозициональным исчислением

Имеется множество различных способов построения классического пропозиционального исчисления Мы здесь примем построение, данное в работе [7], изменив только символику и терминологию. Обозначения, определение формулы и определения вхождения в формулу те же, что и выше, с одним отличием: первичные логические константы суть А, К, С и N.

Аксиомы классического пропозиционального исчисления:

1) СхСух\

2) CCxCyzCCxyCxz;

3) СКхух;

4) СКхуу;

5) CCxyCCxzCxKyz;

6) СхАху,

7) СуАху;

8) CCxzCCyzCAxyz;

9) CCxyCNyNx;

10) CxNNx;

11) CNNxx.

Правила вывода:

1) из a получается Ь путем подстановки формулы с на место переменной х во всех местах, где х входит в а (правило подстановки);

2) из Cab и а получается Ь (правило modus ponens).

Определение доказуемой формулы: формула a есть доказуемая в классическом пропозициональном исчислении формула, если и только если она есть одна из аксиом 1-11 или получается из аксиом по правилам вывода (1) и (2).

Для D и Е можно принять сокращенные определения или дополнительные аксиомы

СЕхуКСхуСух,

СКСхуСухЕху,

EDxyK AxyAN xNy,

если они включаются в число первичных констант.

4 Зак 104

Построенное выше исчисление обладает следующими свойствами:

1) если a есть тавтология в двузначной пропозициональной логике, то а есть доказуемая в классическом пропозициональном исчислении формула;

2) если а есть доказуемая в классическом пропозициональном исчислении формула, то а есть тавтология в двузначной пропозициональной логике.

В первом случае говорят, что классическое пропозициональное исчисление дедуктивно полно относительно двузначной пропозициональной логики. В случае выполнения обоих пунктов говорят, что классическое пропозициональное исчисление и двузначная пропозициональная логика дедуктивно эквивалентны.

Мы не рассматриваем прочих вопросов, относящихся к классическому пропозициональному исчислению (они подробно изложены, например, в [7], [33], [36] и т.п.), поскольку они не имеют существенного значения в данном контексте.

Конечно, классическое пропозициональное исчисление имеет свои цели, независящие от гипотезы двузначности, и свою самостоятельную историю. Но нам здесь важно подчеркнуть то, что оно изобреталось (явно или неявно) с таким расчетом, чтобы получалась система дедуктивно эквивалентная двузначной пропозициональной логике.

§ 4. Двузначная концепция логики

Построенные выше двузначная пропозициональная логика и классическое пропозициональное исчисление образуют формальный (логический) аппарат, допускающий различные интерпретации. Эти интерпретации разделяют на внелогические и внутрилогические.

Примером внелогической интерпретации является интерпретация в терминах электрический сетей. Здесь, например, переменные рассматриваются как контакты сети, значения переменных — как положения контактов (1 как «замкнуто», 2 как «разомкнуто»), логические константы — как способы соединения контактов (К — как последовательное, А — как параллельное). Внелогические интерпретации мы специально рассматривать не будем, поскольку нас интересует область самой логики.

В случае внутрилогических интерпретаций приведенные логические системы используются как средства исследования свойств логических знаков и, соответственно, логических правил (законов), для выполнения и уточнения (для экспликации) смысла логических знаков и определения класса законов логики. При этом переменные рассматриваются как простые высказывания, формулы — как высказывания, образованные из простых высказываний и логических знаков, значения 1 и 2 — как Значения истинности высказываний (соответственно как истинность и ложность).

Приведем основные внутрилогические интерпретации. Первая интерпретация состоит в следующем: знаки К, A, D и N рассматриваются соответственно как логические знаки «и», «или» (нестрогое и строгое) и «не»; знаки Сху и Еху рассматриваются как сокращения для ANxy и KANxyAxNy. При этом определения знаков K,A,D и N выступают как экспликации (выявления и уточнения смысла) свойств соответствующих знаков языка, а тавтологии и доказуемые формулы — как экспликации правил логики. Например, доказуемая формула DxNx есть экспликация закона исключенного третьего, взятого в форме «Либо х, либо не-а:», а тавтология DxNx — того же знака, взятого в форме «а: либо истинно, либо ложно». Аналогично AxNx, поскольку EAxNxDxNx.

Вторая интерпретация состоит в том, что K,A,D и N рассматриваются как в первом случае, но Сху и Еху рассматриваются соответственно как «Если а:, то у» и «х, если и только если у».

Третья интерпретация состоит в том, что первый знак С в тавтологии и доказуемых формулах рассматривается как знак логического следования, знаки K,A,D и N рассматриваются как в первом, так и во втором случае, остальные вхождения знака С рассматриваются как в первом или как во втором случае. Коротко говоря, эта интерпретация первого знака С имеет такой вид: если Сху есть тавтология (или доказуемая формула), то из х логически следует у. Такая интерпретация правомерна, поскольку к логическому следованию предъявляют только следующие требования: 1) из истинной посылки х должно получиться истинное следствие у; 2) если следствие у ложно, то ложна и посылка х. Тавтологии (и доказуемые формулы) удовлетворяют этим требованиям.

Двузначная концепция логики проявляется, далее, в том, что на основе двузначной пропозициональной логики и классического пропозиционального исчисления строятся прочие разделы логики — логика предикатов, силлогистика, модальная логика и т. п. (причем, используются все три приведенные выше интерпретации). Поскольку при этом происходит просто присоединение к ним каких-то новых знаков, определений, аксиом, правил и т. д., то все их тавтологии и доказуемые формулы сохраняют силу.

Двузначная концепция логики не означает того, что все проблемы логики решаются в духе гипотезы двузначности высказываний. В логике имелись и имеются проблемы, для решения которых вообще не имеет значения тот или иной ответ на вопрос о числе значений истинности высказываний.

Гпава 2

Возникновение многозначной логики

§ 1. Понятие многозначной логики

По аналогии с определением двузначной логики дадим определение многозначной логики. Многозначная логика есть область (раздел, направление) логических исследований, в основе которых лежит принцип (гипотеза) многозначности высказываний: высказывания могут быть не только истинными и ложными, но могут иметь другие значения истинности; число значений истинности высказываний может быть больше двух (может быть любым конечным числом и даже бесконечным). Эти исследования охватывают: 1) разработку логических систем, базирующихся на допущении многозначности высказываний;

2) использование таких (можно сказать, многозначных) логических систем для решения различных проблем логики. В первом случае речь идет об аппарате многозначной логики, во втором — о многозначной концепции логики.

В словесном выражении отличие многозначной логики от двузначной совершенно ничтожно. Но оно, как увидим, обозначает весьма существенный перелом в логических исследованиях, который имеет много общего с возникновением неевклидовой геометрии и неклассической физики.

С того момента, когда в логике был провозглашен принцип двузначности высказываний, всегда находились люди, подвергавшие этот принцип сомнению. Эти сомнения имели вполне здравую основу. В частности, в рамках этого принципа возникали затруднения при оценке значений истинности высказываний о будущих событиях, высказываний, в которых не указано время или место событий, высказываний, получаемых при условии взаимоисключающих опытов, высказываний о ненаблюдаемых и несуществующих событиях, высказываний о переходных состояниях и т. п. Аналогичные трудности возникали при попытках строить модальную логику. На эти факты указывается во многих работах, в частности — в [27], [38], [53], [44].

Но поскольку сомнения такого рода не реализовались в форме логических систем, не приводили к созданию логической теории, они имели ценность исторических фактов, но не более. Требовалось создание определенных условий внутри самой логики, чтобы они смогли сыграть роль стимулов к построению многозначных логических систем и вообще к разработке многозначной логики как особого направления логических исследований. Из этих условий в первую очередь следует назвать внедрение математических методов в область логики, разработку пропозициональной логики (матричный метод) и способность чисто формального подхода к логическим проблемам. Не случайным поэтому является то обстоятельство, что многозначная логика начала свое существование сравнительно недавно, а именно — начиная с двадцатых годов нашего столетия. Основателями ее являются Лукасевич (1920 г.) и Пост (1921 г.). Существенную роль в становлении многозначной логики сыграли критика Брауэром закона исключенного третьего (1908, 1924 гг.).

§ 2. Трехзначная логика Лукасевича

Исторически первой многозначной логической системой является трехзначная пропозициональная логика, построенная Лукасеви-чем [39, 40].

Исходя из анализа модальных высказываний, Лукасевич пришел к выводу, что для описания свойств этих высказываний не может быть использована двузначная логика. Одна из линий его аргументации имеет следующий вид. Пусть Ma означает «Возможно, что а». Формула CaMa («Если a, то возможно, что a») очевидно, интуитивно приемлема. Потому она должна быть тавтологией и, соответственно, доказуемой в логической системе. Формулы же CMaa («Если возможно, что a, то а») и Ma нельзя принять в качестве обязательных. Поэтому они не должны быть тавтологиями и доказуемыми. Такого же рода предпосылки принимаются и для необходимости.

Легко показать, что Ma не может быть функцией от a в двузначной логике. В последней имеется лишь четыре унарные функции: [Va] — 1, [Fa] = 2, [5a] — [а] и [Na] — 3 - [а]. Пусть [Ma} = [Va], Тогда Ma есть тавтология, что противоречит интуитивным предпосылкам. Пусть [Ma] — [Fa]. Тогда при [а] — 1 получим, что [СаМа] — 2, что также противоречит интуитивным предпосылкам. Аналогично обстоит дело с допущениями [Ma] ~ [Sa] и [Ма\ — [Na], так как в первом случае будет тавтологией С Маа, а во втором не будет тавтологией СаМа.

Первоначально Лукасевич считал, что для модальной логики требуется логика, в которой помимо обычных значений истинности «истинно» и «ложно» фигурирует третье значение «нейтрально». Для нас здесь не имеет значения то, насколько справедливы были суждения Лукасевича о модальных высказываниях. Важен результат — построение трехзначной пропозициональной логики. Последняя имеет следующий вид.

Значения пропозициональных переменных и формул (истинностные значения):

1) 1 — соответствует «истинно»;

2) | — соответствует «нейтрально»;

3) 0 — соответствует «ложно».

Основные функции суть С и N, которые определяются так:

1) pVa] = 1 - [a];

2) [Cab] = min (1,1 - [a] + [b]).

Через них определяются другие функции:

3) [.Aab] = [CCabb];

4) [Kab] = [NANaNb].

Можно показать, что

[Aab] — max ([a], [b]),

[Kab] — min ([a], [b]).

Формула a есть тавтология, если и только если [а] — 1 при всех комбинациях значений переменных, входящих в а.

Посредством таблиц функции N,C,F и К определяются так:

a

Na

Cab

1

I

2

0

1

0

1

1

I

2

0

X

2

1

2 * »

X 2

1

I

1

2

0

1

0

1

1

1

Kab

1

1 2

0

Aab

1

1

2

0

I

1

x

0

1

1

1

1

1

2

1

2

2

0

X 2

1

x

2

x

2

0

0

0

0

0

1

1 2

0

Отметим некоторые важные следствия, вытекающие из принятых определений. Не все тавтологии двузначной логики суть тавтологии в трехзначной логике Лукасевича.

Так обстоит дело, например, с законами противоречия NKaNa и исключенного третьего ^alVa; при [а] — | будет pVa] = | и [4aNa] — |; аналогично [KaNa] = | и [NKaNa] — j. Легко убедиться также в том, что не будут тавтологиями формулы CCNaaa, CCaNaNa, CCaKbNbNa, и т. п., являющиеся тавтологиями в двузначной логике. Тогда как формулы CNNaa и CaNNa остаются тавтологиями в логике Лукасевича (ниже мы увидим, что первая из них не будет тавтологией в трехзначной логике Гентинга).

Не всегда формулы, равнозначные в двузначной логике, равнозначны в логике Лукасевича. Таковы, например, формулы АаЬ и CNab при [а] = | и [Ь] — | получим [Ааб] = | и [СУаЬ] — 1. Имеется, однако, функция В', удовлетворяющая равенству [В^] — [CWa6], Для нее [В'аЬ] — min (1, [а] + [Ь]). Аналогично не равнозначны КаЬ и NCaNb: при [а] = | и [Ь] — | получим [Kab] — ^[iVcalVb] — 0. Имеется функция В2 такая, что [В2аЪ] — [ЛГСаЛГЬ][.В2аЬ] — max (0, [a] + [&] - 1).

Обращаем внимание на то, что в логике Лукасевича не являются тавтологиями отрицания законов противоречия и исключенного третьего: при [а] — 1 будет [NNKaNa] — 0 и [TVAaTVa] = 0. В общем виде можно сказать: если а есть тавтология в двузначной логике, то Na не есть тавтология в логике Лукасевича. Это обусловлено тем, что все тавтологии логики Лукасевича суть тавтологии в двузначной логике. В самом деле, если исключить третье значение |, то определения трехзначных функций С и N становятся определениями соответствующих двузначных функций.

Если истинностные значения суть 1 (истинно), 2 (нейтрально) и 3 (ложно), то определения функций примут такой вид:

[Na] = 3 + 1 - [a],

[Cab] — min (3 - [a] + 1, [&]),

[Aab] — min ([a], [&]),

[Kab] — max ([a], [&]).

В этой форме совершенно ясно видно, что двузначная логика может быть получена из трехзначной логики Лукасевича путем исключения значения 2, замены значения 3 значением 2 и замены числа 3 в определениях N и С числом 2. Так что логику Лукасевича, в известном смысле, можно рассматривать как своеобразное обобщение двузначной.

Система трехзначных функций C—N, как показал Слупецкий, не является функционально полной, т. е. не все трехзначные функции могут быть записаны только с помощью знаков функций С и N. Такова, например, функция Слупецкого, определяемая

[Та] - - или [Та] — 2

(если истинностные значения суть 1, 2 и 3). Система же С — N - Т является функционально полной.

Тарский [42] и Вайсберг [66] аксиоматизировали трехзначную логику Лукасевича. Аксиомы таковы:

1) СхСух;

2) CCxyCCyzCxz\

3) CCCxNxxx;

4) CCNyNxCxy.

Правила вывода — правило подстановки и modus ponens. Это исчисление не является дедуктивно полным относительно трехзначной Логики С - N -Т. Добавив к нему аксиомы

5) CTxNTx;

6) CNTxTx,

Слупецкий [60] сформулировал дедуктивно полное исчисление.

§ 3. Другие системы Лукасевича

Как уже говорилось, стимулом к построению многозначной логики у Лукасевича послужило исследование модальных высказываний. Позднее Лукасевич [43], [44] пришел к выводу, что при построении модальной логики должно быть сохранено классическое пропозициональное исчисление. Он построил четырехзначную логику, которая отвечает этому требованию.

Четырехзначную логику Лукасевич строит таким методом. Пусть 1 и 2 — значения двузначной логики; 1, 2, 3 и 4 — значения четырехзначной логики; С1 и N2 — функции двузначной логики; С4 и N4 —■ функции четырехзначной логики. Переход от значений двузначной логики к значениям четырехзначной осуществляется по правилу: пара числе 11 заменяется на 1, пара 12 — на 2, пара 21 — на 3, пара 22 — на 4. Функции С4 и N4 определяются так:

1) [С4(а', а2)(Ь!, Ь2)] = [C2a'b'], [С2а2Ь2];

2) [ДГ4(а, Ь)] = [№а], [№б].

Если, например, [а1] — 1, [а2] = 2, [Ь1] = 2 и [Ь2] = 1, то [С2а'ь’] — 2 и [С2а2Ь2] — 1. Справа от знака равенства получаем пару чисел 21, т. е. значение 3 в четырехзначной логике. Первый аргумент С4 имеет значение 2; на месте первого аргумента в определении С4 стоит (а1, а2); поскольку [а1] = 1 и [а2] — 2, имеем пару чисел 12, которой соответствует значение 2. Второй аргумент (рассуждая аналогично) имеет значение 3. Таким образом, если [а] = 2 и [Ь] = 3, то [С4аЪ] — 3. Подобным образом устанавливается значение для всех прочих комбинаций значений а и Ь. Аналогично — для N4. Этот способ построения многозначной системы, называемый умножением матриц, был предложен, как утверждается в [71], Яськовским. Он легко обобщается как способ построения 2"-значных логик, где п > 2.

Матрицы С4 и N4 имеют вид:

X

N х

Сху

1

2

3

4

1

4

1

1

2

3

4

2

3

2

1

1

3

3

3

2

3

1

2

1

2

4

1

4

1

1

1

1

Тавтологиями являются формулы, всегда принимающие значение 1. В системе С4 - 7V4 все тавтологии двузначной логики точно так же являются тавтологиями.

Лукасевичем и Тарским [42] была впервые в истории логики описана бесконечно-пропозициональная логика (1930 г.) с основными функциями С и N. Определяются они так же, как выше. Истинностные значения суть действительные числа в интервале от 0 до 1 включительно. Например, если [а] = 0,35 и [Ь] — 0,571, то [Cab] = min (1, 1 -0,35 + 0,571) = 1, [Na] = 0,65, [Nb] = 0,429.

Тавтологии принимают значение 1, которое соответствует истине. Значение 0 соответствует ложности.

Лукасевич предположил, что все тавтологии бесконечнозначной логики С - N могут быть получены с помощью правил подстановки и modus ponens из следующих аксиом:

1) СхСух',

2) CCxyCCyzCxz;

3) САхуАух;

4) АСхуСух;

5) CCNxNyCyx.

При этом Аху есть сокращение для ССхуу. Это утверждение Лукасевича в 1935 г. доказал Вайсберг [66], [67]. Позднее независимо от него другое доказательство дали Роуз и Россер [57], затем Ханг [19]. Мередит [47] доказал зависимость аксиомы 4 от остальных, а Тюркетт вывел ее только из аксиом 1, 2 и 3 [65].

Бесконечная (как и трехзначная) логика Лукасевича есть фрагмент Двузначной в том смысле, что все их тавтологии суть тавтологии в последней, а все доказуемые в соответствующих исчислениях формулы доказуемы в классической пропозициональной логике (но, как мы уже видели, не всегда наоборот). В трехзначной логике имеются формулы, не имеющие силы в бесконечнозначной.

Лукасевич связал идею бесконечнозначной логики с исчислением вероятностей, рассматривая истинностные значения как степени вероятности высказываний.

§ 4. Многозначная логика Поста

Независимо от Лукасевича построил и вскоре после него опубликовал свою многозначную систему Пост [48]. В отличие от Лукасевича Пост исходил из чисто формальных соображений. Он допустил, что пропозициональные переменные и содержащие их формулы принимают значения из множества данных п значений (п 2) и рассматривал га-значные пропозициональные функции. Очевидно, такой подход стал возможен лишь при условии, что в логике уже привыкли отвлекаться от смысла выражений «истинно» и «ложно», заменяя их любыми удобными знаками и сосредоточивая внимание на чисто логических отношениях, и вместо высказываний брать любые аргументы и функции, определенные этими отношениями.

Было бы не совсем точно утверждать (как это сделано в [3]) будто Пост не интересовался вопросом интерпретации многозначности высказываний. Он полагал, что многозначные высказывания можно интерпретировать посредством двузначных следующим образом. Высказывание X, принимающее п значений истинности, можно рассматривать как класс, состоящий из п — 1 двузначных высказываний Xх,..., Хп~!. Если все высказывания этого класса истинны, то X имеет значение истинности, допустим, t,; если все Х\..., Хп~' истинны, кроме одного, то X имеет значение ; если все XXn i ложны, то X имеет значение tn. Завирский [70] усматривает в этой интерпретации связь с понятием вероятности.

Система Поста имеет такой вид (мы ее примем в принятой здесь символике):

1) значения истинности суть 1,2,... ,п (п 2), где п — конечное число;

2) основные функции суть циклическое отрицание и дизъюнкция, определяемые равенствами

а) [№а] = [а] + 1 при [а] п - 1,

[№а] = 1 при [а] — п\

б) [Aab] = min ([а], [&])

(эта система функционально полна, при п = 2 функции Np и А суть обычные двузначные функции);

3) тавтологией является формула, которая всегда (при любых комбинациях значений входящих в нее переменных) принимает такое значение г, что 1 С г < з, где 1 s < п — 1; значения называются выделенными или отмеченными; возможно, что s > 2.

Через Np и А определяются прочие функции, в том числе — конъюнкция и отрицание в смысле Лукасевича. Последнее называют симметричным отрицанием. Обозначим его через NL. Для них имеют силу равенства:

[lVLa] = n-[a] + l,

[Kab] — max ([о], [Ь]).

Посредством таблицы циклическое отрицание Поста определяется так:

Npa

1

2 3

п

1

2

п - 1

п

Интерес здесь представляет то, что многозначные функции Поста (и Лукасевича), суть обобщения двузначных. Причем обобщение это может идти по разным линиям. Так, Np и NL суть обобщения двузначного N: при п = 2 они оба совпадают с ним. Но для первого имеет силу равенство \nNpa\ — [а], где п перед N указывает на то, что перед a записано п раз N. Для второго же — [о].

Пост разработал метод формализации (аксиоматизации) функционально полной n-значной пропозициональной логики с произвольным числом отмеченных значений. Заметим, что проблема формализации функционально неполной пропозициональной логики была решена позднее (Слупецкий, Вайсберг).

§ 5. Возникновение многозначной концепции логики

Говоря о становлении многозначной логики, мы имеем в виду не только появление ее формального аппарата, но и возникновение многозначной концепции логики. Исторически первой попыткой такого рода можно считать попытку самого Лукасевича построить модальную логику на основе многозначной пропозициональной логики. Попытка осуществить это на основе трехзначной логики, отвергающей двузначную (и соответствующее ей классическое пропозициональное исчисление) оказалась несостоятельной, и Лукасевич позднее ее отверг и обратился к четырехзначной логике, которая сохранила классическое исчисление.

Вопрос о возникновении многозначной концепции логики теснейшим образом связан с вопросом о возникновении интуиционистского направления в логике. Конечно, критика закона «исключенного третьего» и построение логического исчисления, в котором этот закон (или его эквивалент) недоказуем, сами по себе еще не означали перехода к многозначной логике в смысле построения ее формального аппарата. Однако это направление в логике оказалось тесно связанным с идеями многозначной логики, ибо критика закона исключенного третьего затрагивала самую основу двузначной логики — принцип двузначности высказываний. Кроме того, здесь была предпринята первая (после Лукасевича) попытка использования самого аппарата многозначной логики для обоснования намерений этого направления.

Исходным пунктом послужило следующее утверждение Брауэра [16], [17]: безграничное действие закона исключенного третьего имеет силу только для той части математики (и, значит, для той части естествознания), которая развертывается внутри некоторой определенной конечной математической системы (на которую проецируется определенная конечная математическая система).

В одной из философских статей [31] Гейтинг приводит следующий пример. Возьмем утверждение: всякое целое число, большее единицы, есть либо простое, либо сумма двух простых, либо сумма трех простых. Неизвестно, так это или нет, хотя во всех рассмотренных случаях (а их — конечное число) это так. Назовем исключительным число, которое не удовлетворяет приведенному утверждению. Существует такое число или нет? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допущения его существования. Отсюда делается вывод о неприменимости закона исключенного третьего в таких случаях (как увидим ниже, этот закон не объявляется ложным, просто он не принимается в качестве закона в рассуждениях, имеющих дело с такого рода фактами).

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводится равнозначность двойного отрицания а; и ж, то есть выводится KCNNxxCxNNx (и наоборот). Брауэр предложил ослабить этот закон, принимая только одну его часть, CxNxx, и исключая другую, CNNхх (исключая, по его терминологии, принцип, согласно которому из абсурдности х следует ж). Гейтинг [30], [32] разработал логическую систему, исходя из этого основания.

Трехзначная пропозициональная логика Гейтинга имеет такой вид. Значения истинности суть 1, | и О (мы принимаем эти обозначения для того, чтобы легче было сравнить с логикой Лукасевича). Тавтология принимает значение 1. Основные функции суть отрицание N и импликация С, которые определяются так:

1) [Cab] = 1,

если

[а] < [Ь],

[Cab] = [&],

если

Ы > М;

2) если [а] — 1

1 или

2

то [Л"а] — 0.

если [а] — 0,

то [Ла] — 1.

Конъюнкция и дизъюнкция определяются как у Лукасевича.

Легко видеть, что функции С и N у Гейтинга отличны от таковых у Лукасевича. Первые обозначим Сн и 7VH, вторые — СL и NL. Из определений видно, что не всегда [СнаЬ] = [CLab] и не всегда [NHa] = [NLa],

Посредством таблиц функции Сн и Лн определяются так:

а

Na

гн

1

2 2

0

1

0

1

1

1

2

0

х

2

0

1

2

1

1

0

0

1

0

1

1

1

Импликация Гейтинга отличается от импликации Лукасевича только значением для комбинации [в] = | и [Ь] — 0, а отрицание — значением для [а] = |. Но эта «мелочь» имеет весьма существенные последствия.

Из определений следует, что CNNaa и AaNa не являются тавтологиями в трехзначной логике Гейтинга, поскольку при [а] — | получим [C-NWae] = | и [АаЛа] — |. Формула CaNNa остается тавтологией (так что пожелание Брауэра выполнено). Тавтологией является также AAaNaNNa, которую можно рассматривать как своеобразное обобщение закона исключенного третьего (в силу того, что NNa не равнозначно a, этот дизъюнктивный член отбросить нельзя).

Формулы NAaNa и NCNNaa тавтологиями в логике Гейтинга не являются. Они здесь вообще никогда не имеют значения 1, т. е. невыполнимы. Это достаточно показательный пример (как и в случае с NAaNa и NNKaNa в логике Лукасевича) того, что отрицание какого-либо логического закона ни в коем случае нельзя понимать как признание (утверждение) отрицания этого закона. Многозначная логика не вступает в противоречие с двузначной. Она, прежде всего, есть обобщение последней: исключение «дополнительных» (сравнительно со значениями, соответствующими истинности и ложности) значений истинности так или иначе ведет к тому, что из многозначной получается двузначная логика.

Рейтинг построил пропозициональное исчисление, получившее название интуиционистского. Пропозициональные исчисления, эквивалентные гейтинговскому, построили Лукасевич, Генцен [23] и другие авторы. Независимо от Рейтинга формальный аппарат для логики, не опирающийся на закон исключенного третьего, наметил Колмогоров [5], [37], а Гливенко [24], [25] развил идеи Колмогорова, построив пропозициональное исчисление, которое получило название конструктивистского [8]. Оно эквивалентно гейтинговскому исчислению.

Интуитивисткое пропозициональное исчисление связано с трехзначным матричным построением Рейтинга следующим образом: все доказываемые в первом формулы суть тавтологии во втором, так что если некоторая формула не является тавтологией в трехзначной логике Рейтинга, то она недоказуема в интуиционистском исчислении. Формулы CNNaa, AaNa и т. п. такими тавтологиями не являются. Значит, они недоказуемы в рассматриваемом исчислении. Таким образом, многозначная логика здесь явилась удобным средством обоснования того, что формулы, которые желательно исключить из правил логики, не попадут в их число каким-то неявным способом.

Интуиционистское пропозициональное исчисление, однако, не эквивалентно трехзначной логике Рейтинга. Например, формулы

ACabCba и CCNNaaAaNa

недоказуемы в этом исчислении, хотя они суть тавтологии в трехзначной логике Рейтинга. Как показал Гёдель [26], невозможно построить многозначную логику с конечным числом значений истинности, которая была бы эквивалентна интуиционистскому пропозициональному исчислению.

Гпава 3

Аппарат многозначной логики

§ 1. Аппарат многозначной логики

На фоне бурного развития других разделов и направлений современной (математической) логики прогресс в области многозначной логики выглядит довольно спокойным, неторопливым. Это объясняется целым рядом причин, из которых здесь достаточно упомянуть следующие: 1) сама идея многозначности высказываний многим лицам, имеющим какое-то влияние на организацию и направление логических исследований, до сих пор кажется чем-то еретическим, надуманным;

2) такой мощный стимул развития логики, как потребности современной техники в области многозначной логики действуют пока еще слабо;

3) преимущества многозначной логики в решении проблем логики пока еще не обнаружили себя достаточно широко и убедительно, а сама разработка аппарата многозначной логики есть дело гораздо более сложное сравнительно с аналогичными темами двузначной логики.

Однако со времени опубликования работ Лукасевича и Поста в многозначной логике накопилось довольно большое число работ, содержащих серьезные результаты. Выше мы уже упоминали работы Вайсберга, Слупецкого, Яськовского, Гёделя, Россера, Тюркетта, Мередита, Роуза, Ханга. В 1952 г. была опубликована книга Россера и Тюркетта [53]. Ни в какой мере не претендуя на библиографическую полноту, назовем еще работы Россера и Тюркетта [54-57], [64], [65], Вебба [68], [69], Бочвара [1], [2], Яблонского [11], Роуза [57], Ханга [18], [19], Беллуца [13], [14], Рутледжа [58], Джоба [34], Скарпел-лини [59], Гаврилова [3]. В этой главе мы охарактеризуем аппарат многозначной логики в самой общей форме. Этот аппарат охватывает пропозициональную логику и логику предикатов. По нашему мнению, последнюю можно отнести также к сфере многозначной концепции логики. Но это говорит лишь о том, что наше разделение на аппарат и концепцию не строго и безусловно.

§2. Гипотезы многозначности

Обратимся прежде всего к многозначной пропозициональной логике. В ее основе лежат, как уже отмечалось, гипотезы многозначности высказываний. Именно гипотезы, а не одна какая-то гипотеза, ибо здесь возможны и на самом деле имеют место вариации.

Всякая гипотеза многозначности включает в себя: 1) указание (задание) множества значений истинности, которые принимают пропозициональные формулы; 2) признание того, что одна и та же формула не может сразу принимать два различных значения. Обычно вторая часть гипотезы явно не формулируется, поскольку она содержится в самом способе определения пропозициональных функций. Значения истинности, удовлетворяющие второму условию, будем называть основными. Ниже мы увидим, что возможны значения истинности, которые этому условию не удовлетворяют.

Гипотезы многозначности разделяются на конечные и бесконечные. Первые, в свою очередь, разделяются на такие виды: 1) допускается определенное множество значений истинности (трехзначные, четырехзначные и т. п.) логики; помимо приведенных выше примеров можно указать на работы [1], [11], [36], [52], [21]; 2) допускается любое конечное множество значений (например, работы [11], [48], [53], [57], [68]);

3) допускается класс конечных множеств значений (например, работы [28], [71]). Примером гипотезы третьего типа является допущение 2” значений, где п 1. Бесконечные гипотезы разделяются на счетнобесконечные и несчетнобесконечные (континуальные). Пример для первых — множество значений состоит из 0, 1 и бесконечного множества дробей ... . Пример для вторых — множество значений есть множество действительных чисел на отрезке [0,1].

§3. Функции

Основные пропозициональные функции суть функции, которые определяются так: для каждой комбинации значений переменных указывается значение, которое принимает формула, содержащая эти переменные, и знак определенной функции. Так что в определениях основных функций фигурируют значения истинности и выражения обычного языка или некоторого эксплицирующего их искусственного языка. По отношению к многозначным функциям эту роль могут выполнять константы классической логики. Такого рода определения можно назвать семантическими.

Производными пропозициональными функциями являются такие, которые определяются как сокращения для формул, содержащих знаки пропозициональных переменных и основных функций. Если a есть сокращение для 6, то в а входят: I) все переменные, входящие в Ь, и только эти переменные; 2) знак вновь вводимой производной функции. Такого рода определения можно назвать синтаксическими. В синтаксических определениях значения истинности не фигурируют. Они имеют либо вид [а] — [6], либо вид «а есть сокращение для b», где выражение «есть сокращение» обычно заменяется каким-либо символом. Для каждой производной функции может быть получено и семантическое определение.

Семантические определения суть матрицы. Они могут быть заданы разными способами: посредством таблиц, математических равенств и неравенств, предложений «Если X, то Y» (где в X перечисляются значения переменных, а в У указывается значение функции). Табличный метод получил широкое распространение в логике. Он имеет достоинство наглядности, но громоздок и не всегда применим.

Основные функции являются независимыми, если и только если среди них нет такой, которая может быть синтаксически определена через другие. Число основных независимых функций может быть конечным и бесконечным. Пример для последнего случая — класс функций Q'ж, определяемых так \Q'х\ = i, если [ж] — i, и \Q'x\ — 0 в остальных случаях. Если 0 i 1, то класс таких функций бесконечен.

Пропозициональные многозначные функции можно разбить на две группы другим образом: 1) простые функции; они определяются так, что для каждой комбинации значений аргументов указывается одно и только одно значение функции; 2) суммарные функции; они определяются так, что по крайней мере для одной комбинации значений аргументов указывается, что функция может принимать любое одно из данных двух или более значений. Пример суммарной функции: если [ж] < s, то \Нх\ > s, и если [ж] > з, то [Да] з, где I з га. При ге = 4 и s = 2 в случае [ж] = 1 функция Нж может принимать любое из значений 3 и 4. Если функция суммарная, то имеется по крайней мере две различные простые функции, каждая из которых удовлетворяет ее семантическому определению. С помощью суммарных функций можно строить синтаксические определения простых, но с помощью одних только простых функций синтаксически определить суммарную функцию невозможно, что очевидно.

Если в определение некоторой (простой или суммарной) функции входят какие-либо варьируемые знаки, то семантическое определение этой функции фактически есть определение класса функций. Так, приведенное выше определение Q'x есть определение класса функций, поскольку в зависимости от i получаются различные функции. Число элементов этого класса равно числу значений истинности. Аналогично в зависимости от различных га и з получаются определения различных суммарных функций, являющихся элементами класса функций Нх.

Вопрос о выборе основных и производных функций, с помощью Которых развертывается система утверждений, образующих данную логическую систему, вообще говоря, есть дело вкуса, случая и формальных Удобств. Однако в многозначной логике сложилась традиция обычно выбирать функции, аналогичные двузначным импликации, конъюнкции, дизъюнкции и отрицанию, а также такие функции, с помощью которых можно определить эти привычные функции или доказать какие-либо касающиеся их теоремы. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в следующей главе.

§ 4. Функциональная полнота

Система основных функций данной (с заданным множеством значений, которые принимают аргументы и функции) многозначной пропозициональной системы является функционально полной, если и только если любая функция может быть синтаксически определена через функции этой системы. Примеры функционально полных и неполных систем мы уже приводили. Заметим лишь, что га-значная (с любым конечным числом значений) логика, основывающаяся лишь на одной функции Вебба [68], [69] является функционально полной (доказательство см., например, в [11]).

Решение проблем функциональной полноты дает возможность свести изучение функций некоторого построения с заданным числом значений истинности к изучению свойств основных функций. Но это не означает, что функционально неполные построения не играют никакой роли и не представляют интереса. Они могут использоваться для исследования определенных классов формул и решения отдельных задач.

Задачи многозначной логики в отношении проблемы полноты не сводятся к выяснению того, полна или нет та или иная система основных функций. Здесь разрабатывается более сложная система утверждений, можно сказать — теория критериев полноты (см., например, [11], [34], [62]).

§5. Тавтологии

Множество значений истинности разбивается на два непустые подмножества. Значения, принадлежащие к одному из них, называются отмеченными (утверждающими), а принадлежащие к другому — неотмеченными (отрицающими). Тавтологией (общезначимой формулой) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в них переменных принимает отмеченное значение,

В отличие от двузначной логики в многозначной логике числе отмеченных значений может быть больше одного. Так, в системах Лукасевича отмеченным является только одно значение, а в системе Поста — любое число значений, меньшее общего числа значений. Это существенным образом сказывается на определении класса тавтологий. Если допустить, например, что в трехзначной логике Лукасевича значение | точно так же есть отмеченное значение, то формулы AaNa и NKaNa окажутся тавтологиями. Аналогично в трехзначной системе Гейтинга становится тавтологией формула CNNaa, если включить значение | в число отмеченных.

Формула, которая по крайней мере для одной комбинации значений переменных принимает отмеченное значение, называется выполнимой. Формула является невыполнимой (противоречием), если для всех комбинаций значений переменных принимает неотмеченное значение. Число последних точно так же может быть равно двум или более. Как видим, все эти понятия суть обобщения соответствующих понятий двузначной логики.

В двузначной логике (и в классическом исчислении соответственно) вводятся понятия нормальных (или канонических) форм — дизъюнктивных, конъюнктивных, импликативных (см. [7], [33], [36]). Нормальной формой данной формулы называется равнозначная ей формула, удовлетворяющая некоторым стандартным условиям. Приведение формул к нормальной форме дает способ по виду формулы (без проверки в соответствии с семантическими определениями или без доказательства из аксиом) судить о том, является она тавтологией (или, соответственно, доказуемой формулой) или нет. Такого рода исследования ведутся и в области многозначной логики (см., например, [34]).

Выбор гипотезы многозначности, основных функций и отмеченных значений определяет тип многозначной логической системы.

§6. Аксиоматизация

Аксиоматизацией многозначной пропозициональной логики называют построение аксиоматической системы (пропозиционального исчисления), которая удовлетворяет следующим условиям: 1) все тавтологии данной многозначной логики выводятся (доказуемы) в данном исчислении; 2) все тавтологии выводятся в данном исчислении, все доказуемые в этом исчислении формулы суть тавтологии данной многозначной логики.

Как и в двузначной логике, здесь в первом случае исчисление называют дедуктивно полным относительно данного многозначного матричного построения, а во втором — дедуктивно эквивалентным. Иногда здесь употребляют термин «формализация», что делает этот термин еще более неопределенным. Вместо системы аксиом может быть взята система аксиомных схем Но это означает лишь то, что нет правила подстановки, а вместо переменных фигурируют любые формулы (т. е. правило подстановки не формулируется явным образом).

Проблема аксиоматизации довольно основательно разработана в многозначной логике. Мы имеем в виду работы Лукасевича, Поста, Вайсберга, Слупецкого, Россера, Тюркетта и ряд других авторов [13], [14], [19], [20], [22], [26], [29], [34], [42], [48], [50], [53-59], [64-67]. Она решена для функционально полных и неполных систем, для конечнозначных и бесконечнозначных, для одного отмеченного значения и для произвольного числа отмеченных значений. Подробно этот вопрос рассмотрен в книге Россера и Тюркетта [53]. Для каждой многозначной системы может быть найдено хотя бы одно дедуктивно эквивалентное аксиоматическое построение, но не всегда наоборот [53].

Примеры аксиоматизации мы уже приводили. Приведем еще дедуктивно полную аксиоматическую систему для n-значной логики (значения истинности суть 1,2,п; п > 2) с произвольным числом отмеченных значений (отмеченные значения 1,..., s, где 1 < з < п). Эта система изложена в [56]. Правило вывода в ней — modus ponens для С. Функции С, А и К определены семантически как у Лукасевича. Функция Ik семантически определяется так;

[Ik о\ — 1, если [а] — к,

[2* а] — п, если [а] Ф к.

к

Формула Г,а'Ь определяется так:

к

если [Г, a'b] — [b], то к < i,

если ]Г» a'b] — \Cak Г , a'b], то к i.

Например, [Pza^b] = [Ca5Ca4Ca3b], Аксиомные схемы системы имеют такой вид:

1) CbCab;

2) CCCabaa;

3) CCabCCbcCac;

4) ?iCI'abb;

5) Cl'aa;

6) Г\1кат11 F'(al,..., am),

где I < r < s, m 1, к ~ [ar], I — [FJ(al,..., am)], 1 < r < m, F3(a',..., am) суть основные функции (j 1), такие, что через них синтаксически определяются С и 1к.

Аксиоматические построения сами по себе не являются двузначными или многозначными. Возьмем, например, систему аксиом Тарского— Бернайса. Ее можно рассматривать как аксиоматизацию двузначной логики с основной функцией С. Но можно рассматривать и как аксиоматизацию четырехзначной логики с основной функцией С, матрица которой получается путем умножения двузначных матриц по методу Яськовского (это показано в работе Расёвой [50]). Так что то или иное аксиоматическое построение может быть расценено как построение в области многозначной логики лишь в том случае, если указано многозначное матричное построение, аксиоматизацией которого оно является, — если дана его многозначная семантическая интерпретация. В ряде случаев на возможность такой интерпретации есть указания в самой аксиоматике, как это сделано в приведенных выше системах Россера и Тюркетта.

Дедуктивную полноту аксиоматического построения в рассмотренном выше смысле называют также семантической полнотой в отличие от полноты синтаксической. Последняя имеет место тогда, когда присоединение к аксиомам новой формулы, независимой от них, ведет к противоречию или к тому, что любая формула становится выводимой. Вопрос о синтаксической полноте исчислений в области многозначной логики специально еще не исследован.

§ 7. Логика предикатов

В современной логике до возникновения многозначной логики и независимо от нее после ее возникновения сложилась определенная проблематика, ставшая традиционной. Эта проблематика, как мы видели, была перенесена в область многозначной пропозициональной логики. Затем в многозначную логику была перенесена и проблематика логики предикатов. Это сделано в работах Россера и Тюркетта, Мостовского [46], Ханга [14], Скарпеллини [59], Беллуца [13], Рутледжа [58], Хей [29] и других авторов. Причем, пока эта проблематика в многозначной логике имеет сугубо формальный характер. Вопрос о возможности таких интерпретаций многозначной логики предикатов, которая хотя бы в некоторой мере приближалась к интуитивной ясности, пока еще только ставится как вопрос правомерный и интересный. Идеи многозначной логики охватили пока только логику предикатов первой ступени. Получены некоторые интересные результаты, касающиеся не только п-значной, но и бесконечнозначной логики. Установлено, например, что нет полной аксиоматизации с конечным или счетным множеством аксиом (экономных схем) и конечным или счетным множеством правил вывода для бесконечнозначной логики предикатов [53], невозможна полная аксиоматизация бесконечнозначной логики предикатов Лукасевича [59], возможно дедуктивно полное бесконечнозначное исчисление одноместных предикатов [58] и т.д.

Всякое исчисление предикатов строится путем присоединения к некоторому пропозициональному исчислению дополнительных элементов алфавита (индивидные переменные, переменные предикаты, константы обоих видов, кванторы), добавлений в определение формулы, аксиом (или экономных схем) и правил вывода, содержащих индивидные переменные, кванторы и т.д. В качестве пропозиционального исчисления могут быть взяты классическое или интуиционистское (или конструктивистское) пропозициональное исчисление, системы строгой [45] или сильной [12] импликации и другие логические системы.

Классическое исчисление предикатов строится путем присоединения к классическому пропозициональному исчислению следующих дополнений (мы ограничимся исчислением первого порядка). Дополнение к обозначениям (к алфавиту):

1) а, 0,7, а1, а2,... — индивидные переменные;

2) Р, Р1, Р2,. • • — предикаты;

3) 2, V — кванторы.

Дополнение к определению формулы:

1) если а, а1,..., ат (тга 2) суть индивидные переменные, а Р есть предикат, то Р(а) и Р(а',..., ат) суть предикатные формулы;

2) предикатные формулы суть формулы;

3) пропозициональные формулы суть формулы;

4) если X есть формула, то (2 а)Х и (V а)Т суть формулы.

Индивидная переменная а входит в X в следующих случаях:

1) а входит в Р(а);

2) а' входит в Р(а',, ат), где i = 1,...,т;

3) если а входит в У, а У входит в X, то а входит в X.

Вхождение а в X называется связанным, если и только 'если а входит в У и (2 а) У или (V а) У входит в X, и свободным в остальных случаях.

Дополнение к системе аксиом [7]:

1) СР(а)(2Д)Р(Д);

2) C(Vа)Р(а)Р(Д).

Дополнение к правилам вывода [7]:

1) правила подстановки для свободных и связанных дрдивидных Переменных;

2) правила введения кванторов.

Интуиционистское исчисление предикатов получится, если эти же дополнения присоединить к интуиционистскому пропозициональному исчислению [32].

Нас здесь интересует прежде всего такой вопрос: в каком смысле классическое исчисление предикатов является двузначным, что такое двузначная логика предикатов?

Классическое исчисление предикатов расценивается как двузначное не само по себе, а лишь при условии его двузначной семантической интерпретации. Смысл ее в отношении пропозиционального исчисления мы рассмотрели. Остановимся здесь лишь на соответствующей интерпретации указанных выше дополнений.

Прежде всего задается область U значений для индивидных переменных (каким-то образом указывается множество индивидов, которые будут считаться значениями индивидных переменных). Эта область может состоять из одного, двух и т.д. индивидов: она может быть и бесконечной. Будем индивиды (т. е. значения индивидных переменных) записывать символами а с нижними индексами.

Допускается, что для каждого предиката Р множество индивидов U может быть разбито на два непересекающиеся подмножества U1 и U? такие, что:

1) если а, £ U*, то [Р(а)] — 1;

2) если а, 6 17А, то [Р(а)] — 2

(знак 6 есть знак включения элемента в множество). Аналогично для пар, троек и т. д. (для любых энок) индивидов. Пусть Un есть множество всех энок (n > 1), составленных из элементов U. Оно разбивается на два подмножества U„ и U„ такие, что

1) если {аь ... ,ап} Е U„, то [Р(а',..., а")] = 1;

2) если {а|,..., an) Е U„, то [Р(а',..., а”)] — 2.

Примем теперь определения, устанавливающие условия приписывания формулам с кванторами истинностных значений (в X при этом нет других свободных индивидных переменных, кроме а; так что значение X зависит только от значения а):

1) [(Уа)Х] — 1, если и только если [X] — 1 для любых значений индивидной переменной а;

2) [(2 а)Х] — 1, если и только если [X] — 1 по крайней мере для одного значения индивидной переменной а.

Понятие общезначимой формулы (тавтологии) можно распространить на любые формулы, включая формулы с кванторами:

1) формула X является общезначимой в U, если и только если для любых комбинаций значений индивидных переменных из этой области и любых комбинаций значений пропозициональных переменных, входящих в X, [X] — 1;

2) формула X общезначима, если она общезначима в любой области индивидов.

Так как классическое исчисление предикатов (первой ступени) дедуктивно полно относительно такой двузначной интерпретации, то (и лишь постольку) его называют иногда двузначным. Сама эта интерпретация называется двузначной логикой предикатов.

Но аналогичным образом мы можем поступить и в многозначной логике, изменив немного ход рассуждения. Сохраним все приведенные выше дополнения, кроме аксиом и правил вывода. Пусть формулы принимают значения истинности из множества значений V. Число его элементов т может быть больше двух. Пусть индивидные переменные принимают значения из множества индивидов U. Последнее разбивается на т непересекающихся подмножеств энок (n 1) индивидов (выбранных из элементов U) таких, что:

1) если at EU3, то [Р(а)] = j;

2) если {аь .., an} G U„, то |Р(а',..., а”)] — j, где i € V.

Если значения истинности суть 1,2,.. ,т, то условия приписывания формулам с кванторами значений истинности примут такой вид:

1) (Va)X имеет наименьшее из возможных значений истинности X;

2) (3 а)Х имеет наибольшее из возможных значений истинности X.

Понятие общезначимой формулы можно теперь определять так:

1) формула X общезначима в области U, если и только если для любых комбинаций значений индивидных переменных из этой области и любых комбинаций значений пропозициональных переменных, входящих в нее, она принимает отмеченное значение истинности;

2) формула X общезначима, если она общезначима в любой области индивидов.

Теперь можно ставить вопрос о том, дедуктивно полно или нет некоторое исчисление предикатов относительно такого рода многозначной интерпретации, а также ставить задачу отыскания аксиоматизации для таких многозначных построений. Мы привели лишь самую простую иллюстрацию для связи многозначной логики с исчислением предикатов. Здесь возможны вариации, зависящие от типа многозначной пропозициональной логики, от типа области индивидов, от типа предикатов.

Приведем в заключение пример аксиоматизации многозначной логики предикатов, базирующейся на многозначной системе Лукасевича. Это исчисление изложено в [29].

Аксиомные схемы суть:

1) CXCYX;

2) CCXYCCYZCXZ;

3) CAXYAYX-,

4) CCNXNYCYX;

5) СК(3 а)Х(3 о)Х(3 a)KXX;

6) СТ(Эа)У,

где X есть результат подстановки /3 на место всех свободных вхождений а в У, и в У нет такого вхождения (3 0}Z, в которое входит а;

7) С(За)Т(3/3)У,

где У (X) есть результат подстановки /3 (а) на место всех свободных вхождений a (0) в X (в У);

8) C(Va)CXYC(3a)XY,

где а не свободна в У;

9) ССХ(3 a)Y(3 a)CXY,

где а не свободна в X.

Правила вывода — modus ponens и правило обобщения (из X получается (Уа)Х).

Гпава 4

Двузначная и многозначная логика

§ 1. Принципы двузначности и многозначности

Прежде всего надо различать принцип двузначности, который состоит в допущении двух и только двух взаимоисключающих значений истинности высказываний, и утверждение «X или не-Х», где X есть любое высказывание. На уровне только двузначной логики это различение либо вообще не осуществляется, либо считается несущественным, поскольку эти утверждения здесь так или иначе совпадают. На уровне же многозначной логики различие их выступает с полной очевидностью, — один из примеров того, что переход к многозначной логике дает возможность для более тонкого анализа в самой двузначной логике.

В самом деле, принцип многозначности состоит в допущении того, что число взаимоисключающих значений истинности может быть более двух. Такое допущение уже нельзя записать утверждением, подобным «X или не-Х». Теперь требуется утверждение «[X] — г1 или [X] — г2 или...», где [X] — г" читается как «X имеет значение истинности ?». И при этом для каждого значения сохраняет силу утверждение «[X] — г' или [X] г’» или «X имеет значение г’ или X не имеет значения ?».

Обозначив «X имеет значение г’» через Y, получим утверждение «Y или не-У», т. е. частный случай того утверждения, которое приведено выше в начале параграфа.

Возвращаясь к двузначной логике, мы принцип двузначности должны записать в форме ] = г1 или [X] — г2». И при этом предполагается, что «[X] — г1 или [X] уН1» и «[X] = г2 или т/г2», т. е. предполагаются какие-то законы логики, отличные от самого этого принципа. В этом нет ничего парадоксального: построение двузначной и многозначной логики есть решение содержательной задачи; решение это осуществляется на языке, обладающем определенными логическими свойствами; строящиеся логические системы могут использоваться для экспликации этих свойств языка, но язык обладает этими свойствами до них и независимо от них.

Таким образом, принцип двузначности есть утверждение «Всякое высказывание либо истинно, либо ложно», но не утверждения «Всякое высказывание либо истинно, либо не является истинным» и «Всякое высказывание либо ложно, либо не является ложным». Первое есть частное допущение в рамках логики как науки, вторые же суть частный случай действия логических правил самого языка. Первое может быть заменено в логике другими гипотезами (например, «Всякое высказывание либо истинно, либо ложно, либо неопределенно»), вторые же сохраняют силу при всех обстоятельства как условия построения логических теорий.

В этой главе, говоря о взаимоотношении двузначной и многозначной логики, мы будем иметь в виду исключительно взаимоотношения логических систем, построенных на основе принципов двузначности и многозначности.

Но имеется многозначное обобщение принципа двузначности: «Всякое высказывание имеет либо утверждающее (отмеченное), либо отрицающее (неотмеченное) значение истинности». На языке пропозициональной логики для случая n-значной системы: для любой формулы а либо s, либо п. Это допущение вводится

по аналогии с двузначным разбиением множества высказываний на два непересекающиеся подмножества в интересах точного исследования их свойств в рамках науки логики.

§ 2. Двузначные и многозначные функции

Многозначные функции по отношению к двузначным можно разделить на две группы:

1) функции, имеющие аналоги в двузначной логике;

2) функции, не имеющие таких аналогов.

Эти понятия надо уточнить, поскольку они имеют важное значение для последующих рассуждений.

Пусть 1 и 2 суть значения истинности двузначной логики, аги к — значения многозначной логики, которые считаются соответствующими 1 и 2. Функция Fn многозначной логики есть аналог функции F2 двузначной логики в том и только в том случае, если выполнено следующее условие: после исключения из семантического определения Fn всех значений, кроме i и fc, и замены ink соответственно на I и 2 получается семантическое определение F2. Определим, например, некоторую функцию таблицей

1

1

2

О

1

1 о о

1

2

о

I

о

I

2 2

О

После исключения значения | и замены 0 на 2 получим таблицу двузначной функции

Функции не имеют двузначных аналогов в том случае, если после устранения всех значений, кроме г и к, и замены последних на 1 и 2 не получится семантическое определение двузначной функции. Например, если в таблице трехзначной функции

ъ

1

1

2

0

1

1

0

2

1 2

0

1

2

0

1 2

0

0

вычеркнуть значения | и заменить 0 на 2, то получим таблицу которая не определяет никакую двузначную функцию. Все функции Та такие, что [R]a] = j (j / i, j к) не имеют аналогов в двузначной логике, что очевидно.

Возможны различные многозначные аналоги для одной и той же функции. Таковы, как мы видели, многозначные отрицания Лукасевича и Рейтинга для двузначного отрицания, многозначные импликации Лукасевича и Рейтинга для двузначной импликации и т. д.

Можно ввести ослабленное понятие аналоговой многозначной функции. Пусть г1,..., is суть все отмеченные значения, a is+1 — все неотмеченные. Функция Fn многозначной логики есть ослабленный аналог функции F2 двузначной логики в том и только в том случае, если выполнено следующее условие: после замены всех г1,... ,is на 1 и замены всех is+in на 2 в семантическом определении Fn получается определение F2. Очевидно, что не всякая многозначная функция есть ослабленный аналог двузначной. Например, функция,

определяемая таблицей (звездочкой обозначены отмеченные значения)

ь

1

2

3

4

1*

1

2

1

4

2*

4

1

2

4

3

3

2

1

3

4

2

1

1

4

не имеет аналога в двузначной логике, поскольку после замены получим

таблицу ь

1

1

2

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

не удовлетворяющую принципу двузначности (при [а] = 1 и [Ь] — 2 эта функция сразу принимает оба значения 1 и 2). А функция, определяемая таблицей

Но двузначного аналога в определенном выше неослабленном смысле эта функция не имеет.

От аналогии отличается обобщение двузначных функций. При этом определение функции не меняется, вводится лишь новая гипотеза о значениях истинности. Так, имея определения [АаЬ] — min ([а], [Ь]), [■Кай] — max ([а], [Ь]) и = п - [а] + 1 (где п = 2), мы можем осуществить обобщение функций А, К и N, приняв лишь допущение п 2 (значения суть 1,2,..., п).

Обобщающая функция не всегда есть аналог двузначной. Так, определение отрицания Поста превращается в определение двузначного отрицания при п = 2, поскольку при этом [Аа| — 1 при [а] — 2. Но это говорит лишь о том, что двузначное отрицание относится к классу функций, которые правильнее будет называть не отрицанием, а отрицанием Поста. Лишь при фиксированном п мы получим функцию, которую и следует сравнивать с двузначным отрицанием. Очевидно, что при п = 3 отрицание Поста не есть аналог двузначного, поскольку при [а] — 1 мы получим pVa] = 2, а не 3. Но если значения суть действительные числа отрезка [0,1], и мы определили ] как 1 — [а], то есть аналог и в то же время обобщение двузначного отрицания.

Вопрос о выборе основных и производных функций, с помощью которых происходит развертывание логической системы в некоторую совокупность утверждений о свойствах многозначных функций, есть вопрос сугубо формальный. Однако сложилась традиция выбирать аналоги наиболее употребимых двузначных функций, — импликации, отрицания, конъюнкции и нестрогой дизъюнкции. Функции Aab и Kab обычно определяются так: если одна определяется как шах ([а], [6]), то другая определяется как min ([а], [Ь]). Функция N обычно определяется как симметричное отрицание Лукасевича или как циклическое отрицание Поста. Употребляется также отрицание, являющееся ослабленным аналогом двузначного. Аналогично обстоит дело с импликацией. Оно вводится с таким расчетом, чтобы выполнялись следующие условия. Для ослабленного аналога: 1) если Cab и а имеют отмеченные значения, то Ь имеет отмеченное значение; 2) если Cab имеет отмеченное и d неотмеченное значение, то а имеет неотмеченное значение. Для неослабленного аналога: 1) если [Cab] = t и [а] = i, то [6] = г; 2) если [Cab] = г и [6] г, то [а] г (здесь г есть значение, соответствующее отмеченному значению двузначной логики). Трехзначная импликация Лукасевича есть неослабленный аналог двузначной. Пост вводит импликацию, являющуюся ослабленным аналогом двузначной.

Этот выбор «привычных» функций говорит о том, что и многозначная логика тяготеет к тем логическим формам, которые употребляются в обычных и научных языках и экспликацией которых являются двузначные функции A, K,C,N и другие. Но в принципе возможно построение многозначной логики, все функции которой не имеют двузначных аналогов.

§3. Отрицание

Вопрос об отрицаниях в многозначной логике и об их отношении к двузначному отрицанию следует рассмотреть особо как вопрос чрезвычайно важный. Он важен не только потому, что отрицание фигурирует в большинстве логических построений, но и как прекрасный пример значения многозначной логики для анализа логических форм вообще.

В двузначной логике в силу совпадения истинности с отмеченным значением, ложности с неотмеченным значением и принципа двузначности со смыслом знаков «не», «и» и «или» обычной речи все свойства отрицания выступают слитно, как одно свойство. В многозначной же логике происходит расщепление этих свойств, так что они распределяются по разным формам отрицаний, и совмещение их всех в одной форме в общем случае для произвольного числа значений истинности и отмеченных значений оказывается невозможным.

Для удобства возьмем логику со значением 1,2, ...,п (п > 2) и отмеченными значениями 1,..., s (1 s < п). Символы N’ будут обозначать классы унарных функций, обладающих соответствующим свойством. Перечислим основные свойства отрицаний:

1) если [а] = 1, то [№а] — п;

2) если [а] = п, то pV2a] — 1;

3) N3 обладает свойствами N1 и 7V2;

4) если 1 [а] s, то s < pV4a] < п;

5) если s < [а] п, то 1 |1У5а] s;

6) N6 обладает свойствами 7V4 и N5;

7) [а] = [6],

где по крайней мере в одной из а и Ь фигурирует N, а формулы а и Ь различаются так, что в одной из них имеется знак функции, отсутствующий в другой; например, pVWa] — [а], [АаЬ\ — [NKNaNb] ит.п.; число таких N в общем случае (для любого п) не ограничено;

8) если 1 [а] з, то 1 [6] з, где а и Ъ различаются как

в пункте 7; при этом не обязательно [а] — [6].

Симметричное отрицание Лукасевича обладает свойствами N3, но не всегда обладает свойствами N4 и N5. Так, если в трехзначной логике отмеченные значения суть 1 и 2, то возможно fa] — з и [TVaL] — s. Если же отмеченное значение есть лишь 1, то возможно [«] > з и [TVaL] > з. Циклическое отрицание Поста не всегда обладает свойствами N', N4 и N5. В общем случае оно обладает лишь свойством N2. Отрицание N6 обладает тем свойством, что 1 < [Да1У6а] < з и 1 flV^/ta^a] < з. Через него и А можно определить ослабленный аналог двузначной импликации, приняв определение [Cab] — [Д.№6а6].

Очевидно, что отрицание N6 есть ослабленный аналог двузначного отрицания, а № - неослабленный. Совмещение свойств N3 и N6 в одном отрицании (а это возможно) будем называть сильным аналогом двузначного отрицания. Возможность такого аналога видим из таблицы

a

Na

1

п

2

»'

8

7

S + 1

L'

п - 1

кт

п

1

где суть значения из множества значений s + l,...,n, а

k',...,km суть значения из множества значений Однако

из этой же таблицы видно, что в общем случае (для любого п и s) невозможно построить определение N такое, чтобы pVJVa] — [а] (в частности, это невозможно, если число отмеченных значений не равно числу неотмеченных). Так что полный аналог двойного отрицания в многозначной логике в общем случае невозможен.

§ 4. Двузначные и многозначные формулы

Выше, рассматривая многозначные системы Лукасевича, Рейтинга и другие, мы относительно некоторых тавтологий двузначной логики говорили, что они перестают быть тавтологиями в данной многозначной системе, а относительно некоторых других — что они остаются тавтологиями. Какие у нас были для этого основания?

Определим, например, функции А и N таблицами (отмеченные значения — 1 и 2):

a

Ъ

1

2

3

a

N'a

a

N2a

1

1

2

3

1

3

1

2

2

1

2

3

2

2

2

1

3

1

2

3

3

1

3

2

В системе A—N2, очевидно, формула AaNa будет тавтологией, а в системе A—N1 нет. Можем ли мы сказать, что в первом случае двузначная тавтология AaNa остается тавтологией, а во втором — нет? Конечно, нет: здесь отсутствует база для сравнения функций двузначной и многозначных систем, функции А и N не являются аналогами двузначных функций, обозначаемых этими же буквами.

Сравнение формул (тавтологий, в частности) многозначной и двузначной логических систем имеет смысл в том и только в том случае, если предварительно установлена аналогия соответствующих функций и если для сравнения выбираются формулы со знаками аналогичных функций. В отношении систем Лукасевича и Рейтинга сравнение было уместно потому, что было выполнено это условие.

Когда говорят, что в многозначной логике не все законы двузначной логики сохраняют силу, то в сознании людей, несведущих в многозначной логике, это заявление порой вызывает мистический трепет перед тайнами природы, или, наоборот, сознание явной нелепости. На самом же деле это довольно банальный факт, если точно установить, о чем идет речь (о каких законах и при каких условиях).

Указанное условие сравнения двузначных и многозначных формул можно обобщить как условие для сравнения формул п-значной и m-значной логик вообще, где (n > m > 2). В таком случае пг-значная логика выступает как подсистема по отношению к п-значной.

§ 5. Двузначные и многозначные тавтологии

Пусть а есть любая тавтология двузначной логики, a F],... ,Fk (k 1) — знаки всех функций, фигурирующих в ней. Пусть дана многозначная логика со значениями истинности 1,2, ...,п (п 3) и отмеченными значениями 1,..., s (1 s < п). Мы утверждаем: при любом пиз можно построить такие n-значные аналоги Fl,...,Fk, что формула а будет тавтологией в функционально полной п-значной логике, и можно построить такие n-значные аналоги Fl,...,Fk, что формула а тавтологией здесь не будет.

Для доказательства этого утверждения достаточно взять трехзначную логику, функции А и N и тавтологию AaNa: все функции двузначной логики синтаксически определимы через А и N; все тавтологии двузначной логики равнозначны между собой и равнозначны AaNa; если наше утверждение верно в трехзначной логике, то на случай любого п оно рассматривается тривиально просто (2 рассматриваем как s или как s+1 в зависимости от его роли в трехзначной логике, 3 рассматриваем как п, а для всех прочих значений аргументов приписываем функциям значения, допустим, 1).

В трехзначной логике возможны следующие отрицания и дизъюнкции, аналогичные двузначным:

a

Nla

N2a

Alab

1

2

3

A2ab

1

2

3

1

3

3

1

1

1

1

1

1

3

1

2

1

3

2

1

2

1

2

3

2

3

3

1

1

3

1

1

3

3

1

3

3

5 3IK 1024

Формула AlaNla есть тавтология, а формула A2aN2a не есть тавтология в случае s = 1 и в случае s = 2.

Таким образом, в рамках одной и той же многозначной системы законы двузначной логики сохраняются в одном смысле и не сохраняются в другом. Это обстоятельство лишает какой бы то ни было ценности всякие ссылки на многозначную логику при критике формальной логики.

Приведенные выше обобщения двузначной дизъюнкции обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и идемпотентности. Но они не могут быть определены как min ([а], [6]). Так что они не являются полным аналогом двузначной дизъюнкции. Но понятие полного аналога не лишено смысла.

§ 6. Основные законы логики

В традиционной (старой, доматематической) логике законы тождества, исключенного третьего и противоречия считались основными. Но мы выделили их здесь не только из уважения к их прошлым заслугам. С законами исключенного третьего и противоречия связаны различного рода философские дискуссии.

Выражение «закон исключенного третьего» обозначает: 1) утверждение «X или не-Х» (где X — любое высказывание); 2) тавтологию или доказуемую формулу AaNa. Причем последнюю называют законом исключенного третьего лишь постольку, поскольку она читается подобно первому утверждению (вводится как его экспликация или интерпретируется так). А отсюда следует очень важный вывод.

Когда заявляют, что закон исключенного третьего не всегда применим, то справедливость этого заявления зависит не от ссылок на логические системы, в которых AaNa не является тавтологией или доказуемой формулой, а исключительно от смысла знаков «или» и «не» в утверждении «X или не-Х». Многозначные системы строятся на основе соглашений. И не представляет труда ввести такие аналоги А и N, такое определение тавтологии, что AaNa не будет тавтологией. Аналогично обстоит дело с аксиоматическим построением: от нас зависит принятие таких аксиом и правил вывода, что AaNa не будет доказуемой формулой. Формула AaNa исключается из числа тавтологий и доказуемых формул тех или иных логических систем потому, что она понимается как «а или не-а», и по каким-то причинам принято решение исключить последнее выражение из числа правил логики. А эти причины лежат вне логики. В логических системах без AaNa лишь реализуется сужение правил логики за счет закона исключенного третьего и ничего более.

Аналогично обстоит дело с законом противоречия: тавтология или доказуемая формула NKaNa называется законом противоречия лишь постольку, поскольку она есть экспликация утверждения «Не может быть, чтобы было X и не-Х» (или «Не бывает так, что X и не-Х») или интерпретируется так; вопрос о судьбе закона противоречия точно также не зависит от многозначной логики. Ниже мы этот вопрос рассмотрим специально.

Выражение «закон тождества» обозначает запрет подмены понятий (и в этом смысле он математической логикой не затрагивается), а также тавтологию или доказуемую формулу Caa (или KCaaCad) и утверждение «Из X следует X» (или «Если X, то X»), Не представляет труда построить многозначный аналог С такой, что Caa не будет тавтологией, например, такой: есть отмеченное значение, то при [а] = [6] = 2 получим

Cab

1

2

3

1

1

2

3

2

1

3

1

3

1

2

1

Если 1 [Cab] = 3.

§7. Непротиворечивость

Понятие непротиворечивости матричных построений обычно не Вводится, так как противоречия в таких построениях исключаются самими определениями. Но для решения некоторых проблем понятие непротиворечивости полезно.

Пусть: a — любая формула; ink— любая пара различных значений истинности, i k, Ns — ослабленный аналог двузначного отрицания; N — любой неослабленный аналог двузначного отрицания; К — аналог двузначной конъюнкции. В двузначной логике № и N Совпадают. Примем определение. Матричное построение непротиворечиво, если и только если выполнены следующие условия:

1) не может быть, чтобы для одной и той же комбинации значений переменных, входящих в a, [а] = i и [а] = fc;

2) формула KaNsa невыполнима (всегда имеет неотмеченное значение).

Другое определение дано в [53].

Возникает вопрос: можно или нет построить непротиворечивую многозначную систему, в которой является тавтологией Na, если а есть Тавтология двузначной логики? При этом, конечно, предполагается, что Тсе знаки функций в а суть аналоги соответствующих двузначных.

Несложное рассуждение показывает, что построить такую многозначную систему нельзя. Если формула есть тавтология в многозначной системе, то она есть тавтология и в двузначной при том условии, что все входящие в нее знаки функций суть аналоги знаков двузначных функций. Если Na есть тавтология в многозначной системе, то она есть тавтология в двузначной логике. Но если а и Na обе суть тавтологии, то тавтологией (а значит, выполнимой формулой) будет KaNa KaNsa (в силу совпадения N3 и N в двузначной логике). А это исключено, ибо двузначная логика непротиворечива.

Таким образом, относительность «законов логики» нельзя понимать вульгарно, а именно — как возможность признания в качестве «законов» отрицаний «законов» двузначной логики. Выше мы отмечали, что в системах Лукасевича, Рейтинга и других не являются тавтологиями формулы NAaNa, NNKaNa и т. п. Этот факт, как видим, не случаен. Он выражает элементарное условие правильности логического исследования — его непротиворечивость.

Формула KaNa может быть выполнимой в многозначной логике лишь при следующих условиях:

1) а выполнима;

2) среди отмеченных значений, которые может принимать а, есть по крайней мере два такие гик, что при [а] — i также и [Аа] — i или [Na] = k.

Таким образом, здесь N не есть сильный аналог двузначного отрицания. Аналогично для формул NNKaNa и NAaNa. Так что и в этом случае многозначная логика не дает оснований для различного рода философских спекуляций.

§ 8. Построение многозначной логики средствами двузначной

Гипотеза многозначности состоит, как уже отмечалось, не только из допущения какого-то числа возможных значений истинности, но также из допущения двузначности высказываний о значениях формул: высказывание либо имеет некоторое значение, либо не имеет его; если оно имеет некоторое значение, то не имеет при этом других; если не имеет некоторого значения, то имеет какое-то одно из оставшихся; либо [а] — г, либо [а] г; либо [а] > г; либо [а] г и т. п. Это обстоятельство позволяет высказать утверждение, что язык двузначной логики может быть использован для построения многозначной [53, 10].

Можно ли строить многозначную систему, оперируя языком другой многозначной системы? В принципе, можно. Однако здесь уместно высказать два соображения практического порядка. Первое: эта другая многозначная система не есть нечто привычное; она должна быть предварительно построена; для решения же последней задачи опять-таки требуется какой-то данный язык и т.д.; в конце концов нам придется положиться на здравый смысл, на привычные правила рассуждения, на навыки оперирования средствами «обычного» языка.

Второе соображение: использование одной многозначной логики при построении другой означает признание многозначности высказываний [а] — г; но при определении многозначных функций мы опираемся на допущение, что [а] — r, или [а] r; а дана; высказывание «[а] — г» истинно, если [а] = г, и ложно (не является истинным), если [а] Ф г; если в определении функции для некоторой комбинации значений переменных не указывается значение функции, то тем самым определяется класс функций; так что по условиям построения третье значение истинности высказываний [а] — r не может иметь места.

§ 9. Сравнение аксиоматизаций

Сравнение аксиоматических построений, конструируемых в области двузначной и многозначной логики имеет смысл лишь в том случае, если выполнены следующие условия:

1) указаны матричные построения, которые они аксиоматизируют (указана семантическая их интерпретация);

2) между логическими константами установлено соответствие благодаря их семантическим определениям.

Например, сравнивая аксиоматику трехзначной логики Лукасевича и классическое пропозициональное исчисление, мы рассматриваем трехзначные С и N как аналоги двузначных. Прочие их сравнения выходят за рамки нашей темы.

Пусть имеется аксиоматическое построение А", дедуктивно полное относительно многозначного матричного построения Мп. Классическое пропозициональное исчисление обозначим А2, а двузначную пропозициональную логику М2. Пусть а есть доказуемая в А" формула. Возможны два случая:

1) все логические константы, входящие в a, суть аналоги классических (устанавливаем это, сравнивая соответствующие функции Мп и М2); в таком случае а доказуема в А2 (а доказуема в Ап, значит, она есть суть тавтология в Мп и, следовательно, в М2; а все тавтологии М2 Доказуемы в А2);

2) в а имеется по крайней мере одна логическая константа, которой соответствует функция в Мп, не имеющая аналога в М2; в таком случае а не есть доказуемая в А2 формула (в М2, значит, и в А2 вообще нет такой формулы; поэтому нельзя сказать, что а есть недоказуемая в А2 формула); например, CNTxTx не есть доказуемая в А2 формула, поскольку этот символ вообще не есть формула в М2 и в А2.

Не всякая доказуемая в А2 формула доказуема в Л" в общем случае (для любых Мп и соответствующих Лп).

Одно замечание о терминах «классическая логика» и «неклассическая логика». Чаще эти термины употребляют в таком смысле:

1) классическая логика — М2, А2 и логические системы, эквивалентные А2 (например, натуральное исчисление Генцена);

2) неклассическая логика — логические системы, не имеющие матричных интерпретаций, различного рода сужения А2, аксиоматизации многозначных систем и т. д.

Встречаются и другие употребления. Поэтому мы избегаем пользоваться этими выражениями.

Но из сформулированного выше пункта 2 следует: если а доказуема в Л2 и недоказуема в Ап, то отсюда не следует, что в Ап доказуема Na (если такая формула доказуема в А", то она доказуема в А2, что невозможно в силу непротиворечивости А2). Так что и с этой точки зрения никаких противоречий между многозначной и двузначной логикой нет, а аксиоматические построения в многозначной логике не могут дать оснований «теориям», оправдывающим логические противоречия.

§10. Двузначные и многозначные кванторы

Если в отношении пропозициональных функций в многозначной логике возможен выбор различных аналогов двузначных функций, то в отношении кванторов требование аналогии предопределено: либо V и 3 суть обобщения соответствующих двузначных кванторов, либо это другие знаки, лишь по написанию похожие на них.

Пусть V2 и 32 суть двузначные кванторы; V " и 3 " суть многозначные кванторы; значения истинности суть числа; если i < к, то i ближе к значению, соответствующему истине. Уместны такие определения, посредством которых обобщаются двузначные кванторы:

1) [(V"a)X] = i, если K(32a)([X] = г)(У2а)([Х] «г г);

2) 1(3 па)Х] = г, если К(3 2а)([Х] = r)(V 2а)([Х] »).

Если многозначные кванторы суть аналоги двузначных, то о соотношении многозначной и двузначной логики исчисления предикатов можно в общей форме сказать то же, что говорилось выше о соотношении пропозициональных систем (отсутствие противоречий между ними, двузначность высказываний [(V а)Х] — r, [(3 a)_Xj = i и т. п.)

§11. Переходы

Из рассмотренного выше видно, какими путями можно переходить от двузначной логики к многозначной, и наоборот.

Из двузначной логики можно получить многозначную разными путями. Простейший случай — допущение числа значений истинности более двух. При этом определения двузначных функций должны быть построены так, чтобы они не были зависимы от гипотезы о числе значений. Так, если мы приняли [Wab] = (max ([а], [6]) + l)(modn), то одно только допущение п > 2 превращает нашу систему в многозначную. Но переход к многозначной системе этим не исчерпывается: требуется еще определение отмеченных значений. Будет полученная многозначная система функционально полной или нет, должно быть выяснено для каждой системы основных функций особо. В нашем случае система будет функционально полной, а при переходе от функционально полной двузначной системы С - N получается функционально неполная многозначная система.

Другой простой случай перехода от двузначной логики к многозначной — «расширение» двузначных матриц. Возьмем, например, двузначные таблицы для С и N, заменим значение 2 на 3, раздвинем 1 и 3, а в промежуток впишем значение 2. Получим таблицы:

X

Nx

Сху

1

2

3

1

3

1

1

3

2

2

3

1

3

1

1

Теперь, в зависимости от стоящей задачи, вписываем в пустые места значения функций из множества значений 1, 2 и 3. Или возьмем, например, таблицу двузначной дизъюнкции и припишем третье значение 3:

Аху 1 2 3

1 1 1

2 1 2

3

Опять-таки в зависимости от задачи в пустые места вписываем нужные значения. Таким способом определена слабая дизъюнкция в [36] (пустые места заполнены знаками 3). Какими свойствами будет обладать полученная система, из свойств исходной системы априори усмотреть нельзя. Понятие тавтологии должно быть определено вновь.

Выше мы уже рассмотрели метод умножения двузначных матриц, посредством которого получаются многозначные матрицы. В работе [4] приведен метод построения матриц для (п + 1)-знатной логики на основе матриц для и-значной логики, предложенной Яськовским. При таком переходе от n-значной логики к (п + 1)-значной все тавтологии второй суть тавтологии в первой (отмеченное значение 1).

Из многозначных систем получаются двузначные путем допущения п = 2 и исключения значений, отличных от значений двузначной логики.

§ 12. Двузначные формулы в многозначной логике

В многозначной логике возможны формулы, которые принимают т значений из п возможных значений, где т п. Среди них интерес представляют формулы, которые принимают только значения, соответствующие значениям двузначной логики, — двузначные формулы. Такой является, например, формула Nнж, где Nн есть отрицание Рейтинга.

Такого рода двузначные формулы можно построить, используя знаки функций, в определениях которых фигурируют и другие значения. Например, в трехзначной логике Лукасевича формулы Сху, Кху, Аху и Nx принимают все три значения истинности 1, | и 0. Но с помощью функций С, К, А и N можно построить формулы, принимающие только два значения 1 и 0. Такой является, в частности, формула CAxNxKxNх, в чем легко убедиться: если [а:] =х |, то [Nx] = , [AxNx] = [KxNx] = j, [С||] = 1.

813. Привилегированность двузначной логики

С возникновением многозначной логики стало возможным рассматривать двузначную логику как частный случай n-значной логики (при n 2). Однако двузначная логика имеет привилегии перед прочими частными случаями и-значных логик.

Мы неоднократно обращали внимание на следующие факты:

1) «рабочими» функциями многозначной логики выбираются обычно такие, которые являются аналогами двузначных N, С, К, А, D, Е; в случае с N выбираются такие, которые обладают по крайней мере одним из свойств двузначного отрицания;

2) из числа значений выбираются такие два, которые соответствуют значениям двузначной логики, и относительно этих значений обобщаются двузначные функции;

3) множество значений разбивается на два непересекающиеся подмножества утверждающих и отрицающих значений, что является аналогом и обобщением принципа двузначности; все утверждающие значения рассматриваются как соответствующие утверждающему значению двузначной логики (истине), а все отрицающие — отрицающему (ложности).

Эти факты не случайны. Двузначная и многозначная логика суть направления, разделы, средства и т. п. в рамках одной науки логики, исследующей в обоих случаях одни и те же объекты. Например, многозначную импликацию стремятся определить так, чтобы для нее выполнялся modus ponens (для отмеченных значений вообще; для значения, соответствующего истине, в том числе). Это делается не просто из желания соблюсти аналогию с двузначной импликацией, а из желания ввести именно экспликацию, которую можно было бы интерпретировать как «если..., то...» или как логическое следование. А для последних modus ponens имеет силу. Так что это стремление к аналогии обусловлено, в конечном счете, общностью интерпретации. Короче говоря, привилегированное положение двузначной логики обусловлено прежде всего тем, что она раньше многозначной логики взялась за исследование определенного рода объектов.

Но дело не только в историческом приоритете. Если бы двузначная логика не давала удовлетворительных средств для описания этих объектов, она не удержалась бы в рамках науки логики, не стала бы тем, что привыкли назвать словом «логика». Для подавляющего большинства исследованных случаев употребления определенного рода логических знаков двузначная логика дала вполне удовлетворительные средства экспликации. А в тех случаях, когда здесь оказывается возможной критика, она обычно не затрагивает гипотезу двузначности, а идет по линии учета каких-то требований интуиции и новых фактов оперирования логическими знаками в науке. Так, при определении понятия логического следования через главный (в принятой здесь символике — первый) знак импликации в двузначных тавтологиях и доказуемых в классической пропозициональной логике формулах получаются «парадоксы» импликации: формулы вида CaCba, CaCNab, CKaNab, CaAbNb и т. п. рассматриваются как несоответствующие интуиции. Здесь не имеет значения, верны или нет такого рода суждения. Важно то, что упреки идут совсем не с точки зрения идей многозначности высказываний. В следующей главе мы покажем, что даже тогда, когда критика затрагивает самые основы двузначной логики, речь идет не о замене двузначной логики на многозначную, а лишь об использовании идей и аппарата последней в решении вполне конкретных проблем логики.

Двузначная логика оказалась хорошим средством логических исследований, сохраняющим значение и в условиях развития многозначной логики, по одной причине, на которую обычно не обращают внимания. Причина эта состоит в том, что двузначная логика фактически рассматривается как... однозначная. На самом деле, в ней принимается одно и только одно значение истинности — «истинно». Второе же значение есть лишь отрицание первого: высказывание «X не является истинно (неистинно)» берется как высказывание, приписывающее X другое значение истинности, отличное от истинности. Когда в таких случаях употребляют термин «ложно», то неявно принимают соглашение считать выражение «X ложно» тождественным по смыслу с выражением «X неистинно». И поскольку логику интересуют правила получения истинных высказываний из истинных же высказываний, то такой подход достаточно эффективен. Он ни в какой мере не упраздняется в многозначной логике. Лишь в том случае, когда «ложно» и «неистинно» не тождественны по смыслу в силу исходных соглашений (определений), отрицание истинности совпадает с ложностью только в рамках гипотезы двузначности высказываний («Высказывание либо истинно, либо ложно»). А эта гипотеза может быть заменена другими.

Таким образом, в двузначной логике в недифференцированном виде содержится логика, сохраняющая силу при любых гипотезах о числе значений истинности. Это частный случай n-значной логики.

§ 14. Множественность и единство логики

Выяснение взаимоотношений двузначной логики и многозначной, различных многозначных систем между собой, между различными способами построения логических систем, — все это в совокупности составляет решение общего вопроса о множественности и единстве логики.

Множественность логики есть факт, выражающийся в наличии большого числа разнообразных логических систем, — факт, не свойственный традиционной (доматематической) логике, если не принимать во внимание различие в способе изложения, в полноте охвата и в трактовке одного и того же материала. Возникновение многозначной логики сделало эту множественность еще более ощутимой. Естественно, встает проблема единства логики как науки.

Единство логики, как и всякой науки, не может быть установлено на базе каких-то чисто априорных постулатов раз и навсегда. Оно может быть установлено лишь на базе конкретного исследования логических систем на том или ином этапе развития логики. В порядке подведения некоторых итогов тому, что говорилось выше, сделаем несколько общих замечаний на этот счет.

Прежде всего следует сказать, что единство логики базируется на соблюдении (в качестве нормы, разумеется) требования непротиворечивости не только внутри отдельных ее систем, но и в сравнении различных систем. Две логические системы не противоречат друг другу, если и только если не существует такой формулы а, что в одной системе а есть тавтология или доказуемая формула, а в другой — Na (все знаки функций, входящих в а, интерпретируются одинаково, а N есть аналог двузначного отрицания). Если существует такая а, что в одной системе является тавтологией или доказуемой формулой а, а в другой — Na, то системы противоречат друг другу.

Единство логики, далее, выражается в том, что сами логические системы становятся предметом исследования: изучаются их различия и отношения, принципы построения, общие свойства и особенности отдельных групп и т. д. Между различными системами устанавливаются определенные связи. Помимо указанной выше дедуктивной полноты можно назвать еще отношение обобщения в книге Россера и Тюркетта (обобщаются работы Слупецкого), включения (логика Бочвара включается в логику Клини), изоморфизм (в трехзначной логике Бочвара содержится часть, изоморфная двузначной логике).

Единство логики, наконец, выражается в том, что имеются некоторые общие понятия и принципы, лежащие в основаниях двузначной и многозначной логики, в основаниях разнообразных логических систем. Мы имеем в виду при этом отнюдь не некоторое стабильное и общепризнанное состояние науки логики, а необходимую тенденцию развития логики, не исключающую разнообразия точек зрения на логику, способов построения, широты охвата материала и т. д. Одно то, что в самых различных логических системах приходится иметь дело с понятиями высказывания, истинности, ложности, значениями истинности вообще, вывода и т. п. (или с соответствующими им понятиями формулы, аргумента, функции, значения, преобразования и т.д.) говорит о том, что логические системы объединяются в нечто цельное.

Таким образом, единство логики мы понимаем не как построение одной всеобъемлющей дедуктивной (в частности, аксиоматической) системы, а как подвижное многообразие связей и отношений различного рода идей, теорий, направлений, проблем и т.д. В первом смысле оно явно неосуществимо, во втором смысле оно есть реальный факт или, во всяком случае, господствующая тенденция логики.

Заметим в заключение, что термином «логика» называют не только логику в целом, но и ее отдельные фрагменты, системы, направления. Во втором случае говорят об индуктивной и дедуктивной логике, о модальной логике, о логике Лукасевича и Поста и т. п. Но это не играет серьезной роли, если только из контекста всегда ясно, о чем идет речь.

Гпава 5

Многозначная концепция логики

§ 1. Эмпирические основания логики

Какой является логика в целом с точки зрения числа допускаемых значений истинности? В истории логики взгляд на нее как на двузначную вплоть до последнего времени был господствующим. Да и сейчас еще многим двузначность представляется прирожденным ее свойством. Однако в настоящее время приходится признать, что логика в целом не является двузначной, как не является и многозначной. И это не только потому, что возникла многозначная логика, но прежде всего потому, что вопрос о числе значений истинности высказываний не является и никогда не был исходным вопросом логики. Он был и является исходным вопросом лишь при построении отдельных логических теорий и при решении некоторых логических проблем, каждая из которых по отдельности не исчерпывает содержания и проблематики всей науки. Хотя это обстоятельство можно обнаружить, рассматривая логику даже на ее ранних этапах развития, однако возникновение многозначной логики заставило обратить на него внимание фактически.

Принципы построения отдельных логических систем, призванных решать те или иные частные задачи науки логики, и принципы построения логики в целом существенно различаются, — наука в целом оценивается с иной точки зрения, чем ее отдельный фрагмент. Так, при построении некоторой логической теории вопрос о ее взаимоотношениях с другими логическими теориями является внешним, не касающимся ее структуры, тогда как для логики в целом этот вопрос есть вопрос ее внутреннего строения.

При рассмотрении логики в целом как особой отрасли научного исследования обнаруживается то, что она является эмпирической наукой в своих исходных основаниях, по источнику проблематики и по критериям оценки ее теоретических результатов. Об этом говорит хотя бы уже тот факт, что непосредственной эмпирической реальностью, с которой она имеет дело прежде всего, является язык. Во всяком случае, в логике явно или не явно фигурируют соображения, носящие эмпирический характер и образующие ее основания. Развитие логики за последнее столетие, выразившееся по преимуществу в разработке логических исчислений и общих принципов их построения, отодвинуло эти эмпирические основания логики на задний план, но не ликвидировало их: как бы логика ни понималась, они дают себя знать при попытках анализа ее общих понятий — «высказывание», «предикат», «истинно», «следует» и т. п. Многочисленные логические исчисления строятся с прямой целью дать уточнение и систематическое развитие свойств таких привычных явлений языка, как знаки «и», «или», «если..., то...», «необходимо», «возможно», «должно», «допустимо» и т.п.

Что же касается отдельных логических систем, то в большинстве случаев решающее значение при построении их имеет отыскание условий дедукции из некоторых принятых предпосылок. При этом вообще могут не приниматься во внимание какие бы то ни было эмпирические соображения. Известны многочисленные случаи, когда то или иное теоретическое построение лишь при условии учета его связей с другими исследованиями может быть расценено как логическое (например, многозначная логическая система Поста).

Ссылка на эмпирические основания логики в рассматриваемом случае имеет принципиальную важность. Ведь говоря о двузначной логике, мы вынуждены говорить о высказываниях и о значениях истинности высказываний. Но что это такое? При построении отдельных логических систем этот вопрос можно обойти различными способами:

1) можно принять соответствующие термины как неопределяемые или интуитивно ясные; 2) можно знаки высказываний и значения истинности рассматривать чисто формально, допуская их интерпретацию в терминах самых различных предметных областей (например, не в терминах логики, а в терминах электрических сетей); 4) можно вообще пользоваться математической терминологией («аргумент», «функция», «значение», «переменная» и т. п.), как это делалось выше. Но это не решает поставленного вопроса логики в целом.

Очевидно, ответ на поставленный вопрос должен заключаться прежде всего в описании процесса абстрагирования высказываний как определенных знаковых структур, а этот процесс опирается на наблюдение, отбор, анализ, сравнение и стандартизацию способа изображения непосредственно данных факторов языка и навыков оперирования им. Достаточно сказать, например, что субъектно-предикатная структура высказываний может быть принята в логике предикатов как нечто само собой разумеющееся лишь постольку, поскольку она в логике давно была абстрагирована из эмпирически данных предложений.

Значения истинности суть свойства высказываний. Причем это такие свойства, которые нельзя обнаружить в наблюдаемом языке на тех же основаниях, что и сами высказывания. Высказывания суть вещные структуры. В целом ряде случаев, выбираемых в качестве примеров для осуществления их абстрагирования, они совпадают с видимым или слышимым расчленением предложений, а в других случаях предложениям можно придать некоторый стандартный вид — вид высказываний. Значения истинности не являются элементами структуры языка. В языке встречаются лишь знаки (слова, выражения, символы), обозначающие их («истинно», «ложно», «бессмысленно», «неопределенно» и т. п.). И эти знаки обозначают некоторые результаты сопоставления данных высказываний с чем-то другим, отличным от них. В частности, это может быть сопоставление опытных высказываний с некоторыми наблюдаемыми ситуациями. А такого рода факты, опять-таки, должны быть известны и поняты в логике в целом, чтобы допущения неопределяемых значений истинности приобрели собственно логический смысл.

Точно так же обстоит дело и с правилами оперирования высказываниями. Всем известно, что в большинстве случаев при построении отдельных понятий и суждений, при построении теорий в рассуждениях и т. д. ссылок на логику не делают, а опираются на некоторые привычные навыки. Наблюдение последних образует отправной пункт логики как особой науки. Обобщенное их описание, усовершенствование, выявление скрытых свойств и взаимоотношений, изобретение и предвидение новых приемов такого рода и т. д. — такова задача логики как особой области науки, что бы при этом ни думали о своей собственной деятельности те или иные специалисты логики, группы логиков и даже целые направления и эпохи.

§ 2. Многозначность высказываний

Многозначная концепция логики имеет эмпирические основания в том факте, что число значений истинности высказываний может быть более двух, — в факте многозначности высказываний. Вопрос о понимании значений истинности высказываний является для нас здесь центральным и исходным.

При построении многозначных логических систем рассмотренного выше типа просто допускают, что некоторое (задаваемое) множество знаков есть множество значений истинности (пропозициональных значений). Строятся эти системы в логических терминах («высказывание», «значение истинности», «истинно», «ложно» и т. п.) или в математических терминах («переменная», «формула», «значение», 0,1,2,...), роли при этом не играет. Смысл выражений «х имеет значение г» (или «х имеет значение истинности г»), где х есть простое, атомарное высказывание, остается неопределенным.

Но логические системы, если их взять в контексте развития познания в целом, строятся не просто ради удовлетворения каких-то эгоистических интересов их создателей, а с целью использования их для решения конкретных научных задач. А при желании применять логику совершенно необходимо выяснить смысл терминов «истинно», «ложно» и других знаков истинностных значений [31] Если в двузначной логике еще можно в какой-то мере сослаться на привычную ясность слов «истинно» и «ложно», то в многозначной логике такие ссылки уже недопустимы. Что означает, например, истинностное значение с номером 20? Без специальной договоренности ответить на такого рода вопросы невозможно. Хотя большинство авторов работ по многозначной логике стараются избежать интерпретации своих построений, однако накопился достаточно разнообразный фактический материал и по этой линии.

Имеющиеся интерпретации весьма разнообразны не только по предметной области (нормативные высказывания [35], релейно-контактные схемы [9], [10], [11], математические рассуждения [1], [2], [36], язык квантовой механики [15], [21], [52], теория вероятности [51], [70], логическое следование [12] и т.п.), но и по некоторым общим чертам. Можно указать следующие два основных типа интерпретаций:

1) нелогические интерпретации, при которых формулы (высказывания) рассматриваются как предметы некоторой предметной области, а их значения (значения истинности) — как возможные свойства таких предметов; например, при такой интерпретации формулы рассматриваются как контакты и системы контактов электрической сети, а их значения — как возможные положения контактов; такого рода интерпретации имеют логический интерес лишь в связи с интерпретацией функций;

2) логические интерпретации, при которых формулы рассматриваются именно как высказывания, а значения формул — как значения истинности высказываний, подобные привычным истинности и ложности; ниже мы приведем несколько примеров таких интерпретаций.

Пример 1 (из [11]). Пусть некоторый отрезок разбит на п равных частей. Рассмотрим положение частицы а, имеющей конечные размеры, на этом отрезке. Возьмем высказывание «а находится внутри отрезка с номером г». Оно считается истинным, если частица а действительно находится внутри отрезка с номером г, ложным, если частица a не имеет точек в отрезке с номером г, и неопределенным, если частица а имеет точки в двух смежных отрезках или покрывает пограничную точку отрезка. Аналогичный пример приведен в [53] (рассматривается переходное состояние предмета, когда невозможно установить, находится он в некоторой области пространства или нет). В такого рода случаях третье значение истинности понимается не просто как отрицание истинности или ложности, но и как нечто позитивное: если кто-то утверждает, что высказывание неопределенно, мы точно знаем, что он хочет этим сказать о некоторой области действительности.

Пример 2 (из [21]). Пусть на шкале некоторого измерительного прибора нанесены деления 1, 2 и 3, и стрелка может показывать эти и только эти деления (исключим для простоты все промежуточные положения). Возьмем, далее, такие высказывания: 1) «Стрелка показывает деление 1»; 2) «Стрелка показывает деление 4»; 3) «Стрелка показывает одно из делений 1, 2 и 3». Первое будет истинным, если стрелка показывает 1, и ложным, если стрелка показывает 2 или 3. И то и другое может случиться. Но второе высказывание никогда не будет истинным, так как такого деления на шкале прибора вообще нет. Третье высказывание будет всегда истинным, так как стрелка обязательно показывает одно из положений 1, 2 и 3. Здесь значения истинности высказываний определяются путем сопоставления высказываний с действительностью, которую они отражают. Возможны четыре случая, которые можно назвать (допустим) так: абсолютно истинно (третье высказывание), абсолютно ложно (второе высказывание), возможно истинно и возможно ложно (первое высказывание).

Пример 3 (из [49]). Если учесть различие прошлого и настоящего времени, то возможны четыре значения истинности: 1) истинно вчера и сегодня; 2) истинно вчера и ложно сегодня; 3) ложно вчера и истинно сегодня; 4) ложно вчера и сегодня. Хотя здесь все четыре значения определяются через истинность и ложность, однако берется одно и то же высказывание и сопоставляется с четырьмя различными ситуациями во времени. Аналогично вводятся значения истинности с учетом настоящего и будущего времени, а также других более сложных временных соотношений.

Пример 4 (из [52]). Говорить об истинности и ложности высказываний правомерно лишь тогда, когда возможно осуществить их проверку. Если проверка высказывания невозможна, т. е. его нельзя подтвердить и опровергнуть, то оно должно быть оценено как неопределенное (в общем, каким-то третьим значением истинности). К числу таких высказываний относятся высказывания о ненаблюдаемых объектах. Подобным же образом третье значение понимается в [36]: истинность и ложность нельзя установить алгоритмически. В таких случаях третье значение истинности ставится в зависимость от возможности проверки. Но сама эта возможность в свою очередь зависит (косвенно, опосредованно) от объективных условий познания. Так что и здесь, в конечном итоге высказывания сопоставляются с чем-то внешним по отношению к ним.

Пример 5. Возьмем простейшее атрибутивное высказывание, изобразим^ схемой «Предмет S имеет свойство Р». Пусть высказывание такого рода является эмпирическим. Возможны следующие варианты сопоставления его с некоторой ситуацией: 1) предмет S не существует в данной ситуации; 2) существует предмет S в данной ситуации или нет, установить невозможно; 3) предмет S существует в данной ситуации и действительно имеет свойство Р (высказывание истинно); 4) предмет S существует в данной ситуации, но он не имеет свойства Р (высказывание ложно); 5) предмет S существует в данной ситуации, но невозможно установить, имеет он свойство Р или нет. Как видим, истинность и ложность учитывают лишь два из пяти возможных случаев.

Если взять более сложные, чем в примере 5, структуры высказываний, то число возможных вариантов сопоставления их с некоторыми ситуациями будет возрастать. А каждый тип (вариант) может быть обозначен особым значением истинности. Так что число значений истинности не является ограниченным какой-то абсолютной природной необходимостью. Оно ограничивается историческими обстоятельствами, а в отображающей их науке — способом подхода к их классификации.

Пример 6. Понятие «значение истинности» охватывает оценку высказываний по степеням приближения, возможности, точности и т. п. В принципе число таких оценок есть несчетное множество. Многозначный характер высказываний в таких случаях очевиден. Использование аппарата многозначной логики в таких случаях вполне естественно, если выполнено одно условие: множество значений истинности можно точно задать. В частности, это можно сделать для степеней возможности (Лукасевич, Рейхенбах и др.). Пусть степени возможности суть действительные числа в интервале от 0 до 1 включительно. Если заданы степени возможности простых высказываний, то степени возможности сложных высказываний можно установить посредством определений многозначных функций.

Ограничение числа значений истинности двумя в истории логики было связано с самыми различными мотивами. Отметим два из них. Во-первых, в логике учитывались такие случаи, когда оценка значений истинности высказываний ставилась в зависимость от одного и только одного шага проверки. Для этого исключались случаи непроверяемое™ высказываний, учитывались логические ударения и т. п. Во-вторых, высказывания оценивались по принципу: «Либо дело обстоит так, как говорится в высказывании, либо не так (как-то иначе»). А это «не так» не анализировалось в общем виде. В применении же к частным случаям оно было ясно из контекста.

§3. Значения истинности

Несмотря на различия приведенных выше примеров (а число их можно продолжить), в них усматривается нечто общее:

1) значения истинности суть различные результаты сопоставления высказываний с некоторым фактическим положением дел в данных областях познания;

2) сопоставления осуществляются в соответствии со структурой высказываний, как некоторые упорядоченные процедуры;

3) рассмотрение простейших примеров показывает, что возможно более двух значений истинности;

4) если известно, каков значение истинности высказывания, то известно, каково фактическое положение вещей в данной области, с которой ассоциируют данное высказывание;

5) выражение «X имеет значение истинности »» означает, что результат некоторых операций (скажем, проверочных операций) с X обозначается знаком г;

6) определить значения истинности как таковые — значит определить смысл знаков г.

Различение значений истинности и обозначающих их знаков существенно для нашей темы. Не представляет труда допустить любое число знаков г1,г2,... и придумать правила приписывания их некоторым видам сложных высказываний. Труднее указать соответствующие этим знакам процедуры (процедуры проверки) для простых высказываний.

Из сказанного выше следуют два чрезвычайно важных вывода:

1) все значения истинности могут быть определены через значение «истинно»;

2) введение трех и более значений истинности не является фатальной необходимостью.

Относительно первого вывода заметим следующее. Значение «истинно» определяется по схеме Тарского: высказывание X истинно, если и только если X. Это еще не означает того, что мы тем самым определили термин «истинно» для любых структур высказываний. Например, мы знаем, что высказывание «Если У, то Я» истинно в том и только в том случае, когда на самом деле имеет место: если Y, то Z. Но когда это «на самом деле» имеет место? Ясно, что схема Тарского ответа не дает. Но мы допустим здесь, что значение «истинно» определено для всех случаев. Тогда прочие значения определяются по схеме: X имеет значение истинности £, если и только если Y истинно. Например, высказывание «Предмет S имеет свойство Р» ложно, если и только если высказывание «Предмет S не имеет свойства Р» истинно.

Относительно второго вывода надо сказать, что не всякая абстрактно мыслимая возможность непременно должна реализоваться. В данном случае — не обязательно нужно вводить большое число значений истинности, если это не диктуется важными причинами. Однако наука логика обязана так или иначе констатировать фактические возможности в отношении значений истинности для всех исследуемых структур высказываний.

Разработка же многозначных логических систем и различного рода «экспериментальные» попытки их использования могут породить спрос на аппарат многозначной логики и стимулировать развитие многозначной концепции логики.

Из сказанного, далее, следует, что не структура высказываний зависит от числа значений истинности, а, скорее, наоборот — число возможных значений истинности зависит от структуры высказываний. Это утверждение верно даже в отношении таких структур, логические знаки которых определяются как функции истинности. Пусть, например, имеется высказывание X, которое состоит из высказываний У1,..., У"* (т > 1) и логического знака F. Последний, допустим, определен так:

1) пусть as,...,am суть любые высказывания, в том числе — УУт, что соответствует пониманию пропозициональных формул как высказываний; пусть Ь есть высказывание, построенное из а1,... ,ат и F;

2) если а',...,ат имеют значения истинности соответственно г1,..., im, то Ь имеет значение к;

3) и так для всех комбинаций значений истинности а1,...,а"*. Но если мы теперь имеем конкретное высказывание X, а не определение F, то от наличия в структуре X знака F зависит число возможных значений истинности X.

Из сказанного также следует, что правомерно определять значения истинности высказываний применительно к их структурам, но неправомерно определять само высказывание через значения истинности. В логической литературе часто встречается определение высказывания как такого объекта, в отношении которого уместно говорить об истинности и ложности (высказывание — то, что может быть истинно или ложно. К подобным определениям прибегают и в многозначной логике, добавляя еще дополнительные (сверх истинности и ложности) значения. Такого рода «определения» извинительны только как грубая Форма записи намерения рассматривать высказывания исключительно с той точки зрения, что они имеют какие-то значения истинности.

Иногда значения истинности понимают как характеристику состояния человека. Например, рассматривают значения «известна истинность», «известна ложность» и «неизвестно, истинно или ложно» [36]. Первое соответствует истинности, второе — ложности, а третье образует новое значение истинности. Третье значение понимается также, как «значение несущественно» («не играет роли»). Однако в таких случаях фактически имеют место не значения истинности, а просто три (или более) возможностей в познании, которые лишь могут быть описаны с помощью терминов «истинно» и «ложно».

§ 4. Основные и производные значения истинности

При введении значений истинности по схеме, приведенной в предшествующем параграфе, возможно определение неисключающих значений. Для них могут быть истинными утверждения типа: если X имеет значение истинности г, то X имеет значение истинности к; если X не имеет к, то X не имеет г. Например, для примера 5 из предшествующего параграфа примем обозначения: 1) случаи 1 и 2 — высказывание непроверяемо; 2) если предмет S в данной ситуации существует, высказывание проверяемо; 3) случай 3 — высказывание истинно; 4) случай 4 — высказывание ложно; 5) случай 5 — высказывание неопределенно; 6) если высказывание ложно или истинно, то оно определенно. Очевидно, если высказывание истинно, то оно проверяемо; аналогично для ложности и неопределенности. Если высказывание не является проверяемым, то оно не является истинным, ложным, неопределенным. Если высказывание истинно (ложно), оно определенно; если высказывание не является определенным, то оно не является истинным (ложным). Логические системы многозначной логики строятся на допущениях лишь основных значений истинности, которые исключают друг друга. Для них, естественно, подобные соотношения не имеют места.

Соотношения основных и производных значений истинности определяются схемой: X имеет значение истинности г, если и только если X имеет одно и только одно из значений kl,...,km (тп > 2) и только из этих значений. В приведенном примере: X определенно, если и только если X истинно или ложно.

Каким бы путем не вводились основные значения истинности, они должны быть перечислены именно как основные, что равносильно принятию утверждения: X имеет либо значение г1, либо значение либо значение г", где г', г2,..., гп суть все основные значения.

Другими словами, перечень основных значений должен быть задан как исчерпывающий и равновозможный. Поясним последнее. Мы приводили выше примеры введения значений истинности, которые можно представить как ряд последовательных делений, в простейшем случае — дихотомических делений: 1) проверяемо и непроверяемо; 2) проверяемое — определенное и неопределенное; 3) определенное — истинное и ложное. Основные значения истинности суть концы ветвей получающегося дерева. Однако в итоге при этом получается такое утверждение: (X непроверяемо) или ((X неопределенно) или ((X истинно) или (X ложно))). Из этого утверждения не следует «X непроверяемо или X неопределенно или X истинно или X ложно», где «или» употребляется, как и в первом утверждении, в исключающем смысле (хотя следование от второго к первому имеет место). Поэтому второе утверждение должно быть принято как первичное, а не как следствие.

§5. Функция истинности

Рассматривая пропозициональные переменные как любые простые высказывания, а формулы — как образованные из них сложные высказывания, мы получим из определений пропозициональных функций определения некоторых структур высказываний. В этих определениях значения истинности сложных высказываний выступают как функции от значений истинности составляющих их простых высказываний, — сложные высказывания представляются как функции истинности простых. Знаки пропозициональных функций интерпретируются как типы функций истинности (зависимостей) такого рода.

Важно обратить внимание на следующее обстоятельство. Пусть X есть высказывание, построенное из некоторого множества высказываний и знака функции истинности F. Этот логический знак не имеет никакого другого смысла, кроме того, который ему придается определяющей его матрицей. И если он рассматривается как экспликация какого-то знака Q языка, употреблявшегося до этого определения, то он может быть экспликацией Q лишь в той мере, в какой он неявно был знаком функции истинности. Например, знаки К и А суть экспликации знаков «и» и «или» лишь постольку, поскольку для последних выполняются условия: «X и У» истинно тогда и только тогда, когда истинны оба X и Y, «X или Y» истинно тогда и только тогда, когда истинно по крайней мере одно из X и Y.

Факты показывают, что логические знаки обычных и научных языков лишь частично могут быть эксплицированы как знаки функций истинности. Возьмем, например, высказывания типа «Если X, то У», в каком смысле функция С есть экспликация знака «если..., то...», мы говорили. Здесь важно другое. Высказывания такого типа получаются различными способами. Назовем два из них: I) если из одного X или из X и некоторого множества высказываний Z1,..., Zk, Которые считаются истинными, логически следует (выводится) У, то можно записать «если X, то Y»; 2) в результате опытного исследования устанавливается, что наступление одних событий (фиксируются в X) ведет к наступлению других событий (фиксируются в У); и хотя здесь нет отношения логического следования, результат может быть записан в форме «Если X, то У». Эта форма пригодна в обоих случаях потому, что истинность У оказывается зависимой от истинности одного только X. Но при этом значение истинности «Если X, то У» не есть функция значений истинности X и У. В первом случае высказывание истинно, если есть правила, позволяющие сделать вывод, и не является истинным, если таких правил нет. Во втором случае высказывание истинно, если каждый раз наступление одного события ведет к наступлению другого (а уверенность в этом зависит от выполнения правил опытного исследования), и не является истинным, если этого нет. В обоих случаях X может не быть истинным при истинном У и при неистинном У. Исключается лишь одно: неистинное У при истинном X. Но они строятся с таким расчетом, чтобы этому требованию удовлетворить.

Возьмем другой пример — высказывания «Возможно, что X». Если X истинно, то и «Возможно, что X» истинно. А как быть в случае, когда X не является истинным? Здесь возможно, что наше высказывание истинно. Но возможно и то, что оно не является истинным. А каким именно оно является, зависит не от значения истинности X, а от анализа каких-то обстоятельств и условий осуществления событий по определенным критериям (схемам). И никакие многозначные матрицы не заменят необходимости такого анализа.

Короче говоря, в отдельных случаях и для отдельных форм высказываний можно осуществить проверку, зная значения истинности входящих в их состав простых высказываний. Но представить все формы высказываний и полностью каждую из форм как функцию истинности составляющих высказываний есть дело невозможное.

Для знаков функций есть, конечно, некоторые предпосылки и аналоги в обычной речи. Но это — лишь «зародыши». В принципе же введение этих знаков как особых структурных (входящих в структуру высказываний) логических знаков есть результат изобретательной деятельности логики. Это — отличный пример того, что логика не просто описывает то, что уже вошло в обиход, но продолжает стихийную деятельность человечества по изобретению логических форм на профессиональном уровне, уточняя и отшлифовывая сделанное и предлагая нечто новое. Сказанное верно уже в отношении двузначной логики. И тем более верно в отношении многозначной логики, которая еще более «оторвалась» от языков науки.

Задача, таким образом, состоит не столько в том, чтобы воспринять результаты логики просто как описание привычных логических средств языка (хотя и эта задача логикой выполняется) и сказать себе: «Наконец-то мы знаем свойства логических средств языка, которыми вполне успешно оперировали на протяжении веков и без помощи... логики!». Задача состоит прежде всего в том, чтобы найти приложения для вновь изобретенных логических средств. Они найдены для двузначной логики. Такого рода исследования ведутся и в отношении аппарата многозначной логики.

Ошибочно думать, будто аппарат многозначной логики еще не есть логика, будто его еще надо применять в области логики, и тогда получиться нечто логическое. Аппарат многозначной логики сам по себе есть часть содержания науки логики, в какой бы терминологии он ни развивался. И если при этом оказывается весьма неопределенной граница между логикой и математикой, то это говорит лишь об историческом характере этой границы.

§ 6. Многозначные функции как виды связей

Семантическое определение каждой многозначной функции можно представить как совокупность высказываний вида «Если X', то У», где в X' указывается некоторая комбинация значений переменных, а в Y* — значение, которое принимает при этом формула, содержащая эти переменные и определяемый знак функции и не содержащая никаких других знаков; в X Хк перечислены всевозможные комбинации значений переменных, а набор значений функции в Y1,..., Yк характеризует тип функции.

Будем теперь интерпретировать: 1) переменные как любые предметы; 2) значения переменных — как возможные свойства или состояния этих предметов; 3) формулу, содержащую переменные и вводимый знак Функции, — как предмет, отличный от упомянутых выше; 4) значения этой формулы — как возможные свойства этого предмета. В таком случае семантическое определение многозначной (как и двузначной) функции можно рассматривать как определение некоторого типа связи между предметами, названными в пункте (1), и предметом, названным в пункте (3).

Определение функции теперь будет состоять из пунктов такого вида: «Если предметы SSm (т > 1) имеют набор свойств (находятся в состояниях) соответственно iim, то предмет Sn имеет свойство (находится в состоянии) £п», где г',..., im суть свойства (тождественные или различные в любых комбинациях) из множества U1 возможных свойств предметов S', г" есть свойство из множества U2 возможных свойств предмета Sn. Назовем S1,..., Sm первыми, a Sn — вторым по порядку.

Фактически так обстоит дело при внелогических интерпретациях пропозициональных функций двузначной и многозначной логики. Так, рассматривая знак конъюнкции как знак последовательного соединения контактов, предполагают следующее: если контакты S1 и S2 замкнуты, то цепь замкнута; если по крайней мере один контакт разомкнут, то цепь разомкнута. Обращаем внимание на то, что цепь есть предмет, отличный от контактов, а замкнутость цепи и контактов — не одно и то же свойство. Употребляемая символика скрывает это, поскольку формула, содержащая переменные и определяемый знак функции, выполняет роль знака второго по порядку предмета, содержит знаки первых по порядку предметов и указывает на тип их связи.

Глава 6

Приложения многозначной логики в логике

§ 1. Приложения многозначной логики

Приложения многозначной логики можно разбить на две группы:

1) непосредственные, при которых аппарат многозначной логики получает интерпретацию в терминах той или иной предметной области;

2) косвенные, при которых многозначная логика используется в исследованиях проблем логики, а результаты таких исследований могут быть использованы в применении к языкам наук на общих основаниях.

Примером приложений первой группы являются технические приложения логики. Что касается приложений второй группы, то они охватывают:

1) выявление фактически встречающихся случаев многозначности высказываний, выяснение взаимоотношений соответствующих значений истинности и последствий, вытекающих из этого (правил оперирования многозначными высказываниями);

2) использование идей и аппарата многозначной логики в качестве эвристических средств при решении проблем логики.

Использование, о котором говорится во втором пункте, может быть связано с исследованием, указанным в первом пункте, и может быть совершенно независимым от него. Первое условие назовем смысловым, второе — формальным (на этой терминологии мы не настаиваем).

§ 2. Формальные приложения

В логике получил широкое распространение метод доказательства независимости системы аксиом путем построения многозначных матриц. Так, независимость системы аксиом Тарского—Бернайса доказывается с помощью многозначных матриц (см. [50]). При этом сами аксиомы суть тавтологии двузначной логики. В [45] четырехзначные матрицы используются для обоснования независимости системы аксиом, содержащей знак строгой импликации и возможности. Так что никакой смысловой связи многозначных матриц и исследуемой логической системы здесь нет. Вместо одних матриц здесь можно придумать другие пяти, шести и т. п. значные, дающие тот же результат.

Следующий пример может показаться читателю несколько обескураживающим, поскольку с ним исторически было связано возникновение многозначной логики: мы имеем в виду модальную логику Лукасевича. Но одно дело — исторические мотивы: невозможность построить определения модальных знаков на базе двузначной логики способствовала выдвижению идей многозначной логики. И другое дело — характер взаимоотношения многозначного построения и логической теории.

При построении модальной логики в качестве некоторого «технического» средства можно использовать (как это сделано, в частности, в [27]) трехзначную логику Лукасевича со значениями 0, | и 1. К функциям С, А, К, N добавим еще такие функции:

X

р1

J X

р2

J X

0

0

1

1

2

1

1

I

I

0

Через них определим F3 и F4:

[F3x] = [F2Nx],

[F^x] = [FlNx].

Будем теперь интерпретировать F]x как Мх («Возможно, что х»), F2x — как NMx («Невозможно, что х»), F3x — как Lx («Необходимо, что х»), и F4х — как NLx («Не необходимо, что х»). Очевидно, тавтологии со знаками Fl,F2,F3,F4 будут интерпретироваться как правила для модальных высказываний. Например, AF2xFlx — как AMxNMx, AF3NxF3x — как ALNxLx и т.п.

В четырехзначной логике Лукасевича к матрицам С4 и N4 добавляются матрицы для возможности М и необходимости L:

X

Мх

Lx

1

1

2

2

I

2

3

3

4

4

3

4

Теперь тавтологии со знаками возможности и необходимости рассматриваются как законы модальной логики. Эта матричная модальная логика эквивалентна аксиоматической системе модальной логики Лука-севича [43], [44], которая получается путем присоединения к аксиомам классического пропозиционального исчисления модальных аксиом

СхМх,

EMxMNNx,

(где Eab есть сокращение для KCabCba) и определения Lx как сокращения для NMNx, которое можно точно так же записать формулой

ELxNMNx.

Аксиоматическое построение модальной логики Лукасевича уже само по себе есть определение свойств модальных высказываний и не зависит от каких бы то ни было матричных построений. В модальной логике вообще можно обойтись без многозначных матриц. Можно использовать другие матрицы, отличные от четырехзначных, например, шестнадцатизначные, построенные методом умножения матриц. И результат в последнем случае будет тот же.

Отметим, наконец, что определение модальных знаков многозначными матрицами не дает способа установления значений истинности модальных высказываний через значения истинности немодальных высказываний (в таблице для необходимости, например, вообще отсутствует значение 1, соответствующее истинности). Сказанного достаточно, чтобы сделать вывод об отсутствии жесткой «смысловой связи» модальной логики с какой-то одной определенной многозначной системой. Это, однако, не исключает того, что модальные высказывания принимают более двух значений истинности.

Следующий пример связан с системой строгой импликации Аккермана [12]. Система Аккермана должна, по идее, устранить так называемые «парадоксы» материальной импликации и строгой импликации Льюиса, т. е. в ней не должны быть доказуемыми некоторые формулы, которые считаются несоответствующими интуитивному пониманию логического следования, — формулы CaAbNb, CaCNab и т. п. Задача многозначного матричного построения состоит здесь в следующем: все доказуемые в системе сильной импликации формулы суть тавтологии в матричном построении; формулы, считающиеся «парадоксальными», не являются тавтологиями, значит, они недоказуемы в системе сильной импликации.

Многозначное матричное построение, удовлетворяющее этой задаче, имеет такой вид. Значения истинности суть 0,1, 2, 3,4, 5. Отмеченные значения суть 3, 4 и 5. Отрицание определяется, как у Поста, т.е.

pVa:] = 5 - [®].

Импликация определяется матрицей

Сху

0

1

2 3 4 5

0

3

3

3 3 3 3

1

0

3

3 0 3 3

2

0

0

3 0 0 3

3

0

0

0 3 3 3

4

0

0

0 0 3 3

5

0

0

0 0 0 3

Но той

же задаче удовлетворяет четырехзначное построение, в ко-

тором N,K и матрицей

А

определяются как у Лукасевича, С определяется

Сху

0

I

2 3

0

2

2

2 2

1

0

2

2 2

2

0

1

2 2

3

0

0

0 2

Отмеченные значения суть 2 и 3. Имеются и другие матричные интерпретации систем строгой импликации (см., например, [53]).

§ 3. Смысловые приложения

С примером смысловою приложения мы уже встречались в разделе об интуиционистской логике Сходство этого примера с системой Аккермана явное: там тоже требовалось «обосновать» исключение некоторых формул из числа доказуемых. Но в случае с логикой Рейтинга в основе лежало признание высказываний, которые не являются истинными и ложными

Одним из примеров смыслового приложения многозначной логики являются работы Бочвара [1], [2]. Бочвар построил свое трехзначное исчисление с целью разрешения парадоксов классической математической логики путем формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Бочвар различает высказывания, имеющие смысл, и высказывания бессмысленные. Высказывание имеет смысл, если оно истинно или ложно. Высказывание, имеющее смысл, называется предложением. Бочвар далее различает:

1) внутреннюю форму утверждения, отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации — соответственно х; не-Х; X и У; X или У; если X, то У;

2) внешнюю форму — соответственно: X верно; X ложно; X верно и У верно; X верно или У верно; если X верно, то У верно.

Для предложений эти формы эквивалентны. Различие их для высказываний обнаруживается при подстановке на место X (или У) бессмысленного высказывания: в первом случае получим бессмысленное высказывание, во втором — нет. Мы охарактеризуем систему Бочвара в принятой у нас символике.

Значения истинности суть 1 (истинно), 2 (бессмысленно) и 3 (ложно). Отмеченное значение — 1. Основные функции (внутренняя конъюнкция, внутреннее отрицание, внешнее отрицание и внешнее утверждение):

Kab 1 2 3

2) pVa] = 4 - [a];

3) pV*a] — 3, если

[TV* a] — 1, если

4) [Va] = 1, если

[Va] — 3, если

[a] — 1 или [a] — 2, Ы = 3;

[a] = l,

[a] — 2 или [a] — 3.

Производные функции (внешние функции, аналогична внутренним, отмечаем звездочкой):

5) [Aab] = [NKNaNb];

6) [Cab] = [NKaNb];

7) (Lab) = [KCabCba];

8) (.K*ab] = [KVaVb]-,

9) [A*ab] = [AVaVb];

10) [C*ab] = [CVaVb]-

11) [R*ab] = [KC*abC*ba\;

12) [Sab] = [KR*abR*NaNb];

13) [Ta] = [NAVaN*a].

Для функции T матрица имеет вид

a Ta

Очевидно, если формула Та есть тавтология, то [aj — 2, т.е. а бессмысленна.

Затем строится узкое исчисление предикатов. Обозначения:

1) (а) и (£?а) — классические кванторы;

2) (V a) и (3 а) — неклассические кванторы;

3) /,/',/2,. .. — предикатные переменные.

Сокращающие определения:

1) (Ea)f(a) = Df N(a)Nf(a)-,

2) (3 a)f(a) = Df(Ea)Vf(a);

3) (Va)/(a) = P/ (a)V/(a).

Определение доказуемой формулы:

1) тавтологии трехзначной логики (I) суть доказуемые формулы;

2) формулы II суть доказуемые формулы;

3) формулы, получаемые из I и II по правилам III, суть доказуемые формулы.

Формулы II:

1) C*(a)f(a)f(b);

2) С*/(Ь)(Эа)/(а);

3) C*T(a)f(a)(3 a)Tf(a);

4) С*(3 a)Tf(a)T(a)f(a).

Правила III:

1) из а и Ь получается /СоФ;

2) из а и С*аЪ получается Ь;

3) подстановка на место переменных всех трех видов (как в классическом исчислении);

4) из С * аЬ получается С*а(а)Ь, из С*Ъа получается С*(За)Ъа, где а не входит в связанном виде в Ь.

Расширенное исчисление предикатов получается путем расширения области индивидов за счет включения в нее всех формул, возможных в узком исчислении.

Цель построенного исчисления — устранить парадоксы Рассела и Вейля путем доказательства бессмысленности соответствующих выражений. Парадокс Рассела является чисто логическим. Получается он так. Предикат от одного переменного называется предикатом свойства. Вместо /(a) для краткости будем писать Выражение 92 означает свойство, которое принадлежит самому себе. Приняв определение

Pd(<p) = 0/

в классической логике получим доказуемую формулу

RNPd (NPd) Pd(NPd).

Парадокс Вейля получается при условии присоединения к классическому исчислению предикатов определения

H(d) = Df ■ (E<p)KQ(d, <p)N<p(d),

где область значений d есть множество символов, обозначающих свойства, а область значений p — множество самих свойств (формулы Q(d, <р) читается как «d обозначает <р»), и доказуемых формул:

1) <Э(«Я»,Я);

2)

(их смысл — «Я» обозначает Я и только Я). В расширенной таким образом классической логике оказывается доказуемой формула

ЯЯ(«Я»)ЯЯ(«Я»).

В обоих случаях получается, что существует такая формула а, для которой имеет силу

RaNa,

т. е. доказуема логически противоречивая формула.

В логике же Бочвара, однако, доказуемы формулы

TPd(NPd), TNPd(NPd), ТН(«Н»), TNH(«H»),

т. е. выражения

Pd(NPd), NPd(NPd), Я(«Я»), ЯЯ(«Я») бессмысленны.

Другим примером смысловых приложений многозначной логики являются работы, в которых идеи и аппарат многозначной логики используются для преодоления ряда философских и логических трудностей квантовой механики. Это, например, работы Биркгофа и Неймана [15], Детуш-Феврие [21], Рейхенбаха [52] и других авторов. Здесь высказываются различные точки зрения. Отметим две из них.

По мысли Детуш-Феврие, логическая теория есть теория бытия, отражающая общие свойства мира. Одна логическая теория может быть истинной для одной части мира и неистинной для другой. Двузначная логика истинна для макромира, но не для микромира. Для последнего вместо двузначной имеет силу трехзначная логика дополнительности.

Иной концепции придерживается Рейхенбах. По его мнению, логическая теория не претендует на то, чтобы быть истинной общей теорией мира. Она относится лишь к языку науки, в частности, к языку микрофизики и языку макрофизики), и может быть использована для устранения логических трудностей, возникающих без ее применения.

Книга квантовых явлений, полагает Рейхенбах, написана на языке трехзначной логики. Говорить об истинности или ложности высказываний можно лишь тогда, когда можно осуществить их проверку. Если последняя невозможна, высказывания не являются истинными и не являются ложными. Их, в таком случае, следует оценивать третьим значением истинности, допустим, «неопределенно». К числу неопределенных относятся высказывания о ненаблюдаемых объектах. И если физик придерживается привычных способов рассуждения, уместных для микроявлений, он приходит к «казуальным аномалиям» (частица производит одновременные воздействия на места, в которых она сама не находится; поле внезапно стягивается в точечный объект и т п.) Выход Рейхенбах видит в зачислении ряда высказываний о микроявлениях (о ненаблюдаемых объектах) в класс неопределенных. Для установления же правил оперирования с ними нужна трехзначная логика.

Трехзначная логика Рейхенбаха имеет (в нашей записи) такой вид. Значения истинности суть 1 (истинно), 2 (неопределенно) и 3 (ложно). Отмеченное значение есть 1. Употребляются следующие функции:

№ж —циклическое отрицание;

N2х — диаметральное отрицание;

NЗх — полное отрицание;

Кху — конъюнкция;

Аху — дизъюнкция;

С'ху — стандартная импликация;

С2ху — альтернативная импликация;

С3ху — квазиимпликация;

R'xy — стандартная эквивалентность;

R2ху — альтернативная эквивалентность.

Они определяются матрицами

х Nz N2 N3

X

У

Кху

Аху

С'ху

С2ху

С3ху

R'xy

R2xy

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

3

2

2

3

3

1

3

1

3

3

3

3

3

1

2

2

1

1

1

2

2

3

2

2

2

2

1

1

2

1

1

3

2

3

2

3

1

2

2

3

1

3

3

1

1

1

2

3

3

2

3

3

2

1

1

2

2

3

3

3

3

3

1

1

2

1

1

В системе Рейхенбаха являются тавтологиями формулы

R'xN2N2x,

R'xNlNlN'x,

RlN3xN3N3N3x,

RlN3xANlxNlNlx,

т. e. правило двойного отрицания сохраняется только для диаметрального отрицания. Закон исключенного третьего для диаметрального отрицания не сохраняется. Для циклического отрицания имеет силу закон исключенного четвертого

AAxN'xN'N1 х и RlAxNlNlxN3x.

Закон противоречия сохраняется в таких формах:

N3KxN3x, N3KxN'x, N3KxN2x.

Правила Де Моргана сохраняются только в форме

[N2Kxy] = [AN2xN2y] и [N2Axy] = [KN2xN2y].

Дистрибутивные законы сохраняются, как в двузначной логике. Правило контрапозиции сохраняется в двух формах:

RlC'N2xyClN2yx и RxC2N3xyC2N3yx.

Разложение эквивалентности сохраняется в форме

R'R'xyKCxyCyx

и

R2R2xyKKC2xyC2yxKC2N2xN2yC2N2yN2x.

Разложение импликации сохраняется в форме

R'C2xyN}N2AN3 ху.

Приведение к абсурду сохраняется в форме

R'c'c'xN3xN3x и C2C2xN3xN3x.

Для высказываний, принимающих значения только истинно (1) и ложно (3), закон исключенного третьего сохраняется для диаметрального отрицания: если х есть только истинно-ложное высказывание, то AxN2х есть тавтология.

Таким образом, в построении Рейхенбаха, как и в логике Бочвара, происходит как бы дифференциация логических знаков и относящихся к ним правил, — получается более богатый и тонкий аппарат для анализа взаимоотношений высказываний в науке.

Среди формул, которые можно построить с помощью введенных выше знаков трехзначных функций, содержатся такие, которые всегда истинны, всегда ложны, всегда неопределенны, только истинны или ложны, только истинны и неопределенны, только ложны и неопределенны, могут принимать все три значения. Из них Рейхенбах выделяет формулы, имеющие характер формул двузначной логики (являющиеся только истинными или ложными). По его мнению, законы квантовой механики помещаются именно в этот класс истинно-ложных формул (в интерпретации — высказываний). Получается интересная ситуация: законы квантовой механики двузначны, а правила рассуждения для них формулируются в трехзначной логике. Но это вполне соответствует пониманию логики как средства усовершенствования языка науки.

Пусть х, у, z интерпретируются как высказывания. Если для двух высказываний х и у истинно утверждение

R2AxN'xN'N'y,

то такие высказывания Рейхенбах называет дополнительными (или дополняющими). Поскольку AxN1 х истинно тогда, когда х истинно и когда х ложно, то N}Nly должно быть истинным. А это имеет место тогда, когда у неопределенно. Таким образом, х и у дополняют друг друга, если в отношении них выполняется следующее: если х истинно или ложно, то у неопределенно. Условие дополнительности симметрично, т. е. если истинно приведенное выше утверждение, то истинно

R2AyN'yNlNlx.

Условие дополнительности можно сформулировать для трех и более высказываний. Для трех высказываний оно имеет вид

KR2AxN'xN'N'yR2AyN'yNlN'z.

Условие дополнительности можно использовать, например, для описания фактов взаимного ограничения точности измерения величин (в частности, соотношения неопределенностей):

С*А[(е\ t) = u][N'(e',t) = u]NlN' [(е2, t) = ®],

что читается так: если верно или неверно, что значение е1 во время t есть и, то высказывание о том, что значение е2 во время t есть v, будет неопределенным. В силу симметричности, е1 и е2 можно поменять местами.

§ 4. Парадокс изменения

Нам представляется целесообразным использование идеи многозначности высказываний в решении парадокса изменения. Парадокс изменения есть обобщение известного парадокса Зенона «Движущееся тело находится и в то же время не находится в данном месте пространства». Его можно сформулировать так: 1) «Возникающий (исчезающий) предмет существует и в то же время не существует»; 2) «Изменяющийся предмет имеет и в то же время не имеет данное свойство».

Состояния предмета S, описываемые высказываниями «S имеет свойство Р» («S существует») и «S не имеет свойства Р» («S не существует»), назовем стационарными. Эмпирически замечены случаи, когда осуществляется переход предмета из одного состояния в другое. Такое состояние предмета назовем переходным. Для описания его не годятся оба высказывания о стационарных состояниях. Они оба в этом случае неверны. Вопрос о таких состояниях в литературе по многозначной логике обсуждался, например, в [53].

Запишем сказанное, используя логические знаки классической (и, соответственно, двузначной) логики. Пусть б есть высказывание о наличии у изменяющегося предмета свойства о существовании предмета), а N6 — об отсутствии у этого предмета того же свойства (о том, что этот предмет не существует). Утверждение

KN6NN6

есть утверждение, истинное в отношении переходного состояния. Поскольку NN6 эквивалентно б, будет истинно утверждение

K6N6

в отношении к переходному состоянию предмета. Это и есть парадокс изменения. Если а есть переменная, то, как следствие из него, получаем

(3 a)KaNa.

б*

На эту тему существует обширная литература. Мы не будет ее здесь обсуждать. Заметим лишь то, что в подавляющем большинстве случаев не видят чисто логической стороны парадокса и привлекают сложный материал из истории физики и математики, который, по нашему мнению, не имеет никакого отношения к данному парадоксу и лишь еще больше запутывает довольно простой вопрос.

Мы базируется здесь на двух простых, тесно связанных идеях. Первая идея принадлежит Колмогорову [5] и заключается в том, что надо различать два вида отрицания: отрицание соответствия предиката субъекту и отрицание высказывания в целом. Второе шире первого и не всегда сводится к нему. Обобщая эту идею, мы различаем два вида отрицания следующим образом:

1) частное отрицание, которое ставится перед логическим знаком (перед квантором, перед модальным знаком, перед знаком атрибутивности и т. п.);

2) общее отрицание, которое относится к высказыванию в целом («не так, как утверждается в некотором высказывании»).

Но такое различение ведет к заметным формальным последствиям лишь в том случае, когда приходится иметь дело с тремя и более возможностями: общее отрицание оказывается неоднозначным, а частное отрицание выступает как одна из возможностей. Это равносильно признанию многозначности высказываний. Именно так и обстоит дело в нашем случае. Так, если кто-то утверждает, что некоторый предмет S имеет свойство Р, а мы ему скажем «нет» («дело обстоит не так»), то мы будем иметь в виду не обязательно второе стационарное состояние предмета S (он не имеет свойства Р); мы можем иметь в виду также и переходное состояние. В плане значений истинности это означает, что рассматриваемое утверждение может сопоставляться с тремя различными состояниями предмета и, следовательно, иметь одно из трех различных значений истинности в зависимости от состояния.

Обозначим частное отрицание б символом 6(N), а N6 будем рассматривать как общее отрицание. Знаки А,К nN будем рассматривать как знаки классического исчисления предикатов, эксплицирующие обычные «или», «и», «не», оставив пока в стороне матричную интерпретацию. Чтобы не усложнять дело, опустим случаи, когда высказывание невозможно проверить. Значения истинности рассматриваемых высказываний можно определить так:

1) «б» истинно если б; «б» ложно, если 6(N); «6» неопределенно, если KN6N6(N);

2) «6(N)» истинно, если 0(ЛГ); <<6(N)» ложно, если б; «6(N)>> неопределенно, если KN6N6(N);

3) «KN6N6(N)» истинно, если KN6N6(N), и ложно, если A66(N).

Высказывания б, 6(N) и KN6N6(N) в одно время принимают значение «истинно», в другое — «неопределенно», в третье — «ложно».

Частное отрицание обладает следующим свойством: оно может стоять только перед логическим знаком; причем перед одним логическим знаком может стоять не более одного знака частного отрицания. Это требование легко реализовать в определении формулы: последнее надо построить так, чтобы выражение, в котором знак частного отрицания фигурирует по крайней мере два раза подряд или фигурирует в неположенном для него месте, не считалось формулой. Очевидно, в высказываниях отступление от этого правила будет давать неправильно построенные высказывания. Отсюда следует, что всевозможные правила двойного отрицания для частного отрицания не имеют силы. Поэтому высказывание

KN6N6(N)

нельзя заменять на

K6N6,

поскольку оно означает: «Имеет место не состояние 6 и не состояние 6(N), а третье, переходное состояние».

Здесь не представляется возможным рассмотреть последствия, вытекающие из различения общего и частного отрицаний для логики вообще. Ограничимся лишь кратким замечанием, непосредственно связанным с нашей темой.

В принципе, правила оперирования с высказываниями можно сформулировать и без матричных интерпретаций логических знаков. Но последние удобны, и в целом ряде случаев они так или иначе предполагаются в неявном виде. В рассматриваемом нами случае имеется одна особенность, с этой точки зрения представляющая интерес.

Пусть значения истинности суть 1 (истинно), 2 (неопределенно) и 3 (ложно). Сказанное выше о значениях истинности высказываний, содержащих б, можно записать таблицами

6

6(N)

6

KN6N6(N)

1

3

1

3

2

2

2

1

3

1

3

3

Как видим, при чтении второй таблицы справа налево получается неоднозначный результат для значения 3.

Определение общего отрицания трехзначной матрицей при задан -ных условиях сталкивается с затруднениями. Для него надо сохранять правила двойного отрицания, правила Де Моргана, законы исключенного третьего и противоречия классической логики — таков смысл, который ему фактически навязывается в языках (и мы его сохраняем в теории). Это — предпосылка. Выполнить это требование можно лишь в двузначной логике, в чем легко убедиться, пересмотрев все трехзначные варианты или в... однозначной, аналогичной, с формальной точки зрения двузначной.

Определим Na следующим образом:

2)

3)

4)

6)

если а является истинным, то Na не является истинным (если [а] = 1, то [Na] / 1);

если

если

если

если

если

a] / 1, то [Na] — 1; Na] = 1, то а] / 1; Na] / 1, то [а] = 1; а] — 2, то [Na] / 1; а] — 3, то [Na] / 1.

В связи с таким определением N надо, соответственно, определить и знаки К и А:

1) если [a] = 1 и [&] — 1, то [КаЬ] = 1,

если [а] / 1 или [d] / 1, то [КаЬ] / 1;

2) если [а] / 1 и [6] / I, то [АаЬ] / 1, если [а] — 1 или [b] — 1, то [АаЬ] — 1.

Если мы условимся считать, что в матричном построении значения суть 1 и 4, отмеченное значение есть 1, то, заменив везде [a] / 1 на [а] — 4, мы получим обычную двузначную логику с функциями А, К и N.

Теперь можно показать, что утверждения

A<5<5(N),

ASKNSN6(N),

Ab(N)KN6N6(N)

не всегда истинны. Это означает, что закон исключенного третьего не имеет силы для частного отрицания. Всегда истинными будут утверждения

A6N6,

A6(N)N6(N),

AKNSNb(N)NKN6Nb(N),

NK66(N),

NK6KN6N6(N),

NK6(N)KN6N6(N).

Таким образом, закон исключенного третьего остается незыблемым для общего отрицания, а закон противоречия сохраняется и для частного отрицания. Поскольку

[№(N)] / [6],

нельзя получить

CKNSN6(N)KSN6,

где Cab есть сокращение ANab.

§ 5. Многозначность высказываний и правила вывода

Центральная задача логики — исследование правил вывода (логического следования). Эти правила вырабатываются с таким расчетом, чтобы из истинных посылок получились истинные следствия. Так что при построении теории вывода достаточно оперировать термином «истинно». Сам же процесс вывода вообще не зависит от значений истинности посылок. При осуществлении выводов анализируют структуру посылок: выделяют термины, высказывания, логические знаки и взаимное их расположение. Зная правила, относящиеся к такого рода структурам, совершают переход к тому или иному разрешаемому этим правилом следствию. Если посылки не все истинны, то нельзя признать истинным следствие. Однако само получение следствий из посылок осуществляется по одним и тем же правилам как при истинных, так и при неистинных посылках. Благодаря этим обстоятельствам создается впечатление, будто многозначная логика не затрагивает теорию вывода; на последнюю влияют какие-то внелогические соображения; многозначная же логика в лучшем случае может использоваться как сугубо формальное средство в их реализации.

Рассмотренных примеров, однако, достаточно для того, чтобы убедиться в ошибочности такого впечатления. Во-первых, многозначная логика влияет на теорию вывода в связи с другими факторами и косвенно, через ряд промежуточных операций. Обнаруживание многозначности высказываний позволяет осуществить дифференциацию ряда имеющихся логических знаков и ввести новые. С другой стороны, потребность в новых логических знаках заставляет как-то модифицировать имеющиеся, что может получить обоснование путем допущения многозначности высказываний. А все это ведет к тому, что одни правила, связанные с этими логическими знаками, исключаются из числа всеобщих, другие дифференцируются и уточняются, третьи вводятся вновь и т. д. Во-вторых, влияние это не всегда обнаруживается явно, чеРез конструирование многозначных логических систем. В предшествующем параграфе мы видели, что различение частного и общего отрицания приобретает практический смысл лишь в связи с наличием трех взаимоисключающих возможностей, в описании свойств и взаимоотношений которых фигурируют эти отрицания. Последствия этого различения для правил вывода можно рассмотреть вообще не используя семантических терминов. Но это не устраняет того обстоятельства, что если сложившуюся здесь ситуацию воспроизвести в терминах значений истинности, то потребуется более двух значений.

Универсальность логики

§ 1. Проблема неуниверсальности логики

Существуют две концепции в понимании законов логики — концепция универсальности логики и концепция неуниверсальности логики. Сторонники первой концепции считают, что законы логики не зависят от особенностей той или иной предметной области: один и тот же закон логики не может в одной области исследования вести к правильным, а в другой — к неправильным результатам. Сторонники второй концепции утверждают нечто противоположное: законы логики зависят от предметной области, один и тот же закон логики в одних условиях ведет к истине, в других — к заблуждению.

Концепция неуниверсальности логики подкрепляется ссылками на интуиционистскую концепцию математики, на «логику микромира» и на различного рода парадоксы, создающие видимость допустимости логических противоречий.

Используя язык классической логики, основные пункты концепции неуниверсальности логики можно записать так:

(3 a)NCNNaa,

(3 a)NAaNa,

(3 a)KaNa,

(3 а)(3 b)NCKabKba

и т. п. И, конечно, делаются ссылки на многозначную логику.

Но почему именно такие законы неуниверсальны, а не другие? Имеются ли все-таки законы, которые остаются универсальными? Ведь если допустить, что все законы неуниверсальны, то не останется никакой логики. Ответы на такого рода вопросы для концепции неуниверсальности логики затруднительны. По нашему мнению, эта концепция есть результат недоразумений.

§ 2. Законы логики

Законы логики суть соглашения относительно смысла некоторых знаков языка, относительно правил оперирования ими, а также вытекающие из этих соглашений следствия. Эти знаки суть знаки «и», «или»,

«не», «все», «некоторые», «следует» и т. п. В естественных языках эти соглашения вырабатывались стихийно, в результате длительной эволюции языка и истории познания. Каждому человеку они навязываются как нечто независящее от их воли. Потому правила оперирования ими представляются ему своего рода законами природы. Так, утверждение «X или не-Х» воспринимается как некоторое всеобщее утверждение о мире, а не как соглашение о свойствах знаков «или» и «не». Принудительная сила законов логики для людей есть сила их собственных соглашений. Она кажется какой-то мистической силой лишь потому, что каждый отдельный человек усваивает язык в готовом виде и не волен отменить эти соглашения.

В силу того, что процесс выработки логических знаков языка протекает стихийно и в «контексте» прочих социальных явлений и процессов, естественным следствием этого является неоднозначность логических знаков, смешение различных логических знаков, неявное употребление их и т. п. Наука логика, изучая эти знаки и связанные с ними правила, осуществляет, вместе с тем, работу по их усовершенствованию — дифференцирует, устраняет двусмысленности, выявляет неявные свойства, устанавливает взаимоотношения различных знаков и т. п. Логика делает это, вводя особые знаки и принимая особые соглашения относительно их свойств и взаимоотношений. Соглашения, принятые в логике, рассматриваются как экспликаты для соглашений, сложившихся в языке исторически. Насколько первые близки ко вторым — это другой вопрос. Здесь есть свои проблемы (например, «парадоксы» материальной и строгой импликации). Для нас важно то, что формулируемые наукой логикой законы суть не что иное, как соглашения относительно свойств и взаимоотношений вводимых здесь знаков и следствия из этих соглашений. Методы современной логики это обнаруживают с полной очевидностью (аксиомы, правила вывода, определения функций и т.д. принимаются по соглашению, а не являются результатом эмпирических исследований). Так что с этой точки зрения ни о какой неун и нереальности законов логики и речи быть не может. Если кто-то сомневается в применимости какого-то закона логики в некоторых условиях, то это сомнение есть показатель того, что либо соглашения были построены плохо, либо сомневающийся вкладывает другой смысл в употребляемые логические знаки.

Иное дело — в различных условиях используются различные логические знаки и, естественно, различные логические правила. Например, в одном случае в рассуждении употребляется первая фигура силлогизма, а в другом — закон приведения к абсурду. Никакой дискуссий такого рода факты не вызывают, пока различие логических знаков явное. Но как только оказывается, что логические знаки очень близки ио смыслу и различие их не замечают, то возникают недоразумения, вроде концепции неуниверсальности законов логики. Такими, например, являются случаи смешения различных форм отрицания и конъюнкции, которые мы рассмотрим ниже.

Разумеется, соглашения о смысле логических знаков в языках и в науке логике нельзя считать вечными, неизменными и раз навсегда данными. Но этот факт не влияет на решение вопроса об универсальности логики: некоторое стабильное состояние предполагается при любом его решении.

§3. «Неуниверсальные» законы логики

Выше мы уже видели, что парадокс изменения есть следствие смешения частного и общего отрицания, построения рассуждения в рамках правил двузначной логики и несоответствующего им допущения третьего переходного состояния изменяющихся предметов. Здесь не представляется возможным проанализировать другие случаи кажущейся правомерности высказываний типа KaNa. Да в этом и нет необходимости. Если где-то подобное высказывание получилось как истинное, то заранее можно сказать: в этом случае К, N или оба эти знака употреблены в смысле, отличном от того, какой придан им в логике.

Исключение некоторых законов классической логики в интуиционистской логике основывается, как уже отмечалось, на обнаружении того обстоятельства, что высказывания могут быть не только истинными или ложными: имеются случаи, когда невозможно установить, истинно или ложно высказывание. Эту ситуацию можно точно так же рассматривать посредством различения общего и частного отрицания. Пусть a(N) есть высказывание, которое отличается от а тем и только тем, что в нем имеется знак частного отрицания. Как и в случае с парадоксом изменения, утверждение Aaa(N) будет уже не всегда верным. Но это не отменяет AaNa. Утверждение Na(N) не всегда можно заменить на а. Но это не отменяет правила замены NNa на а, если такое правило принято при определении N. Поскольку общее и частное отрицание не различают, т. е. a(N) рассматривают как Na, то Исключение AaNa и правила замены NNa на а фактически означает иное определение знака N, чем в классической логике.

Но если логическая теория хочет учесть фактически встречающееся Различие общего и частного отрицания, то можно сохранить классическое отрицание как общее, а для частного принять дополнительное определение:

1) AAaa(N)KNaNa(N)-,

2) NKaa(N);

3) NKaKNaNa(N);

4) NKa(N)KNaNa(N).

В связи с логикой микромира высказывается намерение исключить из числа законов логики (в частности) коммутативность конъюнкции, т. е. правила замены Kab на К ba. Это намерение оправдывается тем, что между объектами квантовой механики имеются какие-то временные соотношения, так что временный порядок может играть роль.

Нам представляется более целесообразным другой путь, а именно — ввести особый логический знак некоммутативной или упорядоченной конъюнкции. Будем для этой цели употреблять символ К°. Если даже мы допустим, что а и Ь двузначны (1 — истинно, 3 — ложно), то и при этом допущении K°ab окажется по крайней мере трехзначной в силу самого факта упорядоченности а и Ь. В самом деле, эту их упорядоченность (пусть a — первое по порядку) можно записать так: \К°аЬ] — 1, если и только если [а] = 1 и [J|= 1; — 3, если

и только если [а) = 1 и jfe] = 3. Какое значение будет иметь К°аЪ при [а] — 3? Это не может быть 1, что очевидно. Но это не может быть и 3, так как при этом исчезает ее отличие от КаЬ. Приходится допустить третье значение (неопределенно, 2). Теперь можно дать такую таблицу, учитывая возможность значения 2:

К°аЬ

1

2

3

1

1

3

3

2

2

2

2

3

2

2

2

Из определения видно, что не всегда [К°аЬ] — [КаЪ\ и не всегда \К°аЬ\ — [К°Ьа]. Определив импликацию как у Лукасевича, получим: если [а] = 2 и [Ь] = 1, то [СК°аЬКаЬа] — 2. Формула CK°abK°ba не есть тавтология. Значит, среди правил вывода нет правила К°аЪ Ь К°Ьа. Правила же К°аЪ\- а и K*ba I- Ь сохраняются.

§ 4. Логика и сферы мира

Различные сферы мира (предметные области) различаются с точки зрения тех логических знаков, которые используются при их описании. Так, в одних случаях уместна классическая конъюнкция, в других — неклассическая (упорядоченная). Различие используемых знаков ведет к тому, что используются различные логические законы. Но это нИ в коем случае не означает того, что одни и те же логические законы верны для одной области мира и неверны для другой.

Возможно, конечно, рассуждать таким образом логика отражает некоторые свойства действительности, опирается на онтологические обобщения; следовательно, различие свойств различных областей действительности (например, макромира и микромира, конечных и бесконечных множеств) порождает различие систем логических правил для наук, отражающих эти области. Но можно рассуждение построить иначе: несмотря на различие свойств различных сфер действительности, имеются некоторые общие свойства, отображаемые правилами логики; таким образом, делить мир на сферы, требующие для своего отображения различных правил логики, будет нелепым. Так что ссылки на отражение мира в такого рода случаях ничего не дают определенного.

Многозначная логика не дает никаких аргументов в пользу концепции неуниверсальности логики, хотя и можно построить любое число многозначных матриц, «оправдывающих» исключение любого закона классической логики. Скорее наоборот, обнаружение многозначности высказываний позволяет ввести коррективы в логические теории, осуществить нужные различения близких по смыслу логических знаков, определить новые знаки и т. п. Благодаря этому получают объяснение случаи кажущихся отклонений от законов логики. Есть одна и только одна логика для любых наук (для любых областей познания). Вопреки мнению отдельных философов, нет никакой особой «логики микромира», отличной от «логики макромира». Существуют различные разделы и направления в рамках одной логики, которые могут стимулироваться потребностями какой-то определенной области конкретных наук и иметь преимущественные приложения именно в них.

1. БочварД. А. Об одном трехзначном исчислении // Математический сборник. 1938. Т. 4 (46), №2.

2. Бочвар Д. А. К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного исчисления // Математический сборник. 1943. Т. 12 (54), № 3.

3. Гаврилов Г. П. О функциональной полноте в счетнозначной логике // Проблемы кибернетики. 1965. Т. 15.

4. Зиновьев А. А. Философские проблемы многозначной логики. М.: Изд-во АН СССР, 1960.

5. Колмогоров А. Н. О принципе tertium non datur // Математический сборник. 1925. № 32.

6. Кузнецов Б. Г. Основы квантово-релятивистской логики // Логические исследования. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

7. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Физматгиз, 1959.

8. Шанин НА. О конструктивном понимании математических суждений // Труды Математического института АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т.52.

9. Шестаков В. И. Моделирование операций исчисления предложений посредством простейших четырехполюсных схем // Вычислительная математика и вычислительная техника. Сб. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1953.

10. Шестаков В. И. О двойной арифметической интерпретации трехзначного исчисления высказываний // Применение логики в науке и технике. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

11. Яблонский С. В. Функциональные построения к fc-значной логике // Труды Математического института АН СССР. 1958. Т. 51.

12. Ackermann W. Die Begriindug eine strengen Implication // Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21, №2.

13. Belluce L. P. Further Results on Infinite-Valued Predicate Logic // Journal of Symbolic Logic. 1964. Vol. 29, №2.

14. Belluce L.P., Chang C.C. A Weak Completeness Theorem for Infinite-valued First-order Logic // Journal of Symbolic Logic. 1963. Vol. 28.

15. Birkhoff G., Neumann J. (yon). The Logic of Quantum Mechanics // Annals of Mathematics. 1936. Vol. 37, №4.

16. Brouwer L. E. J. Uber die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1924. Bd. 154. H L

17. Brouwer L. E. J. Intuitionische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe//Jahres-bericht der deutschen Mathematiker-Veremigung. 1925. Bd. 33.

18. Chang С. C. Algebraic Analysis of Many-valued Sentential Logic // Transactions of the American Mathematical Society. 1958. Vol. 88.

19. Chang С. С. New Proof of the Completeness of the Lukasiewicz Axioms // Transactions of the American Mathematical Society. 1959. Vol. 93.

20 Clay R. E. Note on Slupecki T-functions // Journal of Symbolic Logic. 1962. Vol. 27, № 1.

21. Destouches-Fevrier P. La structure des theories physiques. Paris, 1951.

22 Evans T., Schwartz P- B. On Slupecki T-functions // Journal of Symbolic Logic. 1958. Vol. 23. № 3.

23 Gentzen G. Untersuchungen fiber das logiche SchlieYen // Mathematische Zeitschrift. 1934-1935. №39.

24. Glivenko V. M. Sur la logique de M. Brouwer // Academic Royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences. 1928. 5 serie. T. XIV.

25. Glivenko V. M. Sur quelques points de la logique de M. Brouwer // Academic Royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences. 1929. T.XV.

26. Godel K. Zum intuitionischen Aussagenkalkul // Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse. 1932. №69.

27. Creniewski H. Elementy logiki formalnej. Warszawa, 1955.

28. Creniewski H. 2n+1 wartosci logicznych // Studia filozoficzne. 1957. № 2. H. 3.

29. Hay L. S. Automatization of the Infinite-valued Predicate Calculus // Journal of Symbolic Logic. 1963. Vol. 28, №. 1.

30. Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionischen Logik // Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse. 1930.

31. Heyting A. La conception intuitionste de la logique // Les etudes philosophique. 1956. №2.

32. Heyting A. Intuitionism. Amsterdam, 1956.

33. Hilbert D., Ackermann W. Grundzfige der theoretischen Logik. Berlin, 1938.

34. Jobe W.H. Functional Completeness and Canonical Forms in Many-valued Logics // Journal of Symbolic Logic. 1964. Vol. 29, № 2.

35. Kalinowski J. Teoria zdac normatywnych // Studia logica. 1953. T. 1.

36. Kleene S. C. Introduction to Metamathematics. New York, Amsterdam, Groningen, 1952.

37. Kolmogoroff A. Zur Deutung der intuitionistischen Logik // Mathematische Zeitschrift. 1932. Bd.35, №1.

38. Kotarbicski T. Wyklady z dziejyw logiki. Lydz, 1957.

39. Lukasiewicz J. Logika tryjwartosciowa // Ruch Filozoficzny. Lwyw, 1920. R. 5. №9.

40. Lukasiewicz J. О pojKciu mozliwosci // Ruch Filozoficzny. Lwyw, 1920. R. 5. №9.

41. Lukasiewicz J. Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des

Aussagenkalkiils // Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warsza-wskiego. WydziaHII. R. XXIII. Warszawa, 1930. J

42. Lukasiewicz /., Tarski A. Untersuchungen fiber den Aussagenkalkfil // Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydziaf II. R. XXIII. Warszawa, 1930.

43. Lukasiewicz J. System logiki modalnej. Z zagadniec logiki i fllozofli. Warszawa, 1961.

44. Lukasiewicz J. Aristotle’s Syllogistic. Dublin, 1954.

45. Lewis C. Y., Langford С. H. Symbolic Logic. New York, 1932.

46. Mastowski A. Axiomatizability of Some Many Valued Predicate Calculi // Fundamenta mathematica. 1961. Vol. 50.

47. Meredith C. A. The Dependence of an Axiom of Lukasiewicz // Transactions of the American Mathematical Society. 1958. Vol. 87.

48. Post E. L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43, № 3.

49. Prior A. N. Time and Modality. Oxford, 1957.

50. Rasiowa H. О pewnym fragmencie implikacyjnego rachunku zdac // Studia ligica. 1955. T. III.

51. Reichenbach H. Wahrscheinlichkeitslehre. Leiden, 1935.

52. Reichenbach H. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics. Berkeley, Los Angeles, 1946.

53. Rosser J. B., Turquette A. R. Many-valued Logics. Amsterdam, 1952.

54. Rosser J. B., Turquette A. R. A Note on the Deductive Completeness of M-valued Propositional Calculi // Journal of Symbolic Logic. 1950. Vol. 14, №4.

55. Rosser J. B. Axiomatization of Infinite Valued Logic 11 Logique et Analyse. I960. Т.11-12.

56. Rosser J. B., Turquette A. R. Axiom Schemes for M -valued Propositional Calculi // Journal of Symbolic Logic. 1945. Vol. 10, № 3.

57. Rose A., Rosser J. B. Fragment of Many-valued Statement Calculi I I Transactions of the American Mathematical Society. 1958. Vol. 87.

58. Rutledge I. D. On the Definition of an Infinitely-many-valued Predicate Calculus // Journal of Symbolic Logic. 1960. Vol. 25, № 3.

59. Scarpellini B. Die Nichtaxiomatisdietbarkeit des unendlichwertigen Pradikaten-kalkulus von Lukasiewicz I I Journal of Symbolic Logic. 1962. Vol. 27, № 2.

60. Shtpecki J. Pelny tryjwartosciowy rachunek zdac I I Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydzial III. R. XXIII. Warszawa, 1930.

61. Stupecki J. Pelny tryjwartosciowy rachunek zdac // Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydzial III. R. XXIX. Warszawa, 1936.

62. Shtpecki J. Kryterium pehiosci wielowartosciowych systemyw logiki zdac // Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydzial III R.XXIX. Warezawa, 1936.

63. Shtpecki J. Pelny tryjwartosciowy rachunek zdac 11 Roczniki Llniwersytetu Marii Curie—Skladowskiej. Dzial F. T. 1. Lublin, 1946.

64. Tlirquette A. R. Simplified Axioms for Many-valued Quantification Theory // Journal of Symbolic Logic. 1958. Vol. 23, №2.

65. Turquette A. R. Independent Axioms for Infinite-valued Logic 11 Journal of Symbolic Logic. 1963. Vol. 28, №3.

66. Wajsberg M. Aksiomatyzacja tryjwartosciowego rachunku zdac // Sprawozdania z posiedzec Towarzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydziai III. R. XXIX. Warszawa, 1936.

67 Wajsberg М. Beitrage zum Metaaussagenkalkiil I I Monatsheft fur Mathematik ’ Und Physik. 1935. Bd. 42.

68. Webb D. L. Generation of Any л-valued Logic by One Binary Operator // Proceedings on the National Academy od Sciences. 1935. Vol. 21.

69. Webb D. L. The Algebra od «-valued Logic // Sprawozdania z posiedzec To-warzystwa Naukowego Warszawskiego. Wydziat III. R.XXIX. Warszawa, 1936.

70. Zawirski Z. Uber das Verhaltnis der mehrwertigen logik zur Wahrscheinlichkeit-srechung // Studia philosiphica. 1935. T. 1.

71. Zawirski Z. Geneza i rozwyj logiki intuicjonistycznej I I Kwartalnik Filozoflczny. Krakow, 1946. T.XVL Rz. 2-4.

72. Zinoviev A. A. Philosophical Problems of Many-valued Logic. Dordrecht-Holland, 1964.

Раздел III

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ

В данном очерке излагается то понимание проблемы логического следования и тот способ ее решения, которые были намечены автором [3-5]. Сравнительно с упомянутыми работами здесь дается более краткое и более четкое изложение основной линии темы, опущены второстепенные детали, побочные вопросы и вариации одних и тех же идей, затрудняющие понимание сути дела, сделаны некоторые существенные исправления и дополнения. Проблема логического следования рассматривается здесь лишь на уровне общей теории логического следования.

§ 1. Одна особенность современной логики

Общеизвестно, что большая часть утверждений науки получается путем логического вывода из других утверждений, как логическое следствие последних. Общеизвестно также, что вопрос о том, когда одни утверждения логически следуют (выводятся, получаются по правилам логики, дедуцируются и т. п.) из других, с самого начала научной деятельности людей стал одним из центральных и получил разработку как основной вопрос особой науки — науки логики. И казалось бы, теперь читателя, интересующегося этим вопросом, достаточно отослать к учебникам логики и книгам, дающим более или менее полное и систематическое изложение теории вывода: последняя и дает развернутый ответ на вопрос о том, что такое логическое следование, эксплицирует (делает явным и уточняет) привычное его понимание.

Однако имеется ряд обстоятельств, позволяющих говорить о проблеме логического следования. Эти обстоятельства связаны с особенностями современной логики. Именно успехи современной логики в разработке теории вывода породили проблему логического следования, каким бы парадоксальным ни представлялся этот факт.

Современная логика есть прежде всего и по преимуществу совокупность определенного рода формальных построений (исчислений) и совокупность теоретических положений о правилах их конструирования, об их свойствах и взаимоотношениях. Эти построения допускают различные содержательные интерпретации. Использование их для описания каких-то сторон познавательной деятельности людей есть лишь одна из возможностей, хотя генетически оно и послужило предпосылкой их изобретения. Причем это использование связано с совокупностью довольно сложных абстракций и допущений, предполагает

некоторое предварительное понимание тех или иных познавательных операций. Естественно, встает вопрос о соответствии такого рода понимания этих познавательных операций и формул логических исчислений.

Дело в том, что формальные системы логики суть дедуктивные построения. При создании их первостепенное значение приобретают соображения удобства исследования их свойств, соображения математической простоты, изящества и т. п. Зачастую соображения, связанные с последующей интерпретацией их, вообще не принимаются во внимание. Следствием этого является возможность отрыва теоретических исследований от эмпирически данных фактов и возникновение несоответствий между этими фактами и интерпретированными некоторым образом формулами рассматриваемых построений. Разрешение же вопросов о том, как поступать с такого рода несоответствиями, требует какой-то системы абстракций и допущений, модификации имеющихся формальных построений и конструирования новых.

Но и независимо от указанных несоответствий преобладание дедуктивного метода ведет к существенной перестройке способов абстрагирования сравнительно с таковыми при «описательном» («эмпирикоаналитическом») методе, а значит — и к изменению отношения научных положений и эмпирических фактов. Дедуктивные построения уже нельзя рассматривать как продукт непосредственной абстракции от эмпирически данных фактов. Это, скорее, суть лишь удобные с какой-то точки зрения средства исследования этих фактов. Наконец, вообще невозможно судить о применимости тех или иных формальных построений в исследовании некоторой предметной области, если о ней нет никаких предварительных сведений, если она уже не изучена в какой-то мере на описательном уровне. В современной логике эта сторона дела оказалась сравнительно слабо развитой.

Все сказанное относится к логическому следованию в первую очередь. В самом деле, вполне законно встают следующие вопросы. Какими свойствами обладает логическое следование независимо от того или иного формального построения? Какие свойства данного формального построения позволяют использовать его для экспликации понятия логического следования и определения класса допустимых правил последнего? Каким априорным требованиям должно удовлетворять формальное построение, чтобы получить из него адекватную теорию логического следования? Что нужно добавить к данному формальному построению, чтобы получить теорию логического следования? Эти (и другие, связанные с ними) вопросы не стояли в старой (домате-матической) логике. Они характерны лишь для современной логики. И лишь постольку, поскольку на них еще не даны исчерпывающие и бесспорные ответы, имеет смысл говорить о проблеме логического следования. А в той мере, в какой на них даются конкретные ответы, складывается особое направление логики.

§2. Классическая теория логического следования

Буквами А, В, С, X, Y, Z, А1, А2,..., X1, X2,... будем обозначать высказывания (суждения), употребляемые в обычных и научных языках. Тот факт, что из высказывания А по правилам логики получается (логически следует) высказывание В, будем записывать символом А Ь В. Высказывание А называется посылкой, В — следствием или заключением.

Правила логического следования вырабатываются с таким расчетом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Для современной логики характерно то, что класс этих правил устанавливается посредством тех или иных интерпретация логических исчислений. Так, класс правил логического следования для высказываний, построенных из простых высказываний с помощью знаков «не», «и», «или» ит.п., можно определить посредством классической пропозициональной логики.

Под классической пропозициональной логикой мы здесь имеем в виду следующее:

1) функционально полные двузначные матричные (истинностные) построения — двузначную пропозициональную алгебру; 2) аксиоматические построения (систему гильбертовского типа), дедуктивно эквивалентные двузначной пропозициональной алгебре, и вообще любые формальные системы, дедуктивно эквивалентные классическим аксиоматическим построениям (например, некоторые системы генценовско-го типа), — классические пропозициональные исчисления.

Проблема логического следования в ее специфической для современной логики форме и возникла в связи с интерпретацией классической пропозициональной логики в качестве общей теории дедукции.

Упомянутая выше интерпретация состоит в следующем:

1) пропозициональные формулы рассматриваются как высказывания;

2) знаки конъюнкции (■), нестрогой дизъюнкции (V) и отрицания (~) рассматриваются соответственно как «и», «или» (неисключающее) и «не»;

3) значения пропозициональных формул рассматриваются как истинность и ложность высказываний.

При такой интерпретации обнаруживается следующее свойство знака материальной импликации (Э): если А э В истинно и А истинно, то В истинно. Оно позволяет рассматривать этот знак как знак логического следования. В результате, тавтологии двузначной алгебры и доказуемые формулы классического исчисления, содержащие знак материальной импликации, получают интерпретацию как правила логического следования. Классическая пропозициональная логика здесь рассматривается как общая теория логического следования (вывода, дедукции). Эта концепция была высказана Расселом и Уайтхедом в «Principia Mathematica».

§3. Льюисовское направление

Льюису принадлежит также первое в современной логике решение поставленной им проблемы. Он построил для этой цели ряд логических систем Sl - S5, получивших название систем строгой импликации [35]. После Льюиса модальные понятия стали вводить как производные (см., например, [10], [46]).

«Парадоксы» материальной импликации можно исключить путем такой интерпретации классической логики: если a D 6 есть тавтология или доказуемая формула классической логики, то а Ь 6 (Карнап [6], [25]). При этом в формуле только один знак материальной импликации интерпретируется как знак логического следования, и утверждение типа а Ь (6 D а) и ~ а Ь (а D 6) не ведут к «парадоксам». Но здесь получаются «парадоксы», подобные «парадоксам» строгой импликации.

Имеется значительная литература, в которой рассматриваются льюисовская система или предлагается другое решение породивших их проблем. Большая часть ее посвящена чисто формальным проблемам. Это, например, работы [16], [18], [22], [23], [30], [31], [37-41], [45], [46]. В работах такого рода льюисовские и другие подобные им логические системы принимаются как свершившийся факт и исследуются сами по себе. Породившие их причины (т. е. проблема логического следования) вообще не рассматриваются. Если предлагаются какие-то модификации этих систем, то последние сами (а не проблема логического следования) образуют предмет внимания и его отправной пункт. Другая часть упомянутой литературы связана с обсуждением самой проблемы логического следования. Это, например, работы [14], [15], [19], [26-29], [42-44], [47], [49]. В нашу задачу не входит обзор и анализ этих работ. Ограничимся лишь несколькими краткими замечаниями, которые достаточны (на наш взгляд) для первичной характеристики существа интересующего нас здесь направления в логике.

Одной из самых ранних логических систем, претендующих на роль общей теории дедукции и отличных от классической логики, является мало известная в логике система Орлова [8]. Сказать о ней здесь интересно потому, что в ней отчетливо выражено само направление поисков решения проблемы логического следования и возможные здесь вариации.

Понятие материальной импликации, утверждает Орлов, шире понятия логического следования. Выражение a —* Ь («Из а следует 6») обладает свойствами материальной импликации и еще тем свойством, что а и Ь связаны по смыслу, а невозможно без b (как у Льюиса), а предполагает Ь, Ь есть условие истинности а и т. п. Вводится понятие совместности: а и b совместны, если из а (или из b) не следует отрицание b (соответственно а), т. е. a- b — Df- ~ (а —»~ 6). Для возможности дедуктивного вывода, считает Орлов, требование истинности посылок чрезмерно. Достаточно более слабого требования совместности посылок. Исходя из этой предпосылки, Орлов считает «парадоксальными» не только формулы, ведущие к «парадоксам» материальной и строгой импликации, но также и формулы а • 6 —» а, а а V 6, ~а (а • 6).

Существенное место в литературе по проблеме логического следования занимает система сильной импликации Аккермана [10], [11]. Сильная импликация a -» b читается как «6 есть часть содержания а». Модальные понятия, в отличие от Льюиса, вводятся как производные. Система Аккермана обладает следующими свойствами (см. [23, 25]):

1) если в формуле a —»(6 —> с) знак импликации отсутствует в а, то эта формула недоказуема;

2) если в формуле a —> b формулы а и Ъ таковы, что в них нет одинаковых переменных, то эта формула недоказуема.

Отсюда следует, что формулы a —» (b —> a), ~ a —> (a -» b), a ■ ~ a —> b, ~ (a V ~ a) -» 6, a -» 6 V ~ 6, a —> ~ (6 - ~ Ь) недоказуемы. А значит, «парадоксы», подобные «парадоксам» материальной и строгой импликаций, при интерпретации системы Аккермана в качестве теории логического следования получиться не могут.

«Парадоксы» строгой импликации можно исключить также путем следующего дополнения к интерпретации тавтологий и доказуемых формул классической логики: если a D b есть тавтология или доказуемая формула классической логики и при этом в а и в Ь входит по крайней мере одна одинаковая переменная, то abb. При такой интерпретации исключаются утверждения А • ~ А 1- В, А (В ■ ~ В) ~ (А V ~ А) 1- В, А Ь В V ~~ В. Но этот путь не делает излишними системы типа систем Льюиса и Аккермана, поскольку класс «непарадоксальных» формул здесь остается неопределенным сам по себе.

Система Аккермана не воспринимается в логике как окончательное решение проблемы логического следования. Она подвергается критике, например, в работах Андерсона, Белнапа и других авторов [3], [13-15], [19], [26]. Эта критика интересна тем, что касается самого содержания проблем. В упомянутых работах построены различные варианты логических систем, несколько отличных от системы Аккермана. Побудительным мотивом к такой перестройке системы Аккермана здесь послужило то, что правила 3 и 4 последней представляются сомнительными: правилам 1 и 2 соответствуют доказуемые формулы a(a-»b)-»bHab-»ab, тогда как формулы ~ а-(аVb) -» Ъ и ((а —»(6 -» с)) ■ Ъ) -* (а -» с) недоказуемы.

В работе [13] Андерсон формулирует систему утверждений, которую можно рассматривать (в нашей терминологии) как описание интуитивного понимания логического следования. Ранее сформулированная система сильной импликации адекватна ей. Теперь можно дать следующую экспликацию понятия логического следования: из a логически следует 6 («6 зависит от логического содержания a»), если и только если a -» b доказуема в упомянутой логической системе. Но это определение представляется слишком узким: в системе сильной импликации Андерсона (и Аккермана) оказываются недоказуемыми некоторые формулы, которые не являются «парадоксальными» (например, приводившаяся выше формула ~ a • (а V 6) -» b). Таким образом, прогресс в одном отношении (исключение «парадоксальных» формул) оказался регрессом в другом (исключение «непарадоксальных» формул), и проблема логического следования встает снова, только уже в несколько иной и более сложной форме.

§ 4. Новая постановка проблемы

Многие авторы предлагали то или иное решение проблемы логического следования. Так, мы уже говорили, что в работе Андерсона [13] сформулирована система утверждений Е‘, которой соответствует логическая система Е, формализующая логическое следований. Но здесь система Е* построена не как результат непредубежденного анализа логического следования (независимо от системы Е), а как оправдание готовой системы Е, полученной из других источников. Система Е получена не как продолжение анализа некоторого интуитивного понимания логического следования, а как результат реализации намерения несколько модифицировать систему Аккермана. Одно то обстоятельство, что системы Е* и Е эквивалентны, заставляет рассматривать Е* лишь как ретроспективную перифразировку Е. В результате предварительного анализа логического следования, о котором здесь идет речь, может быть получена лишь некоторая система общих требований к будущей логической системе, определяющей класс правил логического следования. В соответствии с ними должна быть построена или выбрана эта логическая система, но сами они никак не должны входить в содержание последней (в число ее формул). Если же при этом будут сформулированы какие-то правила логического следования, не вызывающие сомнений с точки зрения интуиции, то это будет лишь некоторое конечное множество правил, а отнюдь не класс всех возможных правил, который бесконечен. Так что ни о какой эквивалентности результатов предварительного анализа логического следования и некоторой формальной системы и речи быть не может (иначе последняя вообще излишня). Здесь речь идет о соответствии лишь в том смысле, что формальная система обладает или нет некоторыми свойствами, удовлетворяющими или не удовлетворяющими указанным выше требованиям. Так что систему Е* еще нельзя безоговорочно понимать как пример уточнения интуитивных предпосылок для построения теории логического следования.

В работе Белнапа [19] формулируется некоторая сумма утверждений, которым должно соответствовать понятие логического следования. Она отображает лишь то, что уже сделано: из истинных посылок должны получаться истинные следствия; если следствие ложно, то ложна посылка; понятия материальной и строгой импликации шире понятия логического следования; если формулы а и b не содержат одинаковых переменных, то a —» Ь не может быть доказуемой в логической системе, формализующей следование и т. д. Все это, конечно, важно. И работы Андерсона и Белнапа можно считать шагом вперед по сравнению с Льюисом и Аккерманом. Но это не решает сформулированных выше проблем.

Надо сказать, что вопрос о логическом следовании так или иначе обсуждается в многочисленных рабочих и независимо от той формы проблемы логического следования, какую ей придали Льюис и другие идущие в этом же направлении логики (Аккерман, Андерсон, Белнап и т. д.). Но они не только не устраняют указанные выше трудности, но даже не акцентируют на них внимание или вообще игнорируют.

Теснейшим образом с проблемой логического следования связаны работы, посвященные взаимоотношению условных высказываний и материальной импликации. Мы их рассматривать здесь не будем, поскольку проблема логического следования затрагивается в них неявно. Дело в том, что условные высказывания используются не только в случае логического следования, но также в случае фиксирования эмпирических связей («физическое следование»), энтимем, определений. И чтобы различить эти употребления и выделить условные высказывания, выражающие логическое следование, необходимо выяснить, что такое... логическое следование.

В дальнейшем мы изложим подход к проблеме логического следования, который нам представляется более соответствующим сути дела.

§5. Смысл высказываний

Высказывания (суждения) суть воспринимаемые суждения, представляющие собою определенным образом упорядоченные структуры терминов (субъектов и предикатов) и логических знаков («и», «или», «все», «если..., то...» и т.п.). Высказывание будем считать элементарным, если оно не содержит в качестве своей части другое высказывание, и сложным, если такая часть в нем имеется. Другими словами, элементарные высказывания расчленяются только на термины и логические знаки, сложные — на высказывания (в конечном счете — элементарные) и логические знаки.

Поясним выражение «смысл высказывания». Будем считать, что известен смысл элементарного высказывания, если и только если известен смысл всех образующих его терминов и логических знаков, и известен смысл сложного высказывания, если и только если известен смысл всех образующих его высказываний и логических знаков. При этом мы допускаем, что высказывание построено в соответствии с нормами того или иного языка. Выражение «смысл термина» мы здесь считаем понятным. Выражение «смысл логического знака» для логических знаков, рассматриваемых в общей теории дедукции, поясним ниже. Термины и элементарные высказывания, входящие в данное высказывание, будем называть собственными единицами его смысла. Поскольку нас интересует лишь общая теория дедукции, в которой элементарные высказывания не расчленяются на части, то в качестве собственных единиц смысла высказываний будут иметься в виду исключительно элементарные высказывания.

Между высказываниями могут иметь место различного рода смысловые отношения. Их можно разбить на две группы:

1) знание смысла одного высказывания зависит или не зависит от знания смысла другого высказывания;

2) множества собственных единиц смысла двух высказываний не совпадают совсем (не имеют одинаковых элементов), перекрещиваются (имеют по крайней мере один одинаковый элемент), одно включается в другое, полностью^ совпадают.

Смысл логических знаков вообще не зависит от смысла тех или иных конкретных терминов и высказываний. Так что зависимость, о которой сказано в первом пункте, может иметь место только для терминов. Поскольку мы здесь допускаем, что смысл элементарных высказываний известен или безразличен, то смысловые отношения такого рода здесь вообще отпадают. Остаются лишь отношения второго рода. И когда в соответствующих работах по проблеме логического следования употребляют выражение «связь по смыслу» (или нечто адекватное ему), то это туманное выражение может означать лишь смысловое отношение второго рода [10], [19].

Среди этих смысловых отношений, с нашей точки зрения, интересны такие два случая, когда «имеется связь по смыслу»: 1) в высказывания А и В входят по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание X (т. е. множества собственных единиц смысла А и В имеют по крайней мере один одинаковый элемент X); 2) в высказывание В не входит такое элементарное высказывание, которое не входит в А (т. е. множество собственных единиц смысла В включается в множество собственных единиц смысла А).

В зависимости от того, какое требование будет предъявлено к посылкам и следствиям с этой точки зрения, получим разные понимания логического следования. Если А есть посылка, а В есть следствие, и при этом выполняется второе отношение, будем говорить, что имеется логическое следование в узком смысле слова (или узкое следование). Оно рассматривалось в работах [3-5]. Если же выполняется первое отношение, то будем говорить, что имеет место расширенное следование. Можно употреблять также термины «сильное следование» и «слабое следование», но избегая при этом каких-либо ассоциаций с рассмотренными выше импликациями. Так, сильная импликация Аккермана и Андерсона является расширенной (и слабой) в нашем смысле. В литературе по проблеме логического следования обычно эти виды следования не различают и рассматривают только расширенное следование (за исключением [3-5]). Причины этого — формальные удобства знака нестрогой дизъюнкции, благодаря которым построение логических систем с этим знаком приобрело прочность предрассудка; а для нестрогой дизъюнкции принимается: А имплицирует «А или В».

§6. Значения истинности

Высказывание считается истинным, если положение на самом деле таково, как в нем говорится, и не считается истинным, если положение на самом деле не таково, как в нем говорится. Другими словами, высказывание «А» истинно, если и только если А (в первом случае кавычки означают, что высказывание взято как определенный воспринимаемый предмет, и только; во втором же случае оно употребляется, т. е. берется как информация о чем-то).

В рамках общей теории дедукции принимается следующее:

1) каким путем выясняется, что то или иное элементарное высказывание является и не является истинным, здесь роли не играет;

2) рассматриваются только такие сложные высказывания, значения истинности которых (т. е. истинны они или неистинны) зависят исключительно от значений истинности элементарных высказываний и логических знаков, входящих в них; рассматриваются сложные высказывания, являющиеся функциями истинности элементарных.

Указанная во втором пункте зависимость может иметь место лишь при том условии, если термины «истинно» и «неистинно» («не является истинным») предварительно определены для соответствующих структур высказываний. Такие определения можно получить для структур со знаками V, D и т. п., рассматривая переменные двузначной пропозициональной логики как элементарные высказывания, формулы — как высказывания, построенные из элементарных высказываний и этих знаков, v — как «истинно», / — «неистинно». Мы не употребляем термин «ложно», поскольку он стал двусмысленным в связи с признанием многозначности высказываний (см. [5]).

Между высказываниями могут иметь место различные отношения с точки зрения значений истинности. Им придают большую (нередко — главную) роль при определении логического следования. При этом логическое следование определяют так: если всегда, когда истинно А, истинно и В, то из Л следует В (если условия истинности А суть условия истинности В, то из Л следует В). Но это определение не конструктивно в том смысле, что не определяет класс случаев, когда это имеет место. В качестве определения класса случаев логического следования одних высказываний из других указывают тавтологии двузначной пропозициональной логики (и, соответственно, доказуемые формулы классической пропозициональной логики (вида a D Ъ, см.: [6], [31]).

Однако здесь нет полного совпадения (независимо от «парадоксов» материальной и строгой импликации). Так, в a D 6 V ~ 6 условия истинности левой части (антецедента) не являются условиями истинности правой (консеквента): в первой формуле для истинности b V ~ b требуется истинность b или ~ Ь, а для истинности а это не требуется.

Выражение «условие истинности» употребляется здесь в следующем смысле. Указать условие истинности А — значит указать, какие значения истинности должны иметь входящие в него элементарные высказывания, чтобы А было истинно.

Логическое следование В из А должно, очевидно, удовлетворять требованию, чтобы все условия истинности А были условиями истинности В. Это — не определение логического следования, но лишь указание на одно его необходимое свойство (зависимость посылок и следствий по значениям истинности). Имеет место связь между отношениями по смыслу и по значениям истинности:

1) если множества собственных единиц смысла Л и В не перекрещиваются (не имеют одинаковых элементов), то возможно, что не веб условия истинности одного из них суть условия истинности другого;

2) если А и В зависят друг от друга по значениям истинности в указанном выше смысле, то множества собственных единиц их смысла имеют по крайней мере один одинаковый элемент; но не всегда наоборот.

§ 7. Вывод и значения истинности высказываний

Вывод есть действие, которое внешне можно описать так:

1) даны А',... ,Ап (п 1); даны как особые воспринимаемые (видимые, слышимые и т. п.) предметы, т. е. написаны, произнесены и т. п.; они суть исходный материал для акта вывода;

2) эти высказывания анализируются — фиксируется их структура; другими словами, выясняется, какие термины, высказывания и логические знаки входят в них и как расположены друг относительно друга; для осуществления акта вывода структура данных высказываний предполагается данной;

3) в зависимости от структуры данных высказываний и других обстоятельств (контекст, цель, условия ит.п.), которые здесь не играют роли, вслед за созданием (или выбором) и восприятием высказываний А',...,Ап создается (пишется, произносится и т. п.) высказывание В;

4) имеются правила (или навыки), позволяющие сделать то, что указано в пункте 3.

Акт вывода сам по себе дает лишь утверждение «Из А[,...,Ап выводится В», и ничего более. Но он включен как элемент в более сложный комплекс действий: высказывания А\ ... ,Ап все утверждаются (принимаются, считаются истинными); совершается акт вывода В, и последнее точно так же утверждается.

Правила логического следования и вырабатываются с таким расчетом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Когда они уже выработаны, отношение переворачивается, и приобретает силу положение (основной принцип дедукции): если А I- В и при этом А истинно, то В истинно. Это свойство логического следования позволяет принимать следствия истинных посылок и этим его роль полностью исчерпывается. В число самих правил логического следования фиксирующее его утверждение, очевидно, не входит. Поэтому в логической системе, формализующей логическое следование, в числе доказуемых формул не должны быть формулы, подобные формулам a ■ (a —» b) -» b, a • (a -< b) -< b, a ■ (a D b) Э b и т. п. и интерпретируемые как a ■ (a !- b) I- b. Они не устраняют необходимости основного принципа дедукции и излишни при наличии последнего. Так, чтобы по такому правилу получить В и признать его истинным, необходимо признать истинными А и A I- В; но уже одного этого и без признания А ■ (Л I- В) F В достаточно для принятия В.

Сказанное выше не следует понимать так, будто истинность тех или иных высказываний имеет значение при выработке самих навыков и правил вывода. Значение при этом имеет не истинность высказываний, а знание условий истинности высказываний определенного типа (с определенной логической структурой), — знание того, что нужно для принятия (утверждения) такого типа высказываний.

Из этого получается важный вывод: определение условий истинности высказываний со структурой того или иного типа есть необходимый элемент теории логического следования, а не просто одно из средств ее построения. В общей же теории логического следования определение условий истинности высказываний со знаками V, I и т. п. имеет самостоятельное значение как ее часть, а не есть просто подсобное эвристическое средство или нечто дублирующее пропозициональные исчисления.

§ 8. Структура посылок и следствий

Как уже говорилось, в общей теории дедукции элементарные высказывания берутся как нечто нерасчленяемое на части, а сложные высказывания берутся лишь такие, которые суть функции истинности элементарных. Отсюда вытекает важное следствие: в структуре посылок и следствий в рамках общей теории дедукции не могут фигурировать высказывания типа А )- В («Из А следует В»).

Дело в том, что высказываний A F В есть элементарное высказывание с двухместным предикатом «Из первого высказывания следует второе» и субъектами «Высказывание А» и «Высказывание В». Рассматривать его как высказывание, состоящее из высказываний А и В, ошибочно: в нем дается информация не о тех предметах, о которых говорится в А и В, а об отношении самих А и В как особых предметов. Как принято говорить, оно есть метавысказывание по отношению к А и В, т. е. высказывание о высказываниях. Так что его в общей теории дедукции следует рассматривать как частный случай элементарных высказываний.

Кроме того, это высказывание не есть функция истинности А и В. Зная их значения истинности, мы лишь в одном единственном случае можем из этого заключить о значении истинности «А I- В»: если истинно А и неистинно В, то неистинно «А I- В». Во всех остальных случаях мы не можем сделать вывода о его значении истинности: А и В могут быть оба истинными, а «А I- В» — нет; А, В и «А I- В» могут быть все истинными; аналогично для прочих случаев.

Таким образом, доказуемые формулы логической системы, создаваемой для определения класса правил логического следования на уровне общей теории логического следования, должны иметь вид a F b ()- принят в качестве знака следования), где в а и & входят только пропозициональные переменные и знаки функций истинности V и т. п. Если некоторая данная логическая система интерпретируется как общая теория логического следования, то лишь один знак в ее доказуемых формулах может рассматриваться как знак следования. И если в таких формулах знак, интерпретируемый как знак следования, встречается более одного раза, то прочие его вхождения должны получить какую-то иную интерпретацию. В работах же Льюиса, Аккермана, Белнапа, Андерсона и других это обстоятельство игнорируется, и в числе доказуемых формул фигурируют формулы вида a (а -< Ь) -< Ь, (а -< Ь) ■ (Ъ -< с) -< (а ~< с), (а -+ i) -> ((& -» с) -» (а -» с)), (а -»&)-» (~ Ь —а) и т. п. без дифференциации «уровней» импликаций.

Высказывание «А h В» истинно, если и только если А\~ В. Если A I- В, то условия истинности А суть условия истинности В. Это не дает права рассматривать «А F В» как функцию истинности А и В, но дает возможность использовать общую теорию логического следования для рассмотрения правил для высказываний типа «A F В». В частности, можно установить, что все условия истинности «А F В» суть условия истинности В 1-~ А»: аналогично — для пар «А F В» - «С F В» и «AvC F В», «А F В» - «А F С» и «А I- В С» и т.д. Но не все условия истинности А являются условиями истинности «В I- А» и А I- В».

§ 9. Логические знаки

Приняв для логического следования требование «Если А I- В, то условия истинности А суть условия истинности В», мы еще не определяем класс правил логического следования. Возникает, естественно, вопрос: откуда эти правила берутся и что они из себя представляют? Открываются ли они в окружающей человека природе подобно тому, как открываются законы физики, биологии и т. п.? Ничего подобного. Они изобретаются людьми вместе с изобретением логических знаков, входящих в структуру высказываний. Одни высказывания следуют из других в силу того, что таковы логические знаки, входящие в их структуру (потому что эти логические знаки были изобретены именно такими; потому что таков смысл логических знаков). Сила законов логики — сила наших собственных соглашений относительно смысла логических знаков. И только потому, что исторически они складывались неявно и стихийно, а каждому отдельному индивиду навязывались как нечто независящее от его воли, они воспринимались как нечто подобное законам природы.

Надо различать:

1) установление смысла (введение, изобретение) логических знаков в истории человечества, когда этот процесс протекал стихийно, неявно и т. п.;

2) установление смысла логических знаков в логике.

Во втором случае особого рода специалисты-логики не просто пассивно описывают исторически сложившиеся в языке положения, но по необходимости продолжают изобретательскую деятельность человечества: выявляют смысл знаков в неявных случаях, устраняют многозначность, устанавливают отношения различных знаков. Они усовершенствуют то, что имеется. И, что особенно характерно для современной логики, предлагают нечто новое: таковы многочисленные логические системы современной логики.

Таким образом, «парадоксы» логического следования возникают не потому, что есть какие-то природные формы логического следования, которые специалисты логики никак не могут описать достаточно точно, а прежде всего потому, что в современной логике изобретаются логические формы, отличающиеся от тех, которые уже встречаются в обиходе. Здесь несоответствие такого же рода, как несоответствие между дикими видами яблони и теми их видами, которые выведены человеком путем искусственного отбора и вообще посредством каких-то других приемов их усовершенствования.

Одна из черт стихийной выработки правил логического следования — отсутствие дифференциации различных логических форм. Вторая причина «парадоксов» логического следования — отсутствие подобной дифференциации в самой логике, претендующей на экспликацию правил логического следования: логическая система, удовлетворяющая свойствам одной его формы, не удовлетворяет другой, а смешение этих форм порождает иллюзию «парадоксальности» этой системы вообще.

Соглашения о смысле логических знаков не являются абсолютно произвольными. Они вырабатываются в определенных рамках. Рамки эти таковы. Во-первых, имеются такие логические знаки и такие случаи их употребления (такие структуры высказываний с этими знаками), что смысл этих логических знаков и, следовательно, смысл содержащих их высказываний в случае такого рода ясен без отношения к другим высказываниям вообще (и без логического следования в частности). Экспликацией их смысла является точное определение условий истинности соответствующих высказываний. Назовем такие случаи основными. Во-вторых, для всех прочих логических знаков и всех прочих случаев употребления логических знаков (назовем их производными) смысл логических знаков и содержащих их высказываний сводится к смыслу логических знаков в основных случаях их употребления посредством особых правил; последние и определяют прежде всего, каким образом условия истинности высказываний в производных случаях сводятся к условиям истинности высказываний в основных случаях. Основными случаями могут быть нормальные формы (например, дизъюнкции конъюнкций).

§ 10. Различные формы логического следования

Суммируя сказанное выше, отношения А и В могут удовлетворять следующим требованиям (принципам):

(I) все условия истинности А суть условия истинности В;

(II) в Л и в В входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание;

(III) в В входят только такие элементарные высказывания, которые входят в А.

Отношение I выполняется для всех форм следования. Что касается прочих отношений, то здесь возможны различные комбинации, — различные формы следования. И ни одна из этих форм сама по себе не лучше и не хуже других. Просто они суть различные формы следования. И в природе нигде нет никакого «подлинного» следования, с которым можно было бы их сравнивать. Другое дело, какие-то из них чаще употребляются, чем другие. Но это ничего не говорит об их «правильности», «непарадоксальности», «неправильности», «парадоксальности» и т. п. Проблема «логического следования», таким образом, принимает такой вид: можно ли построить логические системы, адекватные этим формам следования?

Возможны следующие формы логического следования:

1) выполняется I;

2) выполняется I и II;

3) выполняется I и III.

При построении теории следования, полной относительно I (в которой были бы схвачены все случаи, удовлетворяющие I), обнаруживается следующее. Формулы

a >- aVb, abvaci-a-(bvc) и ~ a • (a v i>) I- i> удовлетворяют I. Если принять утверждение «Если a Ь и Ъ с, то a I- с», то получим формулу ~ a ■ a !- b, которая считается «парадоксальной». Таким образом, невозможно построить логическую теорию, полную относительно I и удовлетворяющую II (и тем более III). Более того, невозможно построить теорию следования, которая охватывала бы все формулы, удовлетворяющие обоим требованиям I и II. Вопрос же о том, возможна или нет теория следования, которая охватывает все формулы, удовлетворяющие обоим требованиям I и III, является чисто «техническим».

§11. Определение логических знаков

В общей теории дедукции рассматриваются только такие посылки и следствия, которые построены из элементарных высказываний и знаков «не», «и» и «или». Сами элементарные высказывания включаются, очевидно, в их число. Задача этой теории — осуществить экспликацию смысла этих знаков, построить их точные определения.

Особенность логических знаков состоит в том, что их невозможно определить сами по себе, изолированно от терминов и высказываний. Определить эти знаки — значит определить свойства высказываний, содержащих их. Для этой цели необходимо отвлечься от конкретного вида элементарных высказываний, заменив их знаками любых элементарных высказываний. Эту роль в логике выполняют пропозициональные переменные и формулы. В дальнейшем мы и будем знаки переменных и формул употреблять как знаки любых элементарных высказываний и любых высказываний, построенных из элементарных. При этом:

1) каждая буква х,у, z,..., a,b, с,... по отдельности обозначает любое высказывание (соответствующего типа);

2) если две различные буквы встречаются в одном выражении (в одном как-то локализованном контексте), то различие их обозначает лишь то, что высказывания могут быть различными.

Теперь выражения вида a I- b выступают как утверждения логики о свойствах логических знаков, входящих в а и Ь. Эти утверждения буквально суть соглашения о смысле логических знаков. И тот факт, чтр эти соглашения могут соответствовать соглашениям, которые стихийно сложились в практике оперирования языком, не отмечает этого обстоятельства. Если же подобного совпадения нет, то эти логические знаки можно рассматривать как вновь введенные знаки, отличные от привычных знаков языка. Утверждения же А I- В теперь можно рассматривать как следствия утверждений логики, точнее — как результат подстановки на место знаков любых элементарных высказываний конкретных высказываний (постоянных). Вопрос о том, когда имеет место А В, решается теперь так: А\- В, если и только если a I- b. Но встает вопрос о том, как конкретно вводятся утверждения a I- Ь.

Для знаков «и» и «не» примем обозначения:

1) ~а — «Не-а», «Не так, как утверждается в а»;

2) a ■ b — «а и &»; а1 • а2 ■ ап — «а1 и а2 и ... и ап», «Каждое из а и & (из а1, а2,..., a")». Знак «или» употребляется в трех различных смыслах:

а) (га 2) исключают друг друга;

б) по крайней мере одно из а',..., ап имеет место;

в) одно и только одно из а .... а" имеет место.

В первом случае имеет место исключающее «или», во втором — неис-ключающее (соединительное), в третьем — полное (будем так говорить). Будем обозначать их символами соответственно:

3) а |Ь, а1 | а21 ... | а”;

4) avb, a' Va2 V... Va";

5) a : b, a1 : a2 :...: an.

При определении логических знаков необходимо соединение двух направлений, можно сказать — направления смысла и направления условий истинности. В первом направлении осуществляется следующее:

1) указываются некоторые основные случаи высказываний, смысл которых считается ясным или находящимся вне компетенции данного раздела логики, в общем — считается данным;

2) смысл прочих случаев определяется через эти основные посредством выражений вида «а тождественно по смыслу Ь» или а = Df- Ъ;

3) рассматриваются отношения различных случаев по смыслу.

Так, смысл элементарных высказываний считается данным. Для элементарных высказываний отрицание должно быть определено через «внутреннее» отрицание (через отрицание логического знака, входящего в него; см. об этом [5]). Но в общей теории дедукции это не рассматривается, и смысл отрицания элементарного высказывания точно так же считается данным. Если смысл структур

х - у, х : у, х' ■ х2 ■... - хп и х} : х2 :... : хп

ясен (дан), то теперь можно определить смысл других структур:

~(ху) = Df- (ух-у) : (ж~у) : (~ж~у),

~(x:y) = Df-(х-у): (~а>~у),

xVy = Df-(x-y):(~x-y): (х-~у),

(x:y)-z = Df-(xz):(y-z), ~(~х) = Df-x

и т. д. Суть этих определений — переместить знак отрицания к элементарных высказываниям и свести любую структуру к основным случаям, смысл которых ясен. Помимо указанных знаков, такими определениями могут быть введены и другие знаки, например

х D у = Df-(ж • у) : (~ж ■ у): (~ж- ~г/).

Но тождество а и b по смыслу дает право замещать одно выражение другим в любом контексте без изменения смысла последнего, так что утверждение вида a — Df - b можно заменить парой утверждений a F b иbFa.

Выше мы сказали «Если смысл структур... ясен». Но он как-то должен быть установлен. Определениями типа a — Df - b воспользоваться нельзя, ибо дальше сводить некуда. Необходимы, очевидно, разъяснения иного рода. Последние могут варьироваться. Но суть их отчасти эксплицируется утверждениями

a - bFa, abhba, a : b F b : a,

a- b ■ cF a- (b- c), (a :6)-aF~b

и т. д., которые буквально означают следующее: знаки - и : таковы, что... (перечисляются эти утверждения); знаки эти именно такими изобретаются. Обращаем внимание на то, что здесь логические знаки определяются не в одиночку, а совместно, и определяются комплексом утверждений.

Линия смысла должна быть согласована с линией условий истинности. В последнем случае осуществляется следующее:

1) для некоторых основных случаев определяются условия истинности;

2) эти определения распространяются на все прочие случаи;

3) рассматриваются случаи, когда условия истинности одних высказываний суть условия истинности других.

Так, для ~ х, х ■ у, х : у, ж1 ■ ж2 ■ ... ■ ж" и ж' : ж2 : ... : ж” принимаются определения:

1) ~ж истинно, если и только если ж неистинно;

2) ж' ■... ■ж" (п 2) истинно, если и только если все ж1,..., ж” истинны;

3) ж1 :... : ж" (п 2) истинно, если и только если одно и только одно из ж1,..., ж” истинно.

Условия истинности всех прочих структур высказываний со знаками • и : выясняются в несколько шагов по тем же определениям в соответствии с принципом: если а получается из b путем замены ж везде, где ж входит в Ь, формулой (высказыванием) с, то условия истинности а и b совпадают (одинаковы), — а и b равнозначны. В соответствии с определениями выясняется, что имеют силу утверждения «Условия истинности a - b суть условия истинности а», «Условия истинности a - b суть условия истинности Ь» и прочие утверждения, соответствующие тем, которые сформулированы выше.

§12. Вырожденные случаи

Правила логического следования не исчерпывают полностью смысла знаков ~ V и т. д. Дело в том, что часть определения их составляют также утверждения типа ~ (а - ~ а), ~ (а : а), ~ a V а, ~ (а • ~ a ■ Ь) и т. д. (а по линии условий истинности — признание их всегда истинными), которые не содержат знак логического следования. Они именно суть часть определения смысла логических знаков, а не отражение каких-то «общих свойств вещей», как иногда говорят. Очевидно, отрицания таких высказываний суть всегда отрицаемые (всегда ложные) высказывания. Их можно рассматривать как вырожденные случаи следования:

1) если a всегда истинно, то имеет место случай с пустой посылкой, т. е. I- a;

2) если ~ а всегда истинно, то имеет место случай с пустым следствием, т. е. а К

Двузначная пропозициональная логика и адекватное ей классическое пропозициональное исчисление дают определение класса таких высказываний. И в этой их интерпретации они выступают лишь как часть теории логического следования (если рассмотрение вырожденных случаев включить в нее) или как особый раздел логики, отличный от нее.

Требования к логическому следованию можно ослабить, приняв утверждения:

1) если I- а, то Ь а;

2) если а 1~, то а I- Ь. Очевидно, такое следование не будет отвечать требованию II (и III).

§ 13. Теория логического следования

Результатом экспликации употребляемых логических знаков и введения новых является некоторая конечная система различного рода утверждений. Эта система должна быть достаточной для осмысленного оперирования логическими знаками во всех возможных случаях их употребления. Она образует основание для общей теории логического следования. Но здесь возможны вариации. Они касаются отбора логических знаков, разделения их на основные и производные, отбора определяющих их утверждений и вообще отбора принимаемых утверждений, а также формулировок общих требований к ним.

Мы примем следующую систему утверждений в качестве основания для общей теории логического следования. В качестве основных логических знаков возьмем •,Прочие знаки определяются через них:

1) XV у — Df-

2) ж1 V х2 V ... V хп = Df- ~ (~х1 ■ ~ х2 ■... - ~ хп);

3) х \ у = Df - ~ х V ~ у;

4) х' | х2 | ... | хп = Df - ~ х1 V ~ х2 V ... V ~ ж";

5) x3y = Df- ~ (ж- ~ у)

и т.д. (если потребуются другие сокращения).

Знак определения будем заменять знаком следования по схеме: если a = DF -b, тоа)-&и&)-а. Так что введение производных логических знаков можно рассматривать как введение дополнительных правил логического следования. Аналогично — для определения одних структур высказываний через другие. Условимся для сокращения использовать знак —11— в следующем смысле: a НI- Ь, если и только если a I- b и b I- а.

Примем следующие утверждения Z°, определяющие смысл основных логических знаков и осуществляющие первоначальную экспликацию интуитивного понимания логического следования в узком (или сильном) смысле:

1) a I- a;

2) a Ч a;

3) a - bh a;

4) a ■ b I- ft;

5) a ■ b I- b - a;

6) a1 • a2 •... • a" I- a’ (i = 1,2,..., ra);

7) a' ■ a2 ■... ■ an }- a' ■... - ak (k = 1, 2,..., ra);

8) a1 • a2 ■ ... • a" I- a\ - a2 • ... - an, где следствие отличается от посылки лишь иной расстановкой высказываний a,\,... ,an;

9) ~ (а • b) НI- (а • ~ Ь): (~ а • Ь): (~ а • ~ &);

10) ~ (a1 -a2-... а") Н I- &' где суть всевозможные

высказывания, отличающиеся от a' a2 ... - a" только наличием ~ по крайней мере перед одним из а1, а2,..., а";

11) a.bhb:a;

12) а1 : a2 :... : a" >- a, : a2:... : an;

13) a : b HI- (a ■ ~ b) : (~ a ■ b);

14) a1 : a2 :... : a" 41- &' :...: ft", где ft” суть всевозможные высказывания, отличающиеся от a' -a2-... a" наличием ~ перед всеми a', a2,..., a", кроме одного;

15) (а : 6) ■ а I—Ь;

16) (а1 : а2 : ... : ап) - а1 1-~ а2 •... • ~ап;

17) (а1 : а2 : : а") • (а1 : ...: а*) а,+1 •... ~аЛ;

18) (а1 : а2:: а") • (а1 :: а”-1) Н~ап;

19) (а : Ь) ■ ~ а F- Ь;

20) (а1 : а2 :... : ап) • ~а1 I- а2 :... : ап;

21) (а1 : а2:: а") • ~а’ •... • ~а‘ I- а,+1 : ... : a";

22) (а1 : а2 :: а”) • ~а' •... •~ап-1 Ь ап;

23) ~(а:6)Ч1-(а-&):(~а-~&);

24) ~ (а1 : а2:... : ап) ЧI- Ь{ где ,... ,bk есть множество

высказываний, в которое включается высказывание а1 • а2 • ... ■ ап и всевозможные высказывания, отличающиеся от него наличием ~ перед всеми а1, а2,..., а” или перед i (1 г п — 2) из них (т. е. ~ отсутствует по крайней мере перед двумя из них или имеется перед всеми;

25) (а : Ь) • с ЧI- (а • с): (Ь - с);

26) (а1 : а2 :...: ап) • Ъ ЧI- (а1 • Ь): (а2 • Ь):...: (ап ■ Ь);

27) (а : Ь) ■ (с : d) ЧI- (а • с) : (Ь • с): (а ■ d) : (6 • d);

28) (а1 : ... : а”) • (&' : ... : Ьт) Ч Ь (а1 • &1) : ... : (а1 • Ьт) : ... :

29) а ■ Ъ • с Ч F- а ■ (Ь • с);

30) а' ■ а2 ■... ■ ап Ч Ь Ъ, где b отличается от посылки лишь тем, что в нем как-то расставлены скобки;

31) а : b : с I- а : (6 : с);

31) а1 : а2 :... : ап I- Ъ, где Ь отличается от посылки лишь тем, что в нем расставлены скобки;

33) b I- а1 : а2 : ... : ап, где каждое из а1, а2, ...,ап есть либо ~ ccd, либо а^с*1 .. а,тс,т (буквы а'1,..., а'т означают наличие или отсутствие ~), все а11 с'1 •... - а,тс'т попарно различаются лишь числом и расположением ~ и обязательно различаются, а высказывание Ъ отличается от а1 : а2 :...: а" лишь расстановкой скобок.

Если к приведенным утверждениям добавить

34) ~ а I- ~ (а • Ь),

получим основу Z01 для теории логического следования в расширенном (или ослабленном) смысле.

Этот перечень утверждений можно было бы продолжать далее. Но это вполне заменяет дедукция, для осуществления которой достаточно принять ряд метаутверждений: разрешение подставлять на место а,Ь,с,...,а1,а2,... любые структуры высказываний, применять правило транзитивности и т. д. А это — предпосылка аксиоматизации (наряду с тем, что одни из приведенных выше утверждений можно получить с помощью таких разрешений из других).

При аксиоматизации общей теории логического следования должны быть выполнены условия:

1) в аксиоматическом построении должны быть доказуемы все приведенные выше утверждения, — оно должно соответствовать интуитивному пониманию логического следования;

2) в аксиоматическом построении должны быть доказуемы не любые утверждения (кроме приведенных), но лишь утверждения, удовлетворяющие требованиям I и III в случае узкого следования и требованиям I и II в случае расширенного следования.

Аксиоматизация может быть осуществлена различными способами. Это зависит от того, что при аксиоматизации существенное значение приобретают интересы удобства, один и тот же результат может быть получен разными путями, стремление добиться за счет отступлений от других требований (допущение «парадоксальных» случаев), выполнение одних требований может быть реализовано за счет неполноты в отношении других и т. д.

В рассматриваемом нами случае дело обстоит примерно так же, как в случае с модальной логикой и силлогистикой у Лукасевича и ряда других авторов: формулируется сначала некоторая система приемлемых утверждений, для которой затем подбирается подходящая аксиоматическая система.

§ 14. Пример аксиоматизации теории логического следования

Приведем пример аксиоматизации теории логического следования, несколько отличный от рассмотренных в [3-5].

Обозначения:

1) х, у, z, ж1, х2,..., у1, у2,... — пропозициональные переменные;

2) ~ — пропозициональные константы;

3) Ь — знак следования;

4) скобки — ограничители формул.

Пропозициональная формула:

1) переменная есть пропозициональная формула;

2) если а есть пропозициональная формула, то ~ (a) есть пропозициональная формула;

3) если a,b,al,a2,...,an суть пропозициональные формулы, то (a) - (b), (a) : (b), (a') - (a2) • ... • (a") и (a1) : (a2) : ... : (a") суть пропозициональные формулы;

4) нечто есть пропозициональная формула только в силу пунктов 1-3 (пропозициональные формулы будем обозначать символами).

Формула следования: (a) F- (Ь) есть формула следования, если и только если а и Ъ суть пропозициональные формулы.

Формула:

1) пропозициональная формула есть формула;

2) формула следования есть формула.

Вхождение в формулу:

1) а в ходит в а, ~ (а), (а) • (Ь), (Ь) • (а), (а) : (b), (b) : (a) Ь (b), (b) Ь (a);

(а), (a)-(b')-... -(b)", (b')-... -(b»)-(«), (b>)-... -(«)-... (b"), («) : (b>) : ... : (b"), (b>) : ... : (b") : (a), (b>) : ... : (a) : ... : (b"),

2) если a входит в b, a b входит в с, то а входит в с;

3) одна формула входит в другую лишь в силу пунктов 1-2.

Для упрощения записи будем:

1) скобки в ряде случаев опускать, полагая что - связывает сильнее, чем: (и сильнее, чем V), а оба они сильнее, чем Ь;

2) вместо (а) писать а, вместо ~ (а) писать ~ а;

3) знак - опускать, записывая соединяемые им формулы рядом, без интервала;

4) вместо двух формул a I- b и b Ь а писать а ЧI- Ь.

Сформулируем систему Z *, удовлетворяющую требованию III (узкое или сильное следование в нашей терминологии).

Аксиомы Z *:

1) х Ч Ь~~ х;

2) ху Ь ж;

3) ху Ь ух ;

4) xyz Ч Ь x(yz); х'х2 ... хп ЧИ а, где а отличается от х'х2 ... хп лишь расстановкой скобок;

5) ~(ху) ЧЬ~®з/:®'~з/:~ж~з/;

6) ~(® : у) ЧЬ ху :~®~у, ~(®‘ : х2 :... : хп) ЧЬ а1 : а2 :...: ак, где а1 : а2 . ... : ак есть множество формул, в которое включается формула ж1®2...®” и всевозможные формулы, отличающиеся от нее наличием ~ перед всеми ж1,®2,...,®” или перед i (1 i п — 2) из формул ®‘, ®2,..., ®”;

7) ж1 : ®2 : ... : ®" Н а, где а отличается от посылки лишь какой-то (любой, удовлетворяющей определению пропозициональной формулы) расстановкой скобок;

8) b I- а1 : а2 : ... : а”, где каждая из есть либо ~ххс,

либо а'1 х1 •... • a,mxm (а*1,, а'т означают наличие или отсутствие ~), все а*‘ж1 •... - а,тхт попарно различаются лишь числом и расположением b отличается от а1 : а2 :... : а” лишь расстановкой скобок;

9) xz : yz Ь (х : y)z, х'у : х2у : ...: хпу I- (ж1 : х2 : ... : хп)у;

10) (х : y)z h xz : у, (х1 : ... : хп)(у1 : : ут) I- х1у1 : ... : х1ут :

„2 . .

X . .... X .

Правила вывода Z *;

1) подстановка в переменную;

2) если а Ч I- Ъ и d получается из с путем замены вхождения а формулой &, то с I- d;

3) если a F- Ъ и b I- с, то а I- с;

4) если а 1- Ъ и а I- с, то а 1- Ъс.

Доказуемая формула:

1) аксиомы 1-10 суть доказуемые формулы;

2) формулы, получающиеся из доказуемых формул по правилам 1-4, суть доказуемые формулы;

3) формула доказуема лишь в силу 1 и 2.

Система Z1 удовлетворяет приведенной выше интуитивной основе Z°: в ней доказуемы все утверждения последней. Все доказуемые формулы системы Z1 удовлетворяют требованиям I и III. Следовательно, в ней недоказуемы формулы

~ жж I- у, х xi-(у Эх), хЬ-(~хЭу), х\-у:~у

и т. п., подобные «парадоксальным» формулам систем материальной импликации, строгой импликации Льюиса и сильной импликации Аккермана. С другой стороны, все формулы, удовлетворяющие требованиям I и III, доказуемы в Z1 (доказательство этих утверждений дано в работе Г. А. Смирнова |9]). Следствием этих утверждений является следующее утверждение: формула a F- b доказуема в Я1, если и только если а Э Ь есть тавтология двузначной логики такая, что в Ъ входят только те пропозициональные переменные, которые входят ива.

Система Z2, удовлетворяющая I и II, получается путем добавления к Z1 аксиомы ~ х |-~ (ху) и ограничения к третьему правилу вывода: в а, & и с входит хотя бы одна одинаковая переменная. Все формулы, удовлетворяющие I и II, доказуемы в Z2, и наоборот (доказано Г. А. Смирновым). Системы Аккермана, Андерсона и Белнапа в этом смысле полными не являются. Система, удовлетворяющая I и II, рассматривается в работе Л. А. Бобровой [1].

Система Z3, охватывающая вырожденные случаи, получается благодаря следующим дополнениям к Z1. К определению формулы следования добавляется пункт: если а есть пропозициональная формула, то F- а есть формула следования. К аксиомам добавляется аксиома:

11) Н~(~а:а:).

К правилам вывода добавляется правило:

5) если a I- b и F- а, то I- Ь.

Имеют силу следующие утверждения:

1) если а доказуема в классическом пропозициональном исчислении (есть тавтология в двузначной пропозициональной логике), то I- a доказуема в Z3;

2) если I- а доказуема в Z3, то а доказуема в классическом пропозициональном исчислении (есть тавтология двузначной логики).

8 15. «Парадоксы» сильного следования

В Z1 доказуемы формулы (1):

xt-x:~x, х l-~ (~хх), ~хх F- х :~ж,

~ жж Ь- ~ (~ жж), ~xxt-x, xhxV~x

и т. п. Их иногда рассматривают как частный случай формул (2):

у Ь-х:~х, у у 1-~ (~жж), ~жж1-у.

И потому их считают точно так же «парадоксальными».

Но правило подстановки есть правило получения из доказуемых в некоторой логической системе формул новых доказуемых в этой же системе формул. Так что безотносительно к какой-то определенной логической системе выражение «частный случай формулы» лишено смысла. Одна формула есть частный случай другой, если и только если последняя доказуема в данной логической системе, а первая получается из нее по правилу подстановки. Поскольку в Z1 формулы (2) недоказуемы, формулы (1) нельзя рассматривать как их частный случай. И если формулы (1) вызывают какие-то возражения, последние должны быть выявлены независимо от формул (2). При этом, очевидно, к требованиям I-III должно быть добавлено еще какое-то интуитивное требование, которому априори должно отвечать логическое следование.

Формулы I являются неизбежной платой за применение дедуктивного метода в определении класса самих правил дедукции, удовлетворяющих требованиям I и III. От них можно избавиться, и притом — разными способами. В частности, это можно сделать так. Только аксиомы Z1 (или только формулы Z°) рассматривать как правила логического следования первого (допустим) уровня, предъявляя к ним требование IV: формулы вида х Ь х : а исключаются из числа приемлемых формул следования. Следствия же из них рассматривать как правила логического следования второго уровня. Другой путь — построение более узкой, чем Z , логической системы. Так, система Z*1 получается из Z' путем присоединения аксиом:

(ж : з/)ж I—у,

(х : у) ~ х F- у,

х : у Ч F- о: ~ у : ~ху,

х1 : х2 ■....: хп HF-

41- х1 ~ х2... ~хп :х2 ~х1 ... ~а:п : и замены второго правила вывода правилом: Если Ы Ь с, то a : Ъ Ь a : с и а1 : ... an : b b а1 : ... ап : с. В этой системе не получаются формулы (1), но зато она неполна относительно класса формул, удовлетворяющих требованиям I и III. Кроме того, и в Z*1 можно получить доказуемые формулы, которые покажутся с какой-то точки зрения неподходящими («интуитивно неприемлемыми»). Но тогда эта точка зрения должна быть выявлена, и т. д. без конца.

Заключение

Решение проблемы логического следования, таким образом, заключается не в том, чтобы отыскать абсолютно точное (адекватное) формальное определение какого-то «истинного», «настоящего», «природного» и т. п. логического следования, которого на самом деле не существует. Решение ее заключается в том, чтобы:

1) осуществить экспликацию некоторого интуитивного (привычного, стихийно сложившегося) понимания некоторых логических форм;

2) осуществить экспликацию именно различных логических форм, установить их точные различия и взаимоотношения;

3) построить различного рода формальные системы, соответствующие им, исследовать их свойства и взаимоотношения.

Короче говоря, решением проблемы логического следования в конечном счете является более детальная и более дифференцированная, чем это имело место в классической логике, разработка логического аппарата в том направлении, которое было намечено работами Льюиса, Шмидта, Аккермана, Белнапа, Андерсона и других авторов. Что касается стремления избежать «парадоксов» материальной и строгой (и какой-то иной) импликации, то это есть лишь первоначальная и наиболее поверхностная постановка проблемы.

1. Боброва Л. А. К проблеме логического следования // Вестник МГУ. 1966. №2.

2. Донченко В. В. Некоторые вопросы, связанные с проблемой разрешения для исчисления строгой импликации // Проблемы логики. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

3. Зиновьев А. А. Логика высказываний и теория вывода. М.: Изд-во АН СССР,

1962.

4. Зиновьев А. А. Логическое и физическое следование // Проблемы логики научного познания. М.: Наука, 1964.

5. Зиновьев А. А. Об основных понятиях и принципах логики науки // Логическое строение научных понятий. М.: Наука, 1965.

6. Карнап Р. Значение и необходимость. М.: ИЛ, 1959.

7. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М.: ИЛ, 1959.

8. Орлов И. Е. Исчисление совместности предложений // Математический сборник. 1928. Т. 35, вып. 3-4.

9. Смирнов Г А. Доказательство основных теорем в теории сильного следования // Логическая семантика и модальная логика. М.: Наука, 1967.

10. Ackermann W. Begriindung einer strengen Implikation I I Journal of Symbolic Logic. 1956. Vol. 21, №2.

11. Ackermann W. Uber die Beziehung zwischen strikter und Strenger Implikation // Dialectica. 1958. Vol. 12, № 47/48.

12. Anderson A. R. Review of Wilhelm Ackermann « Begrundung einer strengen Implikation» // Journal of Symbolic Logic. 1957. Vol. 22.

13. Anderson A. R. Completeness Theorems for the Systems E of Entailment and EQ of Entailment with Quantification // Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1960. Bd. 6.

14. Anderson A. R., Belnap N. D. A Modification of Ackermann’s «Rigorous Implication» // Journal of Symbolic Logic. 1958. Vol. 23.

15. Anderson A. R., Belnap N. D. Modalities in Ackermann’s «Rigorous Implication» // Journal of Symbolic Logic. 1959. Vol. 24.

16. Anderson A. R., Belnap N. D., Wallace J. R. Independent Axiom Schemata for the Pure Theory of Entailment // Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1960. Bd. 6.

17. Anderson A. R., Belnap N. D. The Pure Calculus of Entailment // Journal of Symbolic Logic. 1962. Vol. 27.

18. Anderson A. R., Belnap N. D. First Degree Entailments // Mathematische Annalen.

1963. Bd. 149.

19. Belnap N. D. A Formal Analysis of Entailment // Technical Report. № 7. Office of Naval Research, Contract SAR/Nour — 609 (16). New Haven, I960.

20. Belnap N. D. The Formalization of Entailment // Technical Report. № 8. Office of Naval Research, Contract SAR/Nour — 609 (16). New Haven, 1959.

21. Belnap N. D. Entailment and Relevance // Journal of Symbolic Logic. 1960. Vol. 25.

22. Belnap N. D. EQ and First Order Functional Calculus // Zeitschrift fur mathe-matische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1960. Bd. 6.

23. Belnap N. D., Wallace J. R. A Dicision Procedure for the System E-I of Entailment with Negation // Technical Report. № 11. Office of Naval Research, Contract SAR/Nour — 609 (16). New Haven, 1961.

24. Bemays P. John Myhill. On the Interrelation of the Sign «0» // Journal of Symbolic Logic. 1955. Vol. 20.

25. Carnap R. Einfiihrung in die Symbolische Logik. Wien, 1954.

26. Curry H. B. The Interpretation of Formalized Implication // Theoria. 1959. Vol. 25.

27. Duncan-Jones A. E. Is Strict Implication the Same as Entailment? // Analysis.

1935. Vol. 2.

28. Johnson W.E. Logic. Cambridge, 1921.

29. Kripke S.A. The Problem of Entailment // Journal of Symbolic Logic. 1959. Vol. 24.

30. Lemmon E. J., Meredith C. A., Meredith D., Prior A. N., Thomas I. New Foundations for Lewis Modal Systems // Journal of Symbolic Logic. 1958. Vol. 22.

31. Lewis С. I. Implication and the Algebra of Logic // Mind. 1912. Vol. 21.

32. Lewis С. I. The Calculus of Strict Implication // Mind. 1914. Vol. 23.

33. Lewis С. I. A Survey of Symbolic Logic. Berkeley, 1918.

34. Lewis С. I. Emch’s Calculus and Strict Implication // Journal of Symbolic Logic.

1936. Vol. 1.

35. Lewis С. I., Langford С. H. Symbolic Logic. New York, London, 1932.

36. Lukasiewicz J. A System of Modal Logic // Journal of Symbolic Logic. 1952. Vol. 1.

37. Marcus R. B. The Deduction Theorem in a Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication // Journal of Symbolic Logic. 1946. Vol. 11.

38. Marcus R. B. Strict Implication. Deducibility and the Deduction Theorem // Journal of Symbolic Logic. 1953. Vol. 18.

39. McKinsey J. С. C. A Solution of the Decision Problem for the Lewis Systems S2 and S4, with an Application to Topology // Journal of Symbolic Logic. 1941. Vol. 6.

40. McKinsey J.C.C., Tarski A. A Some Theorems about the Sentential Calculi of Lewis and Heyting //Journal of Symbolic Logic. 1948. Vol. 13.

41. Moh Shaw-Kwei. The Deduction Theorems and Two New Logical Systems // Methods. 1950. Vol. 2.

42. Myhill J. On the Interrelation of the Sign «0» // Journal of Symbolic Logic. 1953. Vol. 18.

43. Pap A. Logic and the Concept of Entailment // Journal of Philosophy. 1950 Vol. 47.

44. Pap A. Strict Implication, Entailment and Modal Iteration // Philosophical Review. 1955. Vol. 64.

45. Simons L. New Axiomatizations of S3 and S4 // Journal of Symbolic Logic. 1953. Vol. 18.

46. Schmidt A. Ein aussagenlogischer Zugang zu den Modalitaten der strikten Logik // Proceedings of the International Mathematical Congress. Amsterdam, 1954.

47. Steins E. Natural Implication and Material Implication // Theoria. 1947. Vol. 13.

48. Vredenduin P. G. J. A System of Strict Implication // Journal of Symbolic Logic. 1939. Vol. 9.

49. Wright G. H. A Note on Entailment // Philosophical Quarterly. 1959. Vol. 9.

Раздел IV

НЕТРАДИЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ВЫВОДА

— Г"-----------------------——— --------------

Общеизвестно, что значительная часть утверждений науки получается путем логического вывода из других утверждений. Общеизвестно также, что вопрос о том, когда одни утверждения логически выводятся (логически следуют, получаются по правилам логики, дедуцируются и т. п.) из других, получил разработку как основной вопрос особой науки — науки логики. И, казалось бы, теперь читателя, интересующегося этим вопросом, достаточно отослать к учебникам логики и книгам, дающим более или менее полное изложение теории вывода. Однако имеется ряд обстоятельств, позволяющих говорить о проблеме логического следования. Эти обстоятельства связаны, как уже отмечалось в первой главе, с особенностями методов современной логики. Рассмотрим их подробнее. Это важно не только как иллюстрация применения методов современной логики к анализу науки, но и для понимания природы правил логического следования.

Тот факт, что из X логически следует Y, будем записывать в форме

X\-Y.

Раздел логики, в котором рассматриваются правила логического следования для высказываний с операторами «и», «или» и «не», будем называть общей теорией логического следования. Проблема логического следования в характерном для современной логики виде сложилась именно на уровне общей теории логического следования.

§ 1. Классическая теория следования

Правила логического следования вырабатываются с таким расчетом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Для современной логики характерно то, что класс этих правил устанавливается посредством тех или иных интерпретаций логических исчислений. Так, класс правил логического следования для высказываний, построенных из простых высказываний с помощью операторов «и», «или» и «не» ит.п., может быть определен посредством классической пропозициональной логики.

Под классической пропозициональной логикой мы здесь имеем в виду следующее:

1) функционально полные двузначные матричные (истинностные) построения, — двузначную пропозициональную алгебру;

2) аксиоматические построения (системы гильбертовского типа), дедуктивно эквивалентные двузначной пропозициональной алгебре, и вообще любые формальные системы, дедуктивно эквивалентные классическим аксиоматическим построениям (например, некоторые системы генценовского типа), — классические пропозициональные исчисления.

Проблема логического следования в ее специфической для современной логики форме и возникла в связи с интерпретацией классической пропозициональной логики в качестве общей теории дедукции.

Упомянутая выше интерпретация состоит в следующем:

1) пропозициональные формулы рассматриваются как высказывания;

2) знаки конъюнкции, нестрогой дизъюнкции и отрицания рассматриваются соответственно как «и», «или» (неисключающее) и «не»;

3) значения пропозициональных формул рассматриваются как истинность и ложность высказываний.

При такой интерпретации обнаруживается следующее свойство знака математической импликации: если X D Y истинно и X истинно, то Y истинно. Оно позволяет рассматривать этот знак как знак логического следования. В результате тавтологии двузначной алгебры доказуемые формулы классического исчисления, содержащие знак материальной импликации, получают интерпретацию как правила логического следования. Классическая пропозициональная логика здесь рассматривается как общая теория логического следования (вывода, дедукции). Эта концепция является в известном смысле доминирующей.

Классическая общая теория логического следования непротиворечива и полна во всех рассматриваемых в логике смыслах. В том числе, если присоединить к числу ее аксиом формулу, которая недоказуема в ней, то полученная система будет противоречивой. Ее, таким образом, нельзя расширить без противоречия, — она является максимально широкой. Слово «общая» здесь не несет никакой иной нагрузки, кроме указания на то, что в этом разделе теории логического следования рассматриваются лишь правила следования для логических операторов «и», «или», «не» и производных от них операторов.

§2. Критика классической теории логического следования

Как уже отмечалось, навыки получения одних высказываний из других логическим путем у людей складываются так, что для осуществления самих актов вывода (переходов от данных высказываний к вытекающим из них следствиям) не имеет значения, истинны или нет посылки. Какие следствия получаются из данных посылок, зависит от того, какие термины, высказывания и логические знаки входят в их состав и как они расположены друг относительно друга.

Хотя «парадоксы» материальной импликации практически не ведут к отрицательным последствиям в познании, остается фактом, что нет полного совпадения материальной импликации и логического следования.

Так как классическая логика синтаксически полна (и класс доказуемых формул или тавтологий с материальной импликацией в ней максимально широк), то естественно намечается и путь, по которому надо идти в поисках логической системы, адекватной логическому следованию (формализующей последнее): сужение классической логики.

§ 3. Строгая импликация

Парадоксы материальной импликации исключаются в системе, получившей название системы строгой импликации.

Тот факт, что X строго имплицирует У, обозначается символом

X<Y.

В системе строгой импликации не являются доказуемыми формулы X -< Y такие, что в Y имеется знак строгой импликации, а в I нет: среди аксиом такие формулы отсутствуют, а правила вывода не дают возможности их получить. Отсюда получаем, что формулы

X -< (У -< X),

-<(Х -<У)

в системе строгой импликации не являются доказуемыми. Формулы X -< У не рассматриваются как функции истинности от X и У. Так что при интерпретации строгой импликации в качестве логического следования исключены последствия, подобные «парадоксам» материальной импликации.

Но в системе строгой импликации доказуемы формулы

~ХХ^У,

У ^~(~Х Х).

Поскольку ~ X ■ X невозможно, а ~ (~ X • X) необходимо, то при интерпретации строгой импликации в качестве логического следования получаем:

1) из невозможного высказывания следует любое;

'!< 2) необходимое высказывание следует из любого.

Эти утверждения получили название «парадоксов строгой импликации».

Некоторые авторы отрицают «парадоксальность» таких формул, которые рассмотрены выше, и не различают логическое следование и строгую импликацию как логические формы. Они признают (в крайнем случае) лишь различие этих форм в отношении к полезности. «Парадоксальные» строгие импликации считаются бесполезными для вывода: если X невозможно, мы не можем использовать X -< У как основание для доказательства Y; если Y необходимо, то не требуется никаких посылок для его принятия, и X излишня. Однако большинство авторов считает, что строгая импликация все еще шире логического следования, и для построения логической системы, адекватной последнему, необходимо идти по пути исключения также и «парадоксов» строгой импликации.

Другой существенный недостаток строгой импликации — принятие модальных понятий «возможно» и «необходимо» в качестве первично ясных. На самом же деле эти понятия таковыми не являются, для определения их (т. е. для описания свойств содержащих их высказываний) требуется общая теория дедукции. Проблема логического следования сначала должна быть решена для любых высказываний на уровне общей теории (т. е. независимо от модальных понятий и без использования их), и полученное решение затем может быть использовано для определения класса правил логического следования модальных высказываний.

Исправлением недостатков системы строгой импликации явились системы сильной импликации. Сильная импликация X —> Y читается как «У есть часть содержания X». Модальные понятия вводятся как производные. Понятия «содержание» и «часть содержания» не разъясняются.

Системы сильной импликации обладают следующими свойствами:

1) если в формуле X —> (У -+ Z) знак импликации отсутствует в X, то эта формула недоказуема;

2) если в формуле X —> У формулы 1иУ таковы, что в них нет одинаковых переменных, то эта формула недоказуема. Отсюда следует, что формулы

X —♦ (У -» X),

~Х-(Х-у),

Х-~Х — У,

X ->~(у.~у)

недоказуемы. А значит, «парадоксы», подобные «парадоксам» материальной и строгой импликаций, при интерпретации систем сильной импликации в качестве теории логического следования получиться не могут.

Но в системах сильной импликации оказываются недоказуемыми некоторые формулы, не являющиеся «парадоксальными». Так, формула

(xvy)~x->y

вполне приемлема с интуитивной точки зрения, но она недоказуема в упомянутых системах. Таким образом, прогресс в одном отношении (исключение «парадоксальных» формул) оказался регрессом в другом (исключение «непарадоксальных» формул), и проблема логического следования встает снова, только уже в несколько иной и более сложной форме.

§ 4. В чем суть проблемы

Как уже отмечалось, в отношении логической системы, в которой нельзя доказать «парадоксальные» формулы, правомерны следующие вопросы:

1) имеются ли какие-либо гарантии того, что исключение этих «парадоксальных» формул означает исключение «парадоксальных» формул вообще; т. е. имеются ли гарантии, что все доказуемые в этой системе формулы при интерпретации их в качестве правил логического следования удовлетворяют интуиции?

2) имеются ли какие-либо гарантии, что исключение «парадоксальных» формул из числа доказуемых не ведет к исключению формул, не являющихся «парадоксальными» с точки зрения интуиции?

Вернемся, например, к формуле

(xvr)-~x-»r, (1)

которая недоказуема в системах строгой импликации. При интерпретации ее в качестве правила логического следования получается утверждение: «Если X или У, и при этом не-Z, то отсюда следует, что Y». Оно вполне согласуется с интуицией, с привычным пониманием следования. Не вызывают сомнения и правила дистрибутивности (2)

и транзитивности (3):

X-YVX-Z—>X-(YV Z),

(2)

(X -» У) • (У -» Z) -»(X -» Z).

(3)

Используя формулы (1)-(3) и формулу

X -» X V У,

(4)

мы получим «парадоксальную» формулу

~ХХ-»У.

Очевидно, среди использованных формул имеется такая, которую надо исключить из числа приемлемых, как «парадоксальную». Но почему надо исключить формулу (1), а не формулу (4)? Формула (4) вызывает сомнение хотя бы потому, что в ней появляется У, отсутствовавшее в посылке. Почему же отдается предпочтение формуле (4), а не формуле (1)?

§ 5. Высказывания о следовании

Мы рассмотрим основные стороны проблемы логического следования и сделаем ряд замечаний, которые необходимы для того, чтобы оправдать или, во всяком случае, пояснить нашу теорию логического следования.

Записывая тот факт, что из высказывания X логически следует высказывание У, в форме X Н У, мы тем самым пишем высказывание «Из X логически следует У». И теория логического следования состоит из такого рода высказываний. Естественно, надо совершенно отчетливо представлять себе, что это за высказывания.

Высказывание X Н У («Из X логически следует У») есть элементарное высказывание, каким бы странным это наше заявление ни оказалось на первый взгляд (ведь в него явным образом входят высказывания X и У). Дело в том, что частями этого высказывания являются не сами высказывания X и У, а термины [X] и [У], обозначающие их. Символ I- здесь является не оператором, соединяющим высказывания X и У, а двухместным предикатом «из первого высказывания логически следует второе». Так что рассматриваемые высказывания фактически имеют структуру

(1Х],[У])«-(Ь).

И только для того, чтобы «приблизить» запись к привычному литературному языку, мы записываем их в форме Т I-У. Таким образом, рассматривать высказывания о логическом следовании одних высказываний из других как сложное высказывание ошибочно. В X Н У говорится не о тех предметах, к которым относятся X и У, а о связи самих X и У как особых предметов. Оно есть метавысказывание по отношению к X и У.

Хотя сказанное очевидно, это свойство высказываний ХНУ удивительным образом игнорируется во всех известных нам работах по теории логического следования. Об этом говорит то, что для ХНУ в качестве средства экспликации ищут всякого рода импликации (и прежде всего I 3 К), интерпретируемые как сложные высказывания, путают X Y с условным высказыванием X —> Y и т. д. Об этом говорит и вид формул логических систем, которые предлагают в качестве средства определения правил логического следования.

Как бы точно ни совпадали свойства каких-то сложных высказываний с высказываниями о следовании, это ни в коем случае не отменяет того, что высказывания вида XI- Y суть элементарные, а не сложные высказывания. И никакая теория сложных высказываний не может быть их теорией. Высказывания X —» Y и X Э Y, имея нечто общее с X I-Y, принципиально отличаются от последнего.

Для общей теории логического следования из сказанного вытекает следующее: поскольку субъектно-предикатное строение высказываний здесь не рассматривается, в правилах ХЬКвХивУне должен фигурировать предикат Н Поэтому если некоторая данная логическая система интерпретируется как общая теория логического следования, то лишь один знак в ее доказуемых формулах может рассматриваться как знак следования. И если в таких формулах знак, интерпретируемый как знак следования, встречается более одного раза, то прочие его вхождения должны получить какую-то иную интерпретацию.

§ 6. Основной принцип дедукции

Правила логического следования вырабатываются с таким расчетом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Когда эти правила уже выработаны и известны исследователю, то отношение переворачивается и приобретает силу следующий принцип: если X I- Y, и при этом X истинно, то Y истинно; если X I- Y и при этом Y неистинно, то X неистинно. Будем этот принцип называть основным принципом дедукции. Благодаря ему исследователь принимает следствия истинных посылок и отвергает посылки неистинных следствий. И этим роль основного принципа дедукции полностью исчерпывается.

В число правил логического следования основной принцип дедукции не включается. Он есть условие изобретения и применения правил логического следования, и не более того. Поэтому в логической системе, определяющей класс правил логического следования, в числе доказуемых формул не должны быть формулы, интерпретируемые как

X • (X I- Y) I- Y

Во-первых, такого рода формулы не устраняют необходимости основного принципа дедукции. Чтобы воспользоваться такого рода формулой, все равно необходимо признание истинности посылки Х(Х1-У), чтобы признать истинным Y. Но если мы признали X • (X F У), то и без формулы X • (X F У) I- У на основании основного принципа дедукции мы имеем право признать У. Так что эти формулы излишни. Это во-вторых.

Правила логического следования позволяют сказать, что из X логически следует У. Но процесс получения У не ограничивается этим: необходимо осуществить признание У, оставив X как нечто уже отработанное. Основной принцип дедукции обеспечивает поступательность (этапность) процессов рассуждения.

§ 7. Логическое следование

и значения истинности высказываний

Логическое следование нередко определяют так: из X логически следует У, если и только если всегда, когда истинно X, истинно и У. Это определение несостоятельно по следующим соображениям. Во-первых, оно не конструктивно в том смысле, что не определяет класс случаев, когда это имеет место. В качестве же определения класса случаев логического следования одних высказываний из других при этом указывают тавтологии двузначной логики или, соответственно, доказуемые формулы классического исчисления высказываний с материальной импликацией со всеми вытекающими отсюда последствиями (парадоксы материальной и строгой импликации).

Но и независимо от упомянутых парадоксов здесь даже нет совпадения приведенного определения и фактически указываемого класса правил логического следования. Так, в формуле X D У V ~ У для истинности У V ~ У требуется истинность У или ~ У, а не истинность X; в формуле ~ X ■ X 3 У для истинности ~ X ■ X необходима истинность обоих ~ X и X, что не имеет никакого отношения к истинности У. Кроме того, если учесть, что ~ X ■ X вообще не может быть истинным, то выражение «всегда, когда истинно X ■ X» оказывается двусмысленным. Короче говоря, приведенное в начале параграфа определение оказывается ни к чему не обязывающей фразой.

Между высказываниями, далее, X и У может иметь место зависимость, вполне удовлетворяющая критикуемому определению логического следования, но между X и У не будет никакого отношения логического следования. Так обстоит дело в случаях условных высказываний X —» У, которые являются результатом опытного исследования, принимаются как аксиомы части или следствия определений.

Определить логическое следование — значит буквально перечислить случаи, когда одни высказывания логически следуют из других, т. е. перечислить правила логического следования. При этом необходимо учитывать отношения высказываний по значениям истинности, чтобы был выполнен основной принцип дедукции. Но это — условие выработки правил логического следования, а не их определение. Кроме того, это — одно из условий. Оно необходимо, но не достаточно.

В каждом разделе логики класс правил логического следования устанавливается применительно к тем структурам высказываний, которые рассматриваются в этом разделе. Для этих структур вводятся определения значений истинности, так что использование этого условия проблемы не представляет.

Принципиальное значение имеет тот факт, что число значений истинности никак не влияет на класс правил логического следования: для установления последних важно только то, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия, а какие еще возможны значения истинности, кроме истинности и ее отрицания, никакой роли не играет.

§ 8. Логическое следование и смысл высказываний

Выше мы уже говорили, что высказывания в случае логического следования связаны по смыслу, но понятие смысла было не определено. Так как мы уже рассмотрели, что такое смысл высказывания, то теперь имеем возможность высказать ряд положений на этот счет.

Прежде всего связи высказываний по смыслу разнообразны. В частности, имеет место такая зависимость: чтобы знать смысл одного высказывания, необходимо знать смысл другого. С этой точки зрения связь высказываний X Y и X совершенно аналогична связи высказываний XV Y и X, а также X D Y и X. И никакого отношения к логическому следованию такие смысловые связи высказываний не имеют.

Остаются такие случаи, когда одни высказывания тождественны по смыслу другим. Эти отношения высказываний действительно должны приниматься во внимание при установлении класса правил логического следования. Но и в этом случае нужны оговорки, практически исключающие возможность определения логического следования через такого рода смысловые отношения высказываний.

Во-первых, не все случаи логического следования можно свести к тождеству высказываний по смыслу. Например, из X Y логически следует X, но X ■ Y не тождественно по смыслу с X; из допущения необходимости некоторого события логически следует его возможность, но высказывание о необходимости события не тождественно по смыслу высказыванию о возможности этого же события и т. д. Выражения «часть смысла», «часть содержания», «содержится по смыслу» и т. п. в таких случаях либо сами туманны и бессмысленны, либо обозначают смысловые зависимости, с точки зрения которых I-У, XvK, I ЗУ и т. п. не различаются.

С другой стороны, не всегда тождество высказываний по смыслу означает, что эти высказывания связаны как посылки и следствия. Мы уже говорили, что тождество по смыслу используется как средство определения. И это средство может быть использовано как частное соглашение в данной науке, не имеющее общелогического смысла.

При установлении класса правил логического следования необходимо учитывать тождество высказываний по смыслу только в строго определенных случаях, а именно, когда оно позволяет определить смысл высказываний с одной структурой через высказывания с другой структурой, определить одни логические операторы через другие, свести сложные конструкции высказываний к стандартным основным формам и т. п. И в каждом разделе логики эти случаи должны быть известны заранее при построении правил логического следования в этом разделе.

Наконец, когда одни высказывания получаются из других по правилам логического следования, то вторые получаются буквально из материала первых, т. е. из терминов и высказываний, входящих в структуру первых. И это обстоятельство так или иначе влияет на интуитивное понимание логического следования. Так, отвергая формулу X I- Y V ~ Y как правило логического следования, неявно предполагают то, что в посылке и заключении должно быть какое-то сходное «вещество» — термин или высказывание.

D1. Будем называть собственными единицами смысла данного высказывания термины и простые высказывания, входящие в него. Между высказываниями имеют место смысловые отношения, которые характеризуются отношением множеств их собственных единиц смысла. Эти смысловые отношения поддаются строгой классификации: множества собственных единиц смысла двух высказываний могут совпадать, иметь по крайней мере один общий элемент, не иметь общих элементов; возможно, что одно из этих множеств включается в другое, что эти множества перекрещиваются.

В зависимости от того, какое требование будет предъявлено к посылкам и следствиям с этой точки зрения, получим разные формы логического следования. В частности, если множество собственных единиц смысла следствия включается в множество собственных единиц смысла посылки, то получим одну форму логического следования. Если же посылка и следствие содержат хотя бы одну одинаковую единицу смысла, то будет иметь место другая форма логического следования.

Если требование, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия, выполняется в отношении всех форм следования, то в отношении множества единиц их смысла возможны вариации. И ни одна из них сама по себе не лучше и не хуже другой. Просто они суть различные формы следования. И в природе нигде нет никакого подлинного следования, с которым можно было бы их сравнить. Другое дело, какие-то из них чаще употребляются, чем другое. Но это ничего не говорит об их «правильности», «непарадоксальности», «неправильности», «парадоксальности» и т. п. Проблема логического следования, таким образом, принимает такой вид: можно ли построить логические системы, адекватные этим формам следования?

§ 9. Определения логических операторов

Особенность логических операторов состоит в том, что их свойства нельзя определить отдельно от высказываний (и терминов), в которые они входят. Определить эти операторы — значит определить свойства высказываний (и терминов), содержащих их. Поэтому определения их и принимают форму правил логического следования.

Правила логического следования дают определения логических операторов, синтезируя различные стороны их употребления и их отношения, устанавливая согласованность этих сторон.

Решение проблемы логического следования, таким образом, заключается не в том, чтобы отыскать абсолютно точное (адекватное) формальное определение какого-то «истинного», «настоящего», «природного» и т. п. логического следования, которого на самом деле не существует. Решение ее заключается в том, чтобы:

1) осуществить экспликацию некоторого интуитивного (привычного, стихийно сложившегося) понимания некоторых логических форм;

2) осуществить экспликацию именно различных логических форм, установить их точные различия и взаимоотношения;

3) построить различного рода формальные системы, соответствующие им, исследовать их свойства и взаимоотношения.

Короче говоря, решением проблемы логического следования в конечном счете является более детальная и более дифференцированная, чем это имело место в классической логике, разработка логического аппарата в рассматриваемом направлении. Что касается стремления избежать «парадоксов» материальной и строгой (и какой-то иной) импликации, то это есть лишь первоначальная и наиболее поверхностная постановка проблемы.

§10. Экспликация интуиции

Все то, что мы говорили выше, суть лишь методические установки, с которыми должен считаться профессионал логик, разрабатывающий теорию логического следования. Но эти установки полезно знать и «потребителям» логики, поскольку описание их — единственно возможный путь описать происхождение и природу правил логического следования. А последние полезно знать хотя бы для того, чтобы не питать сильно преувеличенных иллюзий относительно возможностей логики и не мистифицировать ее законы.

Результатом экспликации употребляемых логических операторов является некоторая конечная система утверждений о логическом следовании одних высказываний из других. Эта система должна быть достаточной для осмысленного оперирования логическими операторами во всех возможных случаях их употребления. Она образует основание для общей теории логического следования. Но здесь возможны вариации. Они касаются отбора логических операторов, разделения их на основные и производные, отбора определяющих их утверждений и вообще отбора принимаемых утверждений, а также формулировок общих требований к ним.

Условимся использовать для сокращения символы вида

ХННУ,

если имеет место X\-Y иКЫ.

Мы принимаем в качестве основных логических операторов •,: и Их свойства определяются следующей системой утверждений, дающей первоначальную экспликацию их интуитивного понимания:

HI---X,

X ■ Y Ч F X,

X Y F Y ■ X,

(X :Y) X I—Y

и т. п. (дается полный список, учитывающий всевозможные комбинации операторов и высказываний).

Эта система обладает следующим свойством: все утверждения вида X F Y, образующие ее, характеризуются тем, что в заключение Y не входят элементарные высказывания, отсутствующие в посылке X. Будем такое логическое следование называть сильным или узким.

Если к приведенным утверждениям добавить еще одно

~ХН~(Х-У),

то получим систему, определяющую ослабленное или расширенное логическое следование. Эта система обладает таким свойством: во всех ее утверждениях XI-YbXhbY входит по крайней мере одно одинаковое элементарное высказывание.

§11. Аксиоматизация

При аксиоматизации общей теории логического следования должны быть выполнены условия:

1) в аксиоматическом построении должны быть доказуемы все приведенные выше утверждения, — оно должно соответствовать интуитивному пониманию логического следования;

2) в аксиоматическом построении должны быть доказуемы не любые утверждения (кроме приведенных), но лишь утверждения, удовлетворяющие некоторым требованиям на отношения единиц смысла, входящих в посылки и заключения.

И в зависимости от этих требований возможны различные аксиоматические построения, дающие определения различных форм логического следования.

При аксиоматизации некоторое число утверждений вида X I- Y выбирается в качестве основных (аксиомы) и указываются правила, с помощью которых из них можно получить остальные утверждения такого рода.

Аксиоматизация теории логического следования еще не есть ее формализация. В аксиоматической системе речь идет все еще о высказываниях с определенными логическими операторами. Это — теория, описывающая свойства высказываний некоторого заданного вида и содержащих их операторов. При формализации же отвлекаются от значения употребляемых символов (букв), рассматривая их не как обозначения высказываний и логических операторов, а просто как особого рода объекты.

§ 12. Теория сильного логического следования

Ниже мы охарактеризуем общую теорию логического следования применительно к целям данной книги. При этом мы будем в качестве основных операторов использовать V и ~, поскольку системы с оператором V выглядят несколько проще, чем с оператором Но это принципиального значения не имеет, так как соответствующие системы эквивалентны с точки зрения определяемых ими классов правил логического следования.

Система Ss сильного логического следования имеет следующий вид.

Алфавит:

1) буквы p,q,r с индексами и без индексов — элементарные высказывания;

2) V, ~ — логические операторы («и», соединительное «или», «не»);

3) I- — предикат логического следования;

4) скобки и запятые — ограничители высказываний и некоторого рода правила однозначности их прочтения.

D1. Высказывания:

1) элементарные высказывания суть высказывания;

2) если X есть высказывание, то ~ X есть высказывание;

3) если X1,,Хп (п > 2) суть высказывания, то (X1 -X2-... -Хп) и (X1 V X2 V... V Хп) суть высказывания;

4) нечто есть высказывание лишь в силу 1-3.

D2. ([X], [У]) <— (Н) есть высказывание о логическом следовании, если и только если X и Y суть высказывания.

Поскольку согласно D\ строение элементарных высказываний не рассматривается в общей теории логического следования, то в правилах логического следования знак I- может встретиться здесь лишь один раз, что и фиксирует D2.

Примем следующие упрощения записи:

1) оператор - будем опускать, записывая соединяемые им высказывания рядом без интервала;

2) скобки в ряде случаев будем опускать, полагая, что их можно восстановить в таком порядке: сначала заключаются в скобки все высказывания, соединенные операторами ■, а затем — все, соединенные операторами V;

3) вместо символов вида ([X], [У]) <— (Н) будем употреблять символы X\-Y.

Прежде чем сформулировать аксиомы, сделаем одно замечание об аксиомах вообще. Поскольку мы излагаем аксиоматическое построение общей теории логического следования, а не формальную систему, то различие аксиом и аксиоматических схем здесь теряет смысл. Но во избежание недоразумений мы примем такое условие: пусть буквы X, Y, Z, Х1,Х2,... суть любые высказывания, указанные в D1, а различие их пусть означает лишь то, что высказывания могут быть различными. При таком условии формулируемые ниже аксиомы соответствуют аксиомным схемам формальных построений.

Аксиомы 5s:

1. —Х-Н-Х;

2. XYI-X;

3. XYhYX;

4. Х‘Х2...ХПЧ1-Y,

где Y отличается от XхX2... Хп лишь какой-то расстановкой скобок.

5. ~(ХУ)Ч1—iv~r,

~(Х'Х2... X”) HI—X1 V~X2 V... V~X”;

6. (Xvy)ZH IZVK;

7. IZvyZH(IVK)Z;

8. irvZH(irvZ)(rv~r).

Правила вывода теорем из аксиом S':

1) если ХНУ nYt-Z,ToXt~Z;

2) если X Н Y и X Н Z, то X I- YZ;

3) если X1 Ч I- X2, то Y1 I- Y2, где Y2 образуется из У1 путем замены какого-либо вхождения высказывания X1 в У1 высказыванием X2.

D3. Утверждение ХНУ будем называть доказуемым в S', если и только если оно есть одна из аксиом или получается из доказуемых утверждения по правилам вывода.

D4. Будем рассматривать X Э У как сокращение для ~ X v У.

71. Если ХНУ доказуемо, то X 3 У есть тавтология.

72. Если X истинно, то ХНУ и X Н~ У не могут быть оба доказуемы.

73. Если доказуемо X Н~УУ, то истинно ~Х.

Теоремы 72 и 73 суть теоремы непротиворечивости S', согласно которым использование правил сильного логического следования не может привести к противоречиям, если непротиворечивы посылки.

74. Если доказуемо X Н У, то в У не входят элементарные высказывания, не входящие в X (теорема непарадоксальности).

75. Если X 3 У есть тавтология и в У не входят элементарные высказывания, отсутствующие в X, то X Н У доказуемо в S' (теорема полноты).

Согласно 74 в S' недоказуемы утверждения

х н х v у,

ХНУЗХ,

XI—X D У,

X Н У V ~ У,

~ХХ Н У,

порождающие парадоксы, подобные парадоксам материальной и строгой импликации.

Однако в S® доказуемы утверждения вида (а)

х\—х v х,

~ХХ\- X,

Х~УУ I—X, рассматриваемые как частный случай парадоксальных утверждений вида

Y

~ХХ I- У,

X ~УУ I- Z.

Утверждения типа (а) суть законная плата за дедуктивный метод и за полноту охвата утверждений того или иного вида в данной системе. И вопрос об их судьбе должен решаться в зависимости от иных соображений, выходящих за рамки предлагаемой теории.

Система Ss (согласно Т5) дает исчерпывающее определение класса случаев, когда из одних высказываний, определенных в DI, логически сильно следуют другие высказывания.

Другие логические операторы можно ввести посредством сокращающих определений (вроде D4) или дополнительных аксиом вида

X D УН1—XVУ,

XI :Х2 : ... :Х”-Ц-Х'~Х2... ~Х” VX2~X‘ ... ~X”v

V... vxn~x'... ~Xn-1.

§ 13. Другие системы общей теории логического следования

Теория ослабленного логического следования Sw получается путем присоединения аксиомы

9. ~Х1—(ХУ)

и такого ограничения первого правила вывода: в X, У и Z должно входить по крайней мере одно элементарное высказывание.

Система Sw непротиворечива в том же смысле, что и 5s. Она непарадоксальна в смысле такой теоремы:

ТI. Если X I- У доказуемо в Sw, то в X и У входит хотя бы одно одинаковое элементарное высказывание.

Согласно Т1, в Sw не получаются парадоксы, подобные парадоксам материальной и строгой импликации.

Система Sw полна в таком смысле:

Т2. Если X D Y есть тавтология и в X и Y входит хотя бы одно одинаковое элементарное высказывание, то X I- Y доказуемо в Sw.

Согласно Т2, система Sw дает исчерпывающее определение класса случаев, когда из одних высказываний, указанных в D1, логически ослаблено следуют другие. Если в системах сильной импликации только один главный знак импликации рассматривать как знак логического следования, а остальные — как материальную импликацию, то эти системы будут системами ослабленного логического следования в нашем смысле. Но они не дают полного определения класса правил логического следования такого типа.

Если в системе Sw снять ограничение на первое правило вывода, получится система S9 квазиследования, обладающая следующим свойством:

Т3. X Y доказуемо в S9, если и только если X D Y есть тавтология.

Таким образом, теория квазиследования совпадает с классической общей теорией следования.

Из сказанного очевидно, что возможны различные теории логического следования, отвечающие различным априорным требованиям к логическому следованию, и в каждом случае правила логического следования могут быть определены исчерпывающим образом. Но только одна удовлетворяет не только требованию «Истинные заключения из истинных посылок», но и требованию «Заключения конструируются только из материала (из терминов и высказываний), входящих в посылки». Это — система 5’.

§ 14. Вырожденное следование

Правила логики не ограничиваются правилами логического следования. Сюда относятся также утверждения, которые принимаются в качестве истинных в логике или истинность которых вытекает из принятых в логике предпосылок, — логически истинные утверждения. Таковы, в частности, утверждения, получающиеся из интерпретации тавтологий пропозициональной логики (алгебры) и соответствующих доказуемых формул пропозиционального исчисления как сложных высказываний. Мы будем рассматривать их как правила вырожденного следования, т. е. как правила, позволяющие принимать некоторые высказывания независимо от каких бы то ни было посылок (как следование из пустого множества посылок).

Система Sd, охватывающая вырожденное логическое следование, получается благодаря таким дополнениям к Ss.

DI. I- X есть утверждение о логической истинности X, если и только если X есть высказывание.

Дополнительная аксиома (закон противоречия):

10. I—(~ХХ).

Дополнительное правило вывода:

4) Если ХНУ и ИХ, то НУ.

D2. Н X доказуемо в Sd, если и только если Н X есть аксиома 13 или получается из доказуемых утверждений по правилу 4.

Т1. Н X доказуемо в Sd, если и только если X есть двузначная тавтология.

Таким образом, Sd дает определение класса двузначных тавтологий, образованных из высказываний с операторами •, V и ~. И в этом смысле она эквивалентна классическому исчислению высказываний.

Т2. В Sd доказуемо (закон исключенного третьего).

§15. Теория предикации

Теория предикации Sp получается благодаря таким допущениям к общей теории логического следования.

Алфавит:

1) -> — внутреннее отрицание;

2) ? — оператор неопределенности;

3) s, s1, s2,... — термины объектов (субъекты);

4) Р, Р‘,Р2,... — термины признаков (предикаты).

D\. Если a',...,a" (n > 1) суть субъекты, то (а1,..., а") есть энарный субъект.

D2. Если a есть энарный субъект, а Р — энарный предикат, то Р(а) есть элементарное высказывание.

D3. К определению высказывания добавляется следующее: если X есть элементарное высказывание, то -> X и ?Х суть высказывания.

Буквы p,q,r,... из алфавита можно исключить. Мы ввели различные символы для внешнего и внутреннего отрицания исключительно для удобства записи.

Дополнительные аксиомы:

1. ~Р(а) HI—>P(a)v?P(a);

2. ~ -I P(a) Ч h P(a)v?P(a);

3. ~?P(a)-H-P(a)v->P(a).

Классический случай получается из Sp, если принять еще аксиому

4. ~Р(а) I—>Р(а).

Тогда в качестве следствия получим, что неопределенность исключается, т. е.

I—?Р(а).

Но если нам с самого начала требуется система для классического случая, т. е. не нужно различать отрицания и вводить неопределенность, то Sp вообще излишня.

Т1. Если X Y доказуемо в Sp, то X D Y есть тавтология. Аналогично если I- X доказуемо в Sp, то X есть тавтология.

Утверждения

~->Р(а)ЭР(а),

Р(а) V -л Р(а)

тавтологиями не являются, поскольку Р(а) и Р(а) могут оба быть неистинными.

Отсюда получаем (согласно Т1), что

Т2. Утверждения

~ Р(а) I- Р(а),

I- Р(а) V -л Р(а)

недоказуемы в Sp, и в общем (неклассическом) случае законами логики не являются.

ТЗ. Но утверждение

Р(а) I---- Р(а)

в Sp доказуемо.

Мы выше употребляли и будем употреблять в дальнейшем выражения «классический случай» и «неклассический случай». Их не надо смешивать с выражениями «классическое исчисление предикатов» и «неклассическое исчисление предикатов». Неклассический случай в теории следования у нас отличается от классического тем, что в нем учитывается внутреннее отрицание и неопределенность. Мы не вводим здесь другую терминологию потому, что наше словоупотребление точно так же связано с критикой классической логики и с возникновением неклассической логики.

§ 16. Классическая теория логического следования для высказываний с кванторами

Классическая теория логического следования для высказываний с кванторами получается путем такой же интерпретации классического исчисления предикатов, какая рассмотрена в § 1. Классическое исчисление предикатов получается путем присоединения к классическому исчислению высказываний дополнительных аксиом (аксиомных схем) и правил вывода, связанных с кванторами V («все») и 3 («некоторые»).

Классическое исчисление предикатов, если его интерпретировать как теорию логического следования для высказываний с кванторами, оказывается парадоксальным. В нем доказуемы формулы вида

(V a)P(a) э Р(Ь),

Р(Ь) D (3 а)Р(а)

и другие формулы, в которых в антецеденте содержатся переменные, отсутствующие в консеквенте. Если такого рода формулы рассматривать как правила логического следования, то получим утверждения, явно не соответствующие интуиции. Согласно таким правилам, мы должны признать законными такие, например, умозаключения: «Все металлы электропроводны, значит фарфор электропроводен», «Число четыре делится на два, значит некоторые нечетные числа делятся на два».

Чтобы избежать таких курьезов, при использовании классического исчисления предикатов как теории вывода принимают допущение: области значения (в нашей терминологии — предметные области) всех индивидных переменных совпадают. Если формулам классического исчисления предикатов придать вид правил логического следования, то приведенное допущение будет означать, что области значения субъектов, входящих в одно утверждение, совпадают. В наших примерах: если на место a ставится слово «металл», то и на место b должен быть вписан термин, обозначающий металл; если на место a вписали термин, обозначающий нечетное число, то и на место b должен быть вписан термин, обозначающий нечетное число.

Допущение, о котором идет речь, лежит в основе определения общезначимости, выполнимости и невыполнимости формул классического исчисления предикатов. Стоит допустить, что области значения различных индивидных переменных могут не совпадать, как многие формулы X D Y, доказуемые в классическом исчислении предикатов, окажутся не общезначимыми (не всегда истинными), если в Y входят переменные, отсутствующие в X. Таковы, например, приведенные выше формулы.

Таким образом, классическое исчисление предикатов, будучи интерпретировано как теория логического следования, определяет класс правил логического следования для частного случая, когда области значения терминов совпадают. Мы не исключаем такой фрагмент из теории логического следования. Но мы полагаем, что теория логического следования для высказываний с кванторами должна быть построена сначала без ограничений на отношения множеств значений терминов (на формальном языке — без ограничений на отношения множеств значений переменных).

Классическое исчисление предикатов является дедуктивно полным (т. е. в нем доказуемы все общезначимые формулы) при том условии, что общезначимость определяется в зависимости от рассмотренного допущения о совпадении областей значения всех индивидных переменных, входящих в одну и ту же формулу. Если же допустить, что области значения индивидных переменных могут не совпадать, и учесть это в определении общезначимости формул, то исчисление предикатов, которое дедуктивно полно относительно класса общезначимых формул и все доказуемые формулы которого общезначимы в этом новом смысле, будет уже классического.

Считается, что правила оперирования с кванторами предполагают непустоту терминов, связываемых кванторами. Это — один из предрассудков современной логики. Для того чтобы осуществлять выводы из высказываний, совершенно не требуется знать, пусты или нет фигурирующие в них термины. Так, правило (V a)X I- X имеет силу независимо от того, пуст класс а или нет, и вообще независимо от того, входит а в X или нет. Оно есть часть определения квантора V. Квантор V вводится в употребление таким, что (V а)Х I- X. Аналогично правило X I- (3 а)Х есть либо часть определения 3 , либо следствие такого определения.

§17. Теория кванторов

Теория кванторов для классического случая получается благодаря таким дополнениям к общей теории логического следования.

Принимаются все дополнения, указанные в системе Sp.

Дополнение к алфавиту:

1) V — квантор «все»;

2) 3 — квантор «некоторые».

D\. Дополнение к определению высказывания: если X есть высказывание, а а — термин, то (V a)X и (3 а)Х суть высказывания.

Дополнительные аксиомы:

1. (Va)XEX;

2. X I- (3 a)X;

3. (Va)X3!—(За)~х;

4. (Va)X(3a)K 1-(За)(ХУ);

5. (V a)(X V У) I- (V a)X V (3 a)Y;

6. (3 a)X I- (Va)X,

где a не входит свободно в X или I- X доказуемо.

Дополнительные правила вывода:

1) если X I- У, то (Va)X I- (Уа)У;

2) если X I- У, то (3 a)X I- (3 а)У.

В зависимости от того, к какой системе общей теории логического следования делаются указанные дополнения, получаются различные системы теории кванторов. Для классического случая обозначим эти системы так: 5’ — сильная теория кванторов, 5“ — ослабленная теория кванторов, Sc — теория квазиследования и т. д. Систему, основанную на S9 и включающую Sd, обозначим S°.

Классическая теория кванторов обладает следующим свойством:

Т\. Если X Э У есть тавтология, и в У не входят элементарные высказывания, отсутствующие в X, то X I- У доказуема в сильной теории логического следования. Аналогичные теоремы полноты имеют силу для других систем (с соответствующими ограничениями).

Для теории квазиследования будет иметь силу утверждение:

Т2. Если I ЗУ есть тавтология, то X I- У доказуемо.

Она не будет совпадать с теорией логического следования, получающейся благодаря соответствующей интерпретации классического исчисления предикатов, ибо (в частности) утверждения вида (V а)Р(а) О Р(Ъ) и Р(Ъ) О (3 а)Р(а) не являются тавтологиями.

Теория кванторов для неклассического случая получается благодаря следующим модификациям теории для классического случая.

D2. Дополнение к определению высказывания: если X есть высказывание, а a — термин, то (->Va)X, (->3 а)Х, (?V а)Х и (?За)Х суть высказывания.

Аксиомы 3 заменяются такими:

31. (Va)X 31- (->3a)~x;

32. (->Va)X3l-(3a)~X;

33. (?V а)Х 31- (?3 а) ~ X.

Принимаются дополнительные аксиомы:

7. (3 a)(X V У) НI- (3 а)Х V (3 а)У;

8. (V а)Х V (V а)У I- (V а)(Х V У);

9. ~(Уа)ХЧl-(->Va)Xv(?Va)X;

10. ~(-iVa)X4F(Va)XV(?Va)X;

11. ~(?Va)X4h(Va)XV(-iVa)X.

T2. Если ХНУ доказуемо (в любой системе теории кванторов), то 13 У есть тавтология. Аналогично если I- X доказуемо, то X есть тавтология.

Из Т1 следует непротиворечивость теории кванторов (если X истинно, и из X следует У, то из X не следует ~ У; если из X следует У и ~У, то X неистинно).

Из Т1, далее, следует, что утверждения

~(-iVa)XI-(Va)X,

~ (-13 а)Х I- (3 а)Х,

I—(nVa)lD (Va)X,

I— (-13 а)Х D (3 а)Х,

I-(Va)XV(-iVa)X,

I- (3 a)X V (-13 a)X недоказуемы в нашей теории кванторов, поскольку утверждения

~(-iVa)Jf Э (Va)X,

~ (-13 а)Х Э (3 а)Х,

(Va)Xv(-iVa)X,

(3 a)XV(-i3a)X

не являются тавтологиями. Точно так же недоказуемы утверждения

(V а)Р(а) b Р(Ь),

P(b) I- (3 a)F(a),

I-(Va)P(a)DP(i»),

I- Р(6) D (3 a)F(a),

поскольку утверждения

(Va)F(a) D P(b),

F(b) D (3 a)F(a) не являются тавтологиями.

Т3. Если X Y доказуема в теории сильного следования, то в У не входят элементарные высказывания, отсутствующие в X, и в Y не входят термины, отсутствующие в X. Аналогичные теоремы имеют место для теории ослабленного следования и других форм следования.

Приведенные выше утверждения (V а)Р(а) I- Р(6), P(b) I- (3 а)Р(а) недоказуемы в нашей теории также и в силу ТЗ (за исключением теории квазиследования, где они недоказуемы в силу Т2\

Благодаря теореме Т1 и теореме Т2 имеется разрешающая процедура, посредством которой для любого данного утверждения можно установить, доказуемо оно в системах нашей теории кванторов или нет: надо убедиться в том, что ХЭК есть или не есть тавтология; если оно не есть тавтология, то X I- Y недоказуемо в наших системах; если оно есть тавтология, то надо установить отношение единиц смысла в X и Y; если оно удовлетворяет известному ограничению, то X I- Y доказуемо в системе с таким ограничением; если не удовлетворяет, то X I- Y недоказуемо в этой системе. Разрешимость систем нашей теории кванторов отвечает идее: в рамках логики неразрешимых теорий в идеале не должно быть, поскольку логика должна стремиться к тому, чтобы в науке не было проблем, неразрешимых по вине логики.

Для классического исчисления предикатов, как известно, процедура разрешимости отсутствует. Чтобы проанализировать причину этого обстоятельства, построим систему Sk, эквивалентную классическому исчислению предикатов, следующим образом. Ограничимся исчислением предикатов первой ступени. Поэтому возьмем систему S°, исключим квантификацию предикатов и добавим аксиомы

12. (Уа)Х1-У;

13. У I- (3 а)Х,

где Y получается из X путем замены всех свободных вхождений а в X на Ъ, причем в X нет вхождений вида (V b)Z и (3 b)Z таких, что а свободно входит в Z.

ТА. Если ХНУ доказуема в Sk, то X D Y доказуема в классическом исчислении предикатов, и наоборот. Если I- X доказуема в Sk, то X доказуема в классическом исчислении предикатов, и наоборот.

Как сами только что приведенные аксиомы, так и некоторые получаемые с их помощью теоремы не являются тавтологиями в нашем понимании. Например, таковы теоремы

(V а)(Р(а) V Р(6)) Ь (3 а)Р(а),

(Va)(P(a)vP(b))I-P(b),

(V а)Р(а) I- (У6)Р(6),

(3 а)Р(а) I- (3 b)P(b).

Аксиомы 12 и 13 позволяют заменять субъект а субъектом b (в терминах исчисления предикатов — индивидную переменную а любой индивидной переменной Ь), что допустимо лишь при условии совпадения областей их значения. А это допущение является внелогическим.

§18. Условные высказывания

Система , определяющая оператор условности, получается благодаря таким дополнениям к общей теории логического следования.

Дополнение к алфавиту: -+ — оператор условности.

Дополнение к определению высказывания: если X и У суть высказывания, то X —> У, X~i —» Y и X? —► У суть высказывания.

Дополнительные аксиомы:

1. (X Y)X I- У;

2. (Х->У)Н(~У—~Х);

3. (X -» У)(У -» У) I- (X —> У);

4. (X -♦ У У) I- (X -♦ У)(Х -» У);

5. (X — У)(У -» V) I- (ХУ -♦ YV);

6. (X —»(У —» У)) I- (ХУ -♦ Z);

7. (ХУ —► Z) ~ (X —> Z) Н (X —> (У —> У));

8. ~(Х->У)Н1-(Х-1 -> У)У(Х?-+У);

9. ~(Х~> -»У)ЧЬ(Х-*У)7(Х?->У);

10. ~(Х?-+У)Ч1-(Х ->У)У(Х-> ->У).

Дополнительное правило вывода:

1) если X Н У, то Н (X —> У).

Класс доказуемых утверждений вида I- (X —» У) всецело зависит от класса доказуемых утверждений вида ХНУ. Дополнительные аксиомы, как видим, удовлетворяют свойству непарадоксальности сильного логического следования. Соответствующие им утверждения вида XDУ суть тавтологии.

Классический случай получается, если исключить аксиомы 8-10 или, наоборот, добавить аксиомы

~(Хч -*У)Ь(Х -»У),

I—(Х?-+У).

Если в аксиоме 7 исключить в посылке ~ (X —» Z), то оказываются доказуемыми утверждения вида

n->(rv~r),

I— YY -+ X,

I- (X - (Г -> X)),

h-(Х->(~Х->Г)),

аналогичные парадоксам материальной и строгой импликации. И в общем будет иметь силу теорема: I- (X —> К) доказуема, если и только если X Э Y есть тавтология.

Независимо от того, как мы отнесемся к такого рода следствиям, они не означают парадоксальности системы правил логического следования. Кроме того, совпадение класса доказуемых I- (X -+ Y) и тавтологий X D Y не означает, что класс истин X -+ Y совпадает с классом истин X D Y: из того, что X D Y истинно, не следует, что будет истинно X —> Y. Так что аксиому 7 можно было бы принять и в неограниченном виде (XY -+ Z) (X -+ (У —» Z)).

§ 19. Теория терминов

Теория логического следования определяет не только свойства высказываниеобразующих операторов. Система S* теории терминов получается благодаря таким дополнениям к рассмотренным выше системам.

Алфавит:

1) I — терминообразующий оператор;

2) —1 — двухместный предикат «включается по значению».

Для наглядности высказывание —■■ ([в], [Ь]) будем писать в форме a —■- Ь.

D1. Предикат:

1) если a',...,a" (n 1) суть предикаты, то (а1 •... - a"), (а1 V ... V а”), (-/а1,..., а”) и (v/а1,..., a") суть предикаты;

2) если a есть предикат, то ~ а и а суть предикаты;

3) если X есть высказывание, а Q — предикат, то Q J. X есть предикат;

4) если X есть высказывание, то X J. есть предикат;

5) нечто есть предикат лишь в силу 1-4.

D2. Субъект:

1) если a',...,a" (n 1) суть субъекты, то (а1 •... - a"), (а1 V... V а"), ( /а1,..., а") и (v/a1,..., а"), (а1,..., а") суть субъекты;

2) если а есть субъект, то ~ а есть субъект;

3) если X есть высказывание, а а есть субъект, то а | X есть субъект;

4) если X есть высказывание, то I X есть субъект;

5) если а есть субъект или предикат, то [а] есть субъект;

6) нечто есть субъект лишь в силу 1-5.

D3. Субъекты и предикаты суть термины.

Db. В качестве сокращения для (а —1 b)(b —1 a) будем писать ат^Ь.

Аксиомы AI:

1. I

2. I- а —- ad;

3. I- аЬ —1 da;

4. F adca(dc);

5. F~(ab);=±~a V~b;

6. (а -*■ b) F (~ b a);

7. (a -*■ d)(d —1 c) F (a -*■ c);

8. (a -*■ c)(d —1 с) I- (ad —■■ c);

9. I- (a V ~ a) -*• b.

Аксиомы All:

1. (PQ)(a) F P(a)Q(a);

2. P(ad) I- P(a)P(d);

3. P(a) V Q(a) I- (PQ)(a);

4. -i P(a) V -i Р(Ь) I- P(ab);

5. (PvQ)(a)dFP(a) VQ(a);

6. P(a V b) d F P(a) V P(d);

7. i(Pv Q)(a) dh-iP(a) Q(a);

8. -i P(a V Ь) d b -i P(a) P(d);

9. a(/Р, Q)(a) d F aP(a)aQ(a);

10. aP(/a, d) dF aP(a)aP(d);

11. a(v/P, <I)(a) d F aP(a) V a<?(a);

12. aP(v/a, d) d F aP(a) V aP(d);

13. P(a) d F P(a).

Мы не будем здесь излагать теорию терминов в полном виде. Ограничимся тем, что приведем еще группы разнородных аксиом как пример различных направлений, по которым можно разрабатывать теорию терминов:

1. (1 Х?=± | У)-I I-(X 1);

2. (J Х?^ ! Г)-I I-(а | X ?=* а | Г);

3. I- a —* a J. X;

4. H(HhK)-p^U);

5. I- (a, b, c) (a, (b, c));

6. (XEK)h(l

7. (a —6)(Va)aP(a)h(Vb)aP(b);

8. (a — b)(3 b)aP(b) I- (3 a)aP(a);

9. (Va)X(3b)~X h-~(a-b);

10. (a V a)/3P(a J. X) 3 h (aV a J. X)/3P(a 1 X);

11. X(Va J. X)Y I- У;

12. X(V 1 Х)У h Y;

13. |-(а|Х)|Г;=± (а|Г)1Х.

§ 20. Субъектно-предикатные термины

Сделаем несколько добавлений к тому, что говорилось о терминах. Они позволят нам указать на некоторые детали терминотворчества, играющие на наш взгляд важную роль в науке.

Из высказываний aP(s) и ~ aP(s) образуются термины по правилам, рассмотренным выше. Но читаются эти термины так, что фактически неявно употребляются сокращающие операции. Так, s | (Р(з)) читается как «з, который имеет Р», з J. (-iP(s)) — как «з, который не имеет Р» и т. п. Эти сокращения могут быть записаны особого рода правилами:

А1. Если з есть субъект, аР — предикат, то s J. аР и аР суть субъекты, а Р [ as и Р as суть предикаты.

Вообще говоря, научная деятельность в большей мере состоит именно в изобретении сокращений для языковых конструкций. Причем эти сокращения изобретаются как стандартные и более или менее широко действующие.

Определения предикатов осуществляются по схеме aP(s) = X, где X есть fiQ(s), конъюнкция высказываний такого рода или дизъюнкция таких конъюнкций. При этом определяются не сами по себе предикаты, а содержащие их высказывания. Это обстоятельство особенно важно иметь в виду при выяснении смысла таких терминов, как «истинно», «ложно», «существует» и т. п. Неверно ставить вопросы «Что есть истина?», «Что есть существование?» и т. п. Разумны лишь вопросы о смысле выражений «X истинно», «X ложно», «з существует» и т. п., да и то лишь при том условии, что заданы какие-то дополнительные сведения относительно Хи з (структура, тип объекта и т. п.).

§ 21. Смысловые отношения терминов и высказываний

При построении теории логического следования, говорили мы, необходимо принимать во внимание смысловые отношения высказываний. Если теория логического следования уже построена, ее в свою очередь можно использовать для определения отношений терминов и высказываний, относимых к числу смысловых. Никакого круга в определениях при этом не получится по двум причинам. Во-первых, логическое следование не определяется через смысловые отношения высказываний. Последние лишь учитываются при изобретении определения логического следования как эвристическое средство, но определением его является совокупность некоторых логических систем. Последние являются в некотором роде исходными, не предполагающими с формальной точки зрения никаких иных понятий логики. Во-вторых, при изобретении теории логического следования учитываются вполне конкретные структуры высказываний, для которых принимается тождественность смысла, тогда как сейчас речь идет об определениях, не зависящих от структуры высказываний.

D\. Высказывание У включается по смыслу в X (У есть часть смысла или содержания X), если и только если доказуемо ХНУ.

D2. Хи У эквивалентны по смыслу, если и только если доказуемы ХНУиУЫ.

Таким образом, выражение «У содержится по смыслу в X» не есть нечто первично ясное по отношению к выражению «из X логически следует У», а наоборот: лишь при условии определения логического следования возможно дать точное определение включения по смыслу.

Пусть У образуется из X путем замены термина a терминов Ъ везде, где a входит в X.

D3. Термины а и Ъ дедуктивно связаны, если и только если доказуемо по крайней мере одно из ХНУ и У НХ.

O4. Термин Ъ дедуктивно включается в термин a, если и только если доказуемо ХНУ.

D5. Термины and дедуктивно эквивалентны, если и только если доказуемы оба X Н- У и Y h X.

D6. Термин a дедуктивно сильнее термина Ь, если и только если доказуемо X I- Y и доказуемо Y I- X.

Пусть U есть совокупность (конъюнкция) высказываний данной области науки Т, в которую (в U) не входят X и Y.

D7. Высказывание Z есть собственное следствие X в Т, если и только если недоказуемо U I- Z и доказуемо XU Z (т. е. Z не следует из U и следует из XU).

D8. Высказывание Y дедуктивно включается в!в Т, если и только если всякое собственное следствие Y в Т есть собственное следствие X в Т.

D9. Высказывания X и Y дедуктивно эквивалентны в Т, если и только если каждое из них дедуктивно включается в другое в Т.

DI0. Высказывание Y дедуктивно включается в X, если и только если Y дедуктивно включается в X в любой области науки. Высказывания X и Y дедуктивно эквивалентны, если и только если они дедуктивно эквивалентны в любой области науки.

PH. Предикаты Р и Q будем называть логически сопряженными, если и только если для них имеют силу утверждения

P(a)HH-nQ(~a),

-nP(a)HbQ(~a),

?Р(а) HI-?Q(~a).

Р12. Предикат Р категорически сильнее предиката Q, если для них имеют силу утверждения

P(a) h Q(a),

Q(a) I- P(a),

?Q(a) l-~P(a).

§ 22. Многозначная логика и теория логического следования

При обосновании тезиса неуниверсальности логики имеют в виду неуниверсальность теории логического следования (теории вывода). И при этом ссылаются на многозначную логику. Эти ссылки совершенно неправомерны прежде всего с чисто формальной точки зрения (по «техническим» соображениям). Поясним, в чем тут дело.

Действительно, можно построить многозначную логическую систему так, что некоторые тавтологии («законы») двузначной логики не будут тавтологиями в данной многозначной логике. Однако такую многозначную систему можно придумать для любой тавтологии двузначной логики. Кроме того, само выражение «такая-то тавтология двузначной логики не является тавтологией в такой-то многозначной логике» нуждается в пояснении.

Примем следующее определение:

D\. Пусть Fn есть функция некоторой многозначной логики. Если из ее определения исключить все значения истинности, кроме двух, соответствующих значениям двузначной логики, и при этом получится определение некоторой функции F2 двузначной логики, то Fn будем называть многозначным аналогом для F2, a F2 — двузначным аналогом для Fn (функции Fn и F2 суть аналогичные функции).

D2. Пропозициональная формула двузначной (многозначной) логики является аналогом (или аналогичной) пропозициональной формулы многозначной (двузначной) логики, если и только если одна из них может быть получена из другой, путем замены знаков функций соответствующими знаками аналогичных функций.

Пусть L2 есть функционально полная система двузначной пропозициональной логики, a Ln — некоторая многозначная система. Тривиально просто доказываются утверждения.

Т1. Для любой тавтологии А2 в L2 может быть построена такая Ln, что Ап, аналогичная А2, не будет тавтологией в ней.

Т2. Если Ln функционально полна, то для каждой F2 в ней возможны по крайней мере два различных аналога F" и F"; для каждой пропозициональной формулы А2 в L2 возможны по крайней мере две различные аналогичный ей формулы Л" и Л" в Ln.

Т3. Для любой тавтологии А2 в L2 в функционально полной системе Ln могут быть найдены (определены) такие аналоги входящих в А2 функций, что аналогичная ей Л" будет тавтологией вЬ",а Л" — нет.

Приведем доказательство ТЗ. Все тавтологии L2 равнозначны, все функции L2 определимы через V и ~ . Поэтому достаточно взять формулу X V ~ X и построить трехзначные аналоги для V и ~ . Пусть значения истинности в двузначной логике суть 1 и 3, а в трехзначной — 1, 2 и 3. Тавтология в обоих случаях пусть принимает всегда значение 1. В двузначной логике V и ~ определяются так: 1) X V У = min (X, У); 2) если X = 1, то ~ X = 3; если X = 3, то ~ X = 1. В трехзначной логике определение V остается то же, так что трехзначная дизъюнкция явно есть аналог двузначной. Что же касается отрицания, то возможны два трехзначных его аналога. Первый аналог получается путем дополнения к определению (2) такого пункта: а) X = 2, то ~ X = 2. Второй аналог получается путем дополнения к определению (2) такого пункта: Ь) если X = 2, то ~ X = 1. Теперь легко можно убедиться в том, что трехзначная I будет тавтологией, если трехзначное ~ есть второй аналог двузначного, и не будет тавтологией, если трехзначное ~ есть первый аналог двузначного. Изменим теперь определение дизъюнкции: X VK = 3 при 1=2иУ = 2; X V Y — min (X, Y) в остальных случаях. Если тавтологией будем считать формулу, всегда имеющую значение 1 или 2, наше утверждение сохраняет силу. Так что Т3 верно при любом определении тавтологии (т. е. при любом разбиении значений истинности на отмеченные и неотмеченные).

Таким образом, многозначная логика не подтверждает как тезис универсальности, так и тезис неуниверсальности логики, — она сама по себе не имеет к нему никакого отношения.

Правила логического следования не зависят от числа значений истинности высказываний в том смысле, что они являются одними и теми же для высказываний с одинаковой структурой, какими бы они ни были с точки зрения числа значений истинности (двузначными, трехзначными и т. д.). Это означает, что свойства логических операторов не зависят от числа допускаемых значений истинности высказываний. Многозначная концепция логики играет важную роль в логике. Но непосредственно заключать, что допущение многозначности высказываний ведет к тому, что изменяется теория логического следования, значит допускать грубейшую ошибку.

Обнаружение многозначности высказываний влияет на теорию логического следования косвенно: оно способствует (наряду с другими обстоятельствами) дифференциации логических операторов и введению новых. Однако, какие бы логические операторы ни вводились, их свойства в теории логического следования определяются независимо от гипотезы многозначности, которая играет здесь эвристическую роль, и не более того. Причем для «обработки» теории логического следования с любыми операторами оказывается достаточной двузначная оценка высказываний (достаточно значений «истинно» и «неистинно»).

Сказанное важно иметь в виду, когда читатель столкнется с разговорами о локальности законов логики, об их зависимости от предметной области и т. п. В частности, из сказанного следует, что не требуется никаких особых правил логического следования для квантовой механики, которые отличались бы от правил для классической физики. Более того, их вообще невозможно изобрести без риска превращения их в универсальные, т. е. имеющие силу для любой науки, в том числе и для классической физики. Точно так же ошибочно полагать, что нужна различная теория вывода для различных областей математики.

§ 23. Интуиционистская логика

В интуиционистской (конструктивистской) логике, как и в классической, доказуемы формулы

(Va)P(a)DP(6),

P(b) 3 (3 a)P(a),

~ХХ 3 У,

X 3~(~УТ)

и другие формулы, в которых в консеквенте фигурируют переменные, отсутствующие в антецеденте. Так что при интерпретации интуиционистской импликации в качестве знака логического следования получаются парадоксы, аналогичные парадоксам материальной и строгой импликаций. Уже по одной этой причине интуиционистская логика не может играть роль общей теории дедукции. Возможность истолкования ее в качестве некоторого специального случая теории дедукции мы не отвергаем.

Интуиционистская логика имеет другой, более важный недостаток с точки зрения ее претензий на роль общей теории логического следования. Рассмотрим его подробнее.

Интуиционисты обратили внимание на то, что отрицание ложности утверждения не всегда есть признание его истинности (так бывает в некоторых случаях в области математики, имеющей дело с бесконечными множествами). Такой эффект получается по следующей причине. Высказывания математики суть высказывания об абстрактных объектах, и вопрос об истинности и ложности решается в зависимости от возможности их доказательства или опровержения (а также в зависимости от возможности «построить» соответствующие объекты). Пусть высказывание считается истинным, если оно доказуемо, и ложным, если оно опровержимо (если доказуемо его отрицание). Но возможны случаи, когда высказывание нельзя доказать и нельзя опровергнуть, — когда оно неразрешимо. И в этом случае отрицание ложности высказывания не обязательно дает признание истинности: оно может означать и неразрешимость высказывания. Таким образом, рассматриваемые случаи могут быть описаны в трехзначной логике.

Исходя из указанных фактов, интуиционисты ограничили классическую логику с таким расчетом, чтобы закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания не попали в число законов логики. Однако здесь произошло одно интересное смешение.

Что, собственно говоря, понимать под законом исключенного третьего? Утверждение «X или не-JT» или утверждение «Либо X истинно, либо X ложно»? В классической логике, базирующейся на принципе двузначности высказываний, эти утверждения равнозначны. Но в том случае, когда высказываниям приписываются три или более значения истинности, они оказываются неравнозначными. Первое из них сохраняет силу независимо от числа допускаемых значений истинности высказываний как следствие определения отрицания и дизъюнкции или как следствие определений значений истинности для высказываний с этими операторами. Равнозначным ему является утверждение «Либо X истинно, либо не является истинным X», истинность которого точно так же не зависит от числа значений истинности, которые может принять X. Второе же утверждение оказывается неверным в случае, если число возможных значений истинности X больше двух. В рассматриваемом случае верным будет утверждение «Либо X истинно, либо X ложно, либо X не истинно и не ложно (а, скажем, неопределенно».

Интуиционисты (в логике) указанное различение не произвели и исключили из числа законов логики не только второе утверждение, но и ни в чем не повинное первое.

Аналогично получилось с законом снятия двойного отрицания. Утверждение «Если не-не-Х, то X» сохраняет силу в любом случае, что видно хотя бы уже из того, что всегда сохраняет силу его семантический эквивалент «Если неверно, что X не является истинным, то X истинно». Утверждение же «Если неверно, что X ложно, то X истинно» ошибочно в случае, если число допускаемых значений истинности X больше двух.

Интуиционисты, обнаружив ошибочность второго утверждения для случаев трехзначности высказываний, исключили из числа правил логики и первое утверждение. Одним словом, обнаружив неклассическую ситуацию (поясним ниже в общем виде), они осмыслили ее в рамках классических представлений.

Таким образом, идея ограничить закон исключенного третьего (и правило двойного отрицания) возникла на основе рассмотрения внутренней структуры высказываний (субъекты, предикаты, кванторы), не учитываемой на уровне пропозициональной логики. Однако интуиционисты не ввели логических знаков (знак неопределенности, два вида отрицания), которые позволили бы получить эти ограничения естественным образом, не затрагивая ни в чем не повинную пропозициональную логику. Поэтому они вынуждены были ввести упомянутые ограничения уже на уровне пропозициональной логики, как некую априорную предпосылку.

Но интуиционистское ограничение пропозициональной логики бессмысленно, ибо пропозициональная логика должна дать исчерпывающее определение логических знаков «и», «не», «или» и т. п., а упомянутое ограничение означает при этом лишь то, что определение этих знаков оказывается частичным, неполным. В результате, в интуиционистской логике оказывается недоказуемым некоторый класс формул, которые не вызывают никаких сомнений с точки зрения интерпретации их как правил логического следования.

Таким образом, при интерпретации интуиционистской логики как теории логического следования получается искаженная (неправильная, «смещенная») система: в ней принимаются интуитивно парадоксальные правила и отвергаются интуитивно несомненные правила логического следования.

В нашей концепции нет надобности формулировать интуиционистскую логику как особую систему теории логического следования. Интуиционистские идеи реализуются здесь как естественное следствие различения отрицания.

В наших системах неклассической теории кванторов недоказуемы формулы

~(-iVa)Xh(Va)X,

~ (-1 а a)X h (3 a)X,

~->Р(а)1-Р(а),

(-л Va)X D (Va)X,

(-13 a)X D (3a)X,

I---- P(a) D P(a),

h(Va)IV(-iVa)I,

h (3 a)X V (-13 a)X,

hP(a) V->P(a).

Раздел V

КВАЗИСЛЕДОВАНИЕ И ФИЗИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ

§ 1. Условные высказывания

К условным высказываниям относят высказывания, обычно записываемые в форме «Если X, то У». Их интуитивный смысл таков: приняв (признав истинным) X, исследователь должен принять и Y. Будем их изображать (как и выше) символом

X->Y.

Высказывание X при этом называют антецедентом, a Y — кон-секвентом (D1). Отрицания и неопределенность для таких форм будем записывать символами

Х-. -»У,

X? Y.

Рассмотренные в предшествующих главах правила логики распространяются и на эти формы благодаря определению:

D2. Если X и Y суть высказывания, то Ха —► Y есть высказывание, где а означает наличие внутреннего отрицания, неопределенности или отсутствие таковых.

Условные высказывания можно разделить на группы по различным признакам:

1) универсальны или локальны антецеденты и консеквенты;

2) входят или нет в консеквент знаки Rx;

3) получаются или нет из логического следования.

Оказывается, между этими признаками имеется связь, и вполне достаточным является деление, устанавливаемое следующими определениями:

D3. Высказывания X —► У, в которых У не содержит Rx (и последний не предполагается контекстом), и их отрицания образуют квазиследование.

Db. Высказывания (X —► (Rx)Y)/v, где Rx фиксирует положение |у| в пространстве и времени относительно \х\, a v — условия, суть высказывания о физическом следовании.

§2. Квазиследование

Высказывания квазиследования получаются следующими путями:

1) как первичные соглашения;

2) из отношений логического следования высказываний;

3) по правилам логики из других высказываний того же рода.

В пункте 2 имеется в виду получение высказываний по схеме, определяемой утверждениями:

А1. Если из X ■ Z логически следует Y, и при этом Z истинно или пусто (отсутствует), то X —» Y.

А2. Если для любого истинного Z из X Z логически не следует Y, то Х-. -> Y.

АЗ. ~ (X -> У) = (Х-> ->У).

(Неопределенности здесь исключены самим способом построения высказываний.)

Утверждения А1 и А2 можно записать в такой форме:

А\. (X F К) -» (X —» У), (X ■ Z F- У) ■ Z -» (X -» У);

Л2. ~ (X ■ Z F У) • Z -»(Х-. -» У).

Значения истинности для квазиследования определяются в зависимости от способа их построения:

D1. Если X —> У принято по соглашению, то оно считается истинным.

D2. Если из X Z логически следует У, где Z истинно или пусто, то X —» У истинно.

D3. Если из любого истинного Z из X Z логически не следует У, то X -» У ложно.

Прочие значения истинности здесь не требуются. Определить значения истинности X -» У через значения истинности I и У здесь невозможно по тем же причинам, по каким логическое следование не есть функция истинности посылок и заключений. Утверждение «Если X истинно и ложно, то X -» У ложно» имеет силу как следствие свойств логического следования и не является показателем того, что X -» У есть функция истинности 1иУ.

§3. Дедуктивные свойства квазиследования

Дедуктивные правила квазиследования определяются такими утверждениями, добавляемыми к изложенным в предшествующих главах правилам логического следования:

А1.

А2. (Х-*У)Н(~У-*~Х);

АЗ. (X -» У) • (У -» Z) F (X -» Z);

А4. (X • У -» Z) Ч F (X -»(У -» Z));

А5. (X -» У • Z) Ч F (X -» У) ■ (X -» Z);

А6. (Х:У-»Я)Ч|-(Х-~У-»Я)-(~Х-У-»Я);

(X1 :Х2:...:Х"->У)ЧН(Х'-~Х2-...-

•~х" -*у)-(х2-~х' •...•~х" -*у)-...-

•(Х"-~х‘ >...-~Х"“' —> У),

(X1 : X2 :...: X" -*• У) Ч F (X1- ~ X2 •... ■ ~ X" У) ■

■ (~ X1 • (X2 : ... : X") -» У),

(Х! : X2:... : X" -» У) Ч F ((X1

■ (~Х*+1 -... -~Х") -»У)-(~Х‘ • ...•~х* •

•(x‘+1 : ... : X") -»У);

А7. X -»(У : Z) Ч F (X -» У): (X -» Z),

(X -»(У1 : У2: ... : У") Ч F (X -» У’) : (X -» У2):... :

: (X -»У");

А8. (X —> У) F (V |х|)(Х —> У);

Л9. Х У I—(Х->~у);

ЛЮ. (ХНУ)-» (F (X -» У)).

Следствия А\ - А10:

Т\. Р(~Х-Х-»У),

F(y-»~(~X-X)),

F (X -»(У -» X)),

F(X->(~X->y));

Т2. (F (X J У)) -»(F (X -» У)).

Как видим, квазиследование обладает свойствами, аналогичными «парадоксам» материальной импликации; но полного совпадения здесь нет. В частности, ~ ((X -» К) -»(I Э К)).

Т3. (Т : У) <-» (Т ->~У) (~Т -> У);

Т4. Т-^((Т->~У)->~(Т^1>)).

§4. Условия

Прежде чем перейти ко второму виду условных высказываний, уточним термин «условия» (или «условие»).

Надо различать логические и эмпирические условия. Первые определяются такими соглашениями:

D\. \х\ есть активное условие |у|, если и только если X —» У.

D2. [х\ есть пассивное условие |^|, если и только если ~ X —У.

D3. |ж| есть полное условие \у\, если и только если (X —» У) • (~Х-»~У).

D4. 1а:11,..., \хп\ суть достаточные условия |^| (п 1), если и только если X1 ■... ■ Хп -+ Y.

D5. |х1|,..., \хп\ суть необходимые условия \у\, если и только если ~ (Т| ■... • Хп_ | —» У), где Xi,..., Т„_ | суть любые п — 1 высказывания из X1,... ,Хп.

Когда речь идет об эмпирических условиях, то имеется в виду нечто принципиально иное. Эмпирическое событие выбирается всегда в некоторой пространственно-временной области. Все прочие события этой области суть эмпирические его условия или среда (D6). Они предполагаются неявно или частично фиксируются в особых высказываниях. В последнем случае получаются высказывания типа «X при том условии, то V», где V есть некоторая совокупность высказываний об эмпирических событиях, отличных от \х\, об их упорядоченности, об их порядке относительно \х\ и т. д. Будем такие высказывания изображать символами типа

X/v.

Никакой логической связи между X и V в случае X/v нет. Однако фиксирование эмпирических условий имеет существенное значение при установлении логических связей высказываний об эмпирических объектах.

Высказывания X/v суть частный случай ранее рассмотренных высказываний со сложным субъектом вида «s, выбранный при том условии, что V» (обозначим символом s/v). Поэтому V можно рассматривать как обособившуюся часть субъекта, вынесенную во вне. Для нее имеют силу утверждения:

А\. X/vY/v = (X-Y)/v,

А2. X/v : Y/v = (X : Y)/v,

Xl/v : X2/v :...: Xn/v = (X1 : X2:... : X")/v;

A3. (aAs/v)(s/v 4- PX) = ((aAs)(s «- PX))/v, где Я обозначает квантор V или 3 ;

А4. (X/v -»(Rx)Y/v) = (X -> (Rx)Y)/v.

Эти правила выноса условий позволяют упрощать высказывания, вынося тождественные знаки условий в «контекст» и избегая их повторений.

Сказанное можно рассматривать как пример того, что введенные выше формы отрицаний не охватывают всех возможных случаев. Так, если нужно сказать, что X не при том условии что V, а при каком-то другом, то этими отрицаниями воспользоваться нельзя.

§ 5. Физическое следование

Высказывания о физическом следовании получаются как первичные соглашения и по правилам логики из других высказываний того же рода. Но их нельзя получить из отношений логического следования по схеме, аналогичной схеме получения квазиследования, так как для них имеет силу утверждение:

А1. Для любого Z, если из Z логически не следует (Rx)Y и не следует X -»(Rx)Y, то из X • Z логически не следует (Rx)Y.

Если высказывания о физическом следовании не являются первичными соглашениями и не выводятся из других аналогичных высказываний, то общая схема их построения имеет такой вид:

1) наблюдается \х\\

2) наблюдается |^| в пространственно-временном отношении R к \х\~,

3) указанное в пунктах 1 и 2 имеет место каждый раз, т. е. для всех И;

4) указанное в пунктах 1-3 имеет место в одних и тех же условиях |v|;

5) сокращением всего этого является (X -»(Rx)Y)/v или X/v -» (Rx)Y/v.

Сказанному соответствуют утверждения (знак условий опускаем, но он везде предполагается):

А2. (Х-»(Яа:)Г)4-»(У|а:|)((Яа:)Г);

АЗ. (X -»(Rx)Y) «-» N\(Rx)y\.

Отрицания и неопределенность (а здесь она возможна) определяются утверждениями:

Л4. (Х-1-»(Яа:)Г)4-»(-1У|а:|)((Яа:)Г);

А5. (Х-. -»(Rx)Y) «-» M\(Rx)~y\A;

А6. (X? -»(Rx)Y) « (?У|г|)((Яа:)У);

Л7. (Х?-»(Яг)Г)4-»?М|(Яа:)~»|.

Следствия АЗ-АТ.

Т1. (Х-»(Яа:)Г)4-»-1М|(Яа:)~у|;

Т2. (Xi -> (&в)У) «-» (3 |г|)((Яа:)~Г);

ТЗ. ~ (X -»(Ях)У) (V |a;|)((Jfce)r);

Т4. ~ (Ха -> (&в)У) «-» (Хр -»(&в)У) : (X? -»(Яа:)У), где а, р и 7 имеют смысл, аналогичный их смыслу в соответствующих случаях выше.

Т5. ~ ((Ха -» (&в)У)) - (Хр -»(йж)У),

где а и /3 различны в любых комбинациях.

Частный случай приведенной схемы — для всех |—■ ж| => \х\ наблюдается |-ix| => \х\ и наблюдается |-iy| => |у| в отношении R к |-> х\ => |х|, что и сокращается в высказывании (Н т| => |ж|) —» (й)(|-'^| => |у|). Отношение рассмотренных высказываний определяется утверждением:

А8. ((|-> ж| => |х|) -> (7?ж)(|-> => |у|)) -> (X -> (Rx)Y).

Но когда именно исследователь имеет право сказать «каждый раз», «для всех \х\» или «для всех |~i т| => |а:|»? Указать здесь всеобщие рекомендации, подобные правилам логического следования, невозможно. Утверждая это, мы не столько учитываем печальный опыт истории логики на этот счет, сколько самую суть дела: принудительная сила правил логического следования есть принудительная сила соглашений людей относительно свойств логических знаков и содержащих их структур высказываний; в рассматриваемом же случае приходится иметь дело с отражением мира, который не зависит от конвенции.

Прежде всего надо сказать, что в познании существенную роль играет удача. В мире встречаются случаи, когда |у| существует в отношении R к \х\ при любых условиях. И если исследователь после нескольких наблюдений принимает X -»(Rx)Y, последнее становится элементом научных знаний несмотря на отсутствие каких бы то ни было логических оснований для этого. Встречаются, далее, случаи, когда |^| существует в отношении R к |ж| всегда при определенных условиях. А условия эти всегда даны в опыте исследователя (например, существование Земли, поля тяготения, воздуха и т. п.). Причем, не играет роли, известны они исследователю или нет. Судьба X -»(Rx)Y в таких случаях аналогична тому, что говорилось выше.

Имеются, далее, некоторые эвристические принципы, которые в практическом исполнении дают иногда положительный эффект, иногда — нет. К их числу относятся известные индуктивные методы Бэкона—Милля. Поскольку эти эвристические принципы хотя бы иногда дают возможность получить истинные высказывания, их применение вполне оправдано. Что же касается ошибок, то занятие наукой стало бы самым заурядным делом, если бы ученые их не делали.

Возьмем такой пример. Пусть в некоторой пространственно-временной области сначала осуществляется Н х\ => \х\, а затем — у\ => . Если при этом все остальное в ограниченной нами области остается неизменным, то мы вправе принять (|—>=> |ж|) -» (Rx)tf-<yl => lyl), где Rx есть «вслед за этим». В практическом же исполнении этого принципа постоянство «всего остального» — дело немыслимое, и судьба нашего высказывания зависит от того, насколько остающееся на самом деле неизменным близко ко «всему остальному».

§6. Значения истинности

В случае квазиследования определения значений истинности совпадают с описанием способа построения высказываний. Для физического следования такого совпадения нет. Так, представляется правомерным следующее определение: [Т -» (Лж)У] <— v1, если и только если каждый раз, когда истинно X, истинно и У в отношении R к )х\.

Однако X -» (Rx) принимается как истинное вовсе не потому, что пересмотрены все случаи, когда X истинно, и убедились при этом в том, что У истинно в соответствующем месте. Если бы это было так, построение высказывания было бы лишено смысла. Оно было бы безупречно с логической точки зрения, но им нельзя было бы пользоваться в новых ситуациях, когда истинно X. Высказывание принимается в силу тех эвристических соображений, о которых мы говорили выше. При этом порой бывает достаточно рассмотрения одного случая, когда истинно X, а условное высказывание приобретает силу для любого числа случаев. И после его принятия оно оправдывается в большом числе случаев, это не означает, что вопрос о его истинности может быть решен окончательно по крайней мере апостериори.

Определения значений истинности для физического следования можно построить различными способами и, в частности, — так (тождество условий предполагается):

D1. [X-4 (Лв)Г] 4-=М\х\-^М ||а:|Я|~у||;

D2. [X -у (Rx)Y] 4- v2 = м\х\ -1\М || x\R\~y ||;

D3. [X -> (Rx)Y] ч- v3 =~ Af|х\-,

D4. [X -»[Rx)Y] ч- v4 = Af|®| • М || г|Я| Ц;

D5. [Х-1 ->(Ла:)У] 4- v1 а [X -> (Ла:)У] 4- «4;

D6. [Х-> (Ла:)У] 4- v2 = [X -» (Ла:)У] 4- v2;

D7. [Х-< (Rx)Y] 4- v3 = [X -> (Rx)Y] 4- v3;

D8. [Ii -> (Ла:)У] 4- v4 = [X -4 (Rx)Y] 4- ®’;

D9. [X? -» (Ло:)К] 4- v1 = [X -»(Rx)Y] 4- v2;

Z>10. [X? (Rx)Y] 4- v3 = [X -> (Rx)Y] 4- v3;

Dll. [X? -> (Rx)Y] 4- v4 = [X -4 (йо:)У] 4- •_

: [X-i -4 (Ях)У14-v1.

В практике науки бывает так, что M\(Rx) ~ , но X —»(Ло:)У принимается как истинное, поскольку вероятность |(Ла:) ~ у| достаточно мала. Поэтому уместны определения:

DI1. [X -4 (Rx)Y\ 4- v1 н М\х\ ■ (p\(Rx)y\ а),

где а есть степень вероятности, достаточно близкая к единице.

D41. [X -4 (Rx)Y] 4- v4 = М\х\ ■ (p\(Rx)y\ -S),

где р есть степень вероятности, достаточно близкая к нулю.

§ 7. Дедуктивные свойства физического следования

На физическое следование распространяются правила квазиследования с такими коррективами:

1) для всех событий, о которых говорится в одном утверждении, предполагается тождество условий (к утверждениям приписываются выражения «при одних и тех же условиях» или везде проставляется одинаковый знак условий);

2) последняя аксиома исключается, поскольку нет логических истин, являющихся высказываниями о физическом следовании;

3) во второй и третьей аксиоме вводятся дополнения, связанные со знаками порядка событий.

В результате аксиомы А1-А4, А9 примут такой вид:

А1. (X -»(Rx)Y)/v - X/v F (Rx)Y/v;

Al. (X -»(Rlx)Y)/v- (з'й'з2 -»з2й2з‘) F (~У -»(R2~y)~X/v;

АЗ. (X -»(Я‘а:)У)/® - (У -»(R2y)Z)/v- (s'-R's2 •

• з2й2з3 -> з'й3з3) F (X -> (R3x)Z)/v;

A4. (X • У -» (Ab • »)Z)/t> 4 F (X -»(У -»(Jta • »)Z)/t>;

A9. (Jr-(&B)y)/®F~(X-»(AB)~y)/v.

Аксиомы A5-A8 будут отличаться от прежних лишь наличием одинакового знака условий в посылках и заключениях и наличием знаков Ra после знака —+, где а есть антецедент соответствующих высказываний.

Поскольку высказывание о физическом следовании не может быть истинным, если не может быть истинным его антецедент, то приемлемо утверждение:

ЛЮ. (X -»(Rx) ~ У) I— (X -»(Rx)Y).

Квазиследование же может иметь место и в случае всегда ложного антецедента, так что для него верно лишь более слабое утверждение Т5.

Связь квазиследования и физического следования, если они встречаются совместно, устанавливается утверждениями:

All. (X -»(Rx)Y) • (У -» Z) F (X — (Rx)Z);

АП. (X -» У) • (У -»(Ra)Z) F (X -»(Ra)Z);

А13. (X — (Rx)Y) - ((Rx)Y -» Z) F (X -» Z);

A14. (X —(й'а)У) - ((й'а)У -»(R20)Z) F (X -» (tf2/3)Z).

Если принять утверждение

Al'. (X-♦ У) Ч F (X-♦ У)/®;

A2'. (X -» У) F (X -»(Яа)У);

АЗ'. (X —» У) F ((Яа)Х -» У),

(где |®| есть любое условие, |а| есть любое событие, в X и У не входит Ra), то утверждения Al, А4-А9 и А11-А14 получаются как следствия аксиом параграфа 3. В таком случае достаточно к А1'-А3' добавить А2, АЗ и А10.

Встречаются высказывания вида

(Rl x)Y -» (R2x)Z,

(R'xl)Y -» (R2x2)Z,

в которых порядок |z| относительно выражен не прямо (посредством Ry), а косвенно, т. е. через отношение к \х\, |х'|, \х2\. Для них имеют силу утверждения:

А15. ((R'x)Y -» (R2x)Z) Ч h (X ■ (Rlx)Y -» (й2о:)Я);

Д16. ((й'а:1)^ -» (R2x2)Z) Ч И (X1 ■ (й'а:1)У - X2 -»(R2x2)Z).

Раздел VI

НЕТРАДИЦИОННАЯ ТЕОРИЯ КВАНТОРОВ

Введение

Традиционной теорией кванторов мы называем направление и раздел логики, в котором для определения свойств высказываний с кванторами «все» и «некоторые» (и, очевидно, самих этих кванторов) используются логические исчисления и семантические правила и определения, обладающие следующими свойствами.

В упомянутых исчислениях доказуемы (являются теоремами) формулы вида АаВ (где а есть знак какой-то импликации, в частности — материальной или классической импликации, интуиционистской импликации и т. п.), в которых в консеквент В входят индивидные переменные, отсутствующие в антецеденте А. Причем, эти формулы доказуемы не за счет пропозициональных исчислений, содержащихся в рассматриваемых логических исчислениях, а за счет тех дополнений к пропозициональным исчислениям, благодаря которым получаются рассматриваемые исчисления. Так, в классическом исчислении предикатов доказуемы формулы (Va)P(a) D Р(Ъ) и Р(Ь) => (За)Р(а), в которых а и b суть различные виды индивидных переменных. Причем, эти формулы нельзя получить с помощью правила подстановки в пропозициональные переменные формул, доказуемых в классическом исчислении высказываний (т. е. они получаются не за счет простого расширения алфавита и класса формул пропозиционального исчисления). При истолковании таких формул АаВ в качестве правил вывода (логического следования), т. е. как утверждений «Из А логически следует В», получаются парадоксальные следствия, о которых мы скажем ниже. Назовем такие формулы интерпретационно парадоксальными.

Семантические правила для рассматриваемых исчислений формулируются с таким расчетом, чтобы интерпретационно парадоксальные формулы были общезначимы. Согласно этим правилам, области значения всех индивидных переменных, входящих в одну и ту же формулу (и вообще в класс некоторых формул) совпадают, т. е. все индивидные переменные принимают значения из одной и той же области индивидов (назовем это допущение гипотезой Н'). А согласно самому определению общезначимости формул область значения индивидных переменных не пуста (назовем это гипотезой Н2). С гипотезами Н1 и Н2 также связаны трудности и парадоксальные следствия, о которых мы точно так же будем говорить ниже.

В рассматриваемых исчислениях либо не учитывается вообще возможность различных позиций (различных видов) отрицания, либо учитывается не путем введения различных операторов для отрицания или указания различных позиций его в формулах, а лишь путем ограничений пропозициональных исчислений (как это имеет место, например, в интуиционистской логике). В результате получается, с одной стороны, неоправданное ограничение правил логики, а с другой стороны, из поля внимания логики выпадают целые классы правил, играющих существенную роль в языковых операциях науки и языкового общения.

На приведенные выше (и другие) свойства традиционной теории кванторов мы обращали внимание в работах «Логика высказываний и теория вывода» (М., 1962), «Основы логической теории научных знаний» (М., 1967), «Комплексная логика» (М., 1970), «Логика науки» (М., 1971) и других. В этих же работах была предложена теория кванторов, по всем указанным выше пунктам отличная от традиционной (и потому мы ее называли здесь нетрадиционной). В данном разделе мы подробнее рассмотрим упомянутые выше свойства традиционной теории кванторов и изложим нашу (нетрадиционную) теорию, внеся в соответствующее изложение ее в предшествующих работах целый ряд существенных дополнений, изменений, уточнений усовершенствований.

§ 1. Значение индивидных переменных

Выражения «значение индивидной переменной» и «область значения индивидной переменной» двусмысленны. Во-первых, под областью значения индивидных переменных имеют в виду множество терминов — субъектов (имен) языка («стол», «атом», «целое число», «положительно заряженная частица»). И с этой точки зрения область значения индивидных переменных не пуста: это — эмпирически установленный факт, поскольку мы можем привести примеры терминов, являющихся субъектами (именами, названиями предметов).

Во-вторых, областью значения индивидных переменных называют особого рода объекты, именуемые индивидами. Это могут быть заданные буквы, натуральные числа и т. п. Хотя природа и вид этих объектов безразличны (играет роль лишь их число), они практически задаются такими, что с точки зрения их создания (производства) они сходны с самими индивидными переменными (в частности, их можно вставлять на место переменных). Приведенные выше гипотезы Я1 и Я2 связаны именно с таким пониманием значений и области значения индивидных переменных.

Обратимся к первому пониманию значения индивидных переменных. Согласно этому пониманию, на место индивидных переменных подставляются термины-субъекты («стол», «атом», «число»). А так как на место предикатных переменных подставляются термины-предикаты, то из формул в результате таких подстановок получаются высказывания (суждения, предложения), а из теорем исчисления — логически истинные утверждения с этими высказываниями. Правила подстановки терминов-субъектов на место индивидных переменных таковы:

1) на место каждой индивидной переменной по отдельности может быть подставлен любой термин — субъект;

2) на место различных индивидных переменных, входящих в одну и ту же формулу, могут быть подставлены различные термины-субъекты (это не исключает того, что могут быть подставлены и одинаковые термины). Например, в выражении «а выше -», где а и & суть различные индивидные переменные, на место а может быть подставлено слово «стол», а на место Ь — слово «стул».

Но термины-субъекты сами имеют значение. Причем, можно говорить об области значения термина и об области индивидов, которые могут быть названы этим термином. Например, термин «стол» и «деревянный стол» суть элементы из области значения индивидных переменных (в рассматриваемом первом смысле), но сами они находятся, в свою очередь, в таком отношении: термин «деревянный стол» есть элемент из области значения термина «стол». Кроме того, каждый из этих терминов обозначает любой отдельный эмпирический стол и соответственно деревянный стол. Отдельные столы суть индивиды из области значения этих терминов.

Эти факты общеизвестны и просты. Но в сопоставлении со вторым из рассматриваемых здесь пониманий значения индивидных переменных они рождают путаницу, которая консервируется сложившейся в современной логике системой предрассудков.

Обратимся ко второму пониманию значения индивидных переменных. Соотношение индивидных переменных и индивидов из области их значения воспринимается при интерпретации исчисления в качестве логической теории по аналогии с соотношением терминов и элементов из их областей значения. Индивидные переменные рассматриваются при этом не как переменные для терминов с какими-то областями значений, а как термины с определенной областью значения. В результате областью значения индивидных переменных оказывается область значения терминов, которые могут быть подставлены на их место. Исчисление предикатов при этом выступает не как логическая теория, описывающая свойства любых терминов, входящих в высказывания, а как теория, описывающая свойства какой-то данной области предметов (например, чисел). Поскольку предметная область может быть взята любая, это создает видимость того, что исчисление является логической теорией. Исчисление предикатов при этом приобретает характер нелогической теории (фактически — математической теории). Истолкование же его в качестве логической теории ведет к парадоксальным следствиям.

§ 2. Парадоксы традиционной теории кванторов

Как уже говорилось, в классическом исчислении предикатов теоремами являются некоторые формулы A D В, такие, что В содержит индивидные переменные, отсутствующие в А. Причем, эти формулы доказуемы не за счет исчисления высказываний, содержащегося в классическом исчислении предикатов, а за счет тех дополнений к исчислению высказываний, благодаря которым получается исчисление предикатов. Другими словами, в исчислении высказываний нет таких теорем, подстановкой на место пропозициональных переменных которых получаются эти формулы. Таковы, например, формулы (Va)P(a) Э Р(Ь) и Р(&) D (Ва)Р(а).

Будем интерпретировать оператор D как «Если, то» или как знак логического следования. Подставим в приведенные формулы на место Р предикат, допустим, «электропроводен», на место a — термин «металл», а на место Ъ — термин «фарфор». Получим утверждение «Если все металлы электропроводны, то фарфор электропроводен» или утверждение «Из того, что все металлы электропроводны, логически следует то, что фарфор электропроводен». Но эти утверждения, очевидно, ложны. Следовательно, либо формула логики, из которой они получены в результате данной интерпретации, не может быть принята в качестве правила логики, либо сама интерпретация непригодна.

Чтобы выйти из затруднения, вспоминают о втором понимании значения индивидных переменных, которое в переводе на язык интерпретации формул исчисления в качестве правил логики выглядит так. Должна быть задана предметная область. В примере это — область металлов. Так что на место переменной а подставляется термин «металл», а на место переменной Ъ — термин, обозначающий какой-либо вид металлов (например, слово «медь»), кусок металла и т.п. В результате подстановки получим утверждение «Если все металлы электропроводны, то медь электропроводка» или утверждение «Из того, что все металлы электропроводны, логически следует то, что медь электропроводка». Первое утверждение верно. Но процедура его получения логически некорректна. Второе утверждение верно с оговорками, которые логически тоже сомнительны. Поясним, в чем тут дело.

Подставим на место переменной а термин «благородный металл», а на место b — термин «медь». Получим утверждение «Если все благородные металлы электропроводны, то медь электропроводка» или соответственно утверждение «Из того, что все благородные металлы электропроводны, следует, что медь электропроводна». Хотя термины «благородный металл» и «медь» суть термины из заданной области, полученные утверждения неверны. Чтобы избежать такого нежелательного следствия, неявно предполагают, что индивиды, обозначенные термином Ь, включаются в класс индивидов, обозначаемых термином a. В примере: поскольку медь не включается в класс благородных металлов (не есть благородный металл), рассмотренная выше подстановка недопустима. Правомерны лишь такие подстановки: 1) если на место a подставляется слово «металл», то на место b подставляется название любого металла; 2) если на место a подставляются слова «благородный металл», то на место Ъ подставляется название любого благородного металла.

Таким образом, интерпретация рассматриваемых формул в качестве правил логики (утверждений логически истинных) предполагает совокупность неявных оговорок и допущений. И прежде всего неявно предполагается, что индивиды из области значения терминов, подставляемых на место Ь, могут быть обозначены терминами, подставляемыми на место а. Но логика не признает никаких неявных допущений. Она обязана выявить все неявное, зафиксировав это в соответствующих правилах.

Итак, если предполагается интерпретация исчисления в качестве логической теории, устанавливающей свойства высказываний с кванторами, то индивидные переменг(ые должны рассматриваться как места, в которые могут быть вставлен^ термины-субъекты (названия предметов) любой природы: пустые и! непустые, индивидуальные и общие, с конечной и бесконечной областью значения. Причем, в различно обозначенные места (т. е. на место различных переменных) могут быть вставлены различные термины, и в том числе — термины, не находящиеся в отношении рода и вида. При этом утверждение «Из (V а)Р(а) следует Р(Ь)» в общем виде неприемлемо как правило логики, тогда как утверждение «Из (Уа)Р(а) следует Р(а)» как правило логики несомненно. Из высказывания «Все круглые квадраты остроугольны» логически следует высказывание «Круглый квадрат остроуголен», хотя круглые квадраты вообще не существуют, а приведенные высказывания оба неистинны. Из высказывания же «Все металлы электропроводны» логически не следует высказывание «Медь электропроводна», хотя оба приведенные высказывания истинны, а медь есть металл. Чтобы в последнем случае получить право сказать «логически следует», надо к посылке «Все металлы электропроводны» добавить еще посылку «Медь есть металл» (или «Медь относится к классу металлов»). Но соответствующее логическое правило еще нельзя ввести на уровне исчисления предикатов (исчисления кванторов), поскольку в языке его отсутствуют подходящие средства записи. Оно вводится лишь на уровне логики классов, базирующейся на теории кванторов (мы так и сделаем ниже).

Традиционная теория кванторов, как мы видели, неявно предполагает некоторую зависимость терминов, подставляемых на место различных переменных, чтобы избежать парадоксальных следствий при интерпретации одних формул исчисления предикатов в качестве правил логики. Но при аналогичной интерпретации других формул она вынуждена предположить именно отсутствие упомянутой зависимости. Этот поразительный факт мы рассмотрим ниже.

§ 3. Две формы отрицания

Пусть высказывание (V а)х нельзя доказать и нельзя опровергнуть, а пересмотреть все индивидуальные предметы а невозможно (например, в случае, если число а бесконечно, если одни предметы а исчезли в далеком прошлом, а другим еще предстоит появиться). Пусть все рассмотренные предметы а таковы, что х истинно. И как бы велико ни было число рассмотренных а, нет логических оснований признать высказывание (V а)х и его отрицание «Не все а таковы, что х». Таким образом, здесь имеют место три возможности: 1) (Уа)ж; 2) отрицание (V а)х, в котором оператор отрицания относится к оператору V и которое читается как «Не все а таковы, что ж»; 3) нельзя установить, все а таковы, что х, или не все а таковы, что ж; неизвестно, все а таковы, что х, или не все а таковы, что х. Таким образом, отрицание высказывания (Уа)ж (отказ признать его, согласиться с ним) может означать не только высказывание «Не все а таковы, что х», но также признание третьей возможности. И случаи такого рода дают достаточное основание для того, чтобы различать два вида отрицания не только в отношении простых высказываний, но и в отношении кванторов: внешнее отрицание, относящееся к высказыванию в целом, и внутреннее отрицание, относящееся к квантору. Традиционная теория кванторов это обстоятельство не учитывает.

Возьмем, например, высказывание

(Уж)(Уу)(Уг)(Уп)[((ж > 0) Л (у > 0) Л (z > 0) Л (п 3)) —>

->~(я"+УП = <)],

где х,у,гип суть целые числа. Отрицание его может означать не только признание того, что это высказывание верно не для всех х, y,z,n, но также признание того, что не известно или нельзя установить (пока или вообще), верно это высказывание или нет.

Но и независимо от того, встречаются практически такого рода высказывания или нет, логика вправе (и даже обязана) исследовать последствия, вытекающие из очевидного различия в положении оператора отрицания в высказывании.

Исчисления, в которых два вида отрицания не различаются, будем (как и ранее) относить к классическому случаю в теории кванторов. А исчисления, в которых отрицания различаются, будем относить к неклассическому случаю. Подчеркиваем, что классический случай в нашем понимании не совпадает с классическим исчислением предикатов (подробнее об этом см. ниже в § 35). Для большей наглядности будем употреблять различные символы для различных позиций отрицания.

Рассмотрим сначала классический случай, затем — неклассический. Поскольку нам необходимо установить свойства кванторов для любых высказываний, различие отрицаний в простых высказываниях во внимание принимать не будем (коротко скажем об этом в § 22). Наконец, рассмотрим сначала высказывания с операторами V и Л, затем в (§23) коротко остановимся на высказываниях с оператором условности (—»).

§ 4. Квантификация предикатов

Пусть имеется высказывание а <— Р, где a есть субъект (т. е. термин, обозначающий предмет, котором идет речь в высказывании), Р есть предикат (т. е. термин, обозначающий признак предмета), а стрелка есть оператор предикативности (оператор, с помощью которого субъект и предикат объединяются в высказывание). Например — «Электрон заряжен отрицательно». Используя некоторую стандартную процедуру, можно эти высказывания превратить в высказывание с двумя субъектами a и, допустим, зр и стандартным двухместным предикатом Q : (о, зр) <— Q, которое читается так: «a и зр таковы, что первый имеет второго в качестве признака (или что второй есть признак первого)». Например — «Электрон и наличие отрицательного заряда (способность быть заряженным отрицательно) таковы, что второе есть признак первого». Аналогично — для внутреннего отрицания и неопределенности а <— Р: они превращаются соответственно в (a, sp) -■ <— Q и (a, sp)?<— Q. Аналогично для случаев (o',..., an)«— P, где n 2.

Указанная выше процедура есть лишь прием в рамках логики, применяемый с целью сведения проблемы непривычной квантификации предикатов к проблеме привычной квантификации субъектов. Благодаря этому, мы получаем возможность с самого начала в общей форме рассматривать свойства кванторов независимо от того, относятся они к субъектам или предикатам высказываний.

§ 5. Семантические правила

Семантические правила традиционной теории кванторов (их можно найти в любом достаточно полном учебнике логики) навеяны тем очевидным обстоятельством, что:

1) высказывание (V а)х истинно, если и только если х истинно в отношении любого индивида, обозначаемого термином а (или если истинно любое высказывание, образованное из х путем замены а на термин, обозначающий предмет из области значений a);

2) высказывание (3 а)х истинно, если и только если х истинно по крайней мере в отношении одного индивида, обозначаемого термином a.

Однако для установления правил логики важна лишь зависимость значения истинности высказывания от значений истинности высказываний, входящих в него. Такие зависимости можно установить и для высказываний с кванторами. Так, если (V а)х истинно, то х истинно; если х истинно, то (3 а)х истинно; если х ложно, то (V а)х ложно; если (3 о)х ложно, то х ложно и т. п.

§ 6. Некоторые интуитивные соображения

Высказывания с кванторами будут изображаться символами вида (Va)i, (3 a)L, (-iVfl)a;, (-i3fl)a;, (?Vfl)x, (? 3 a)L, где есть внутреннее отрицание, стоящее перед квантором, ? — оператор неопределенности, a — субъект или предикат высказывания х.

Задача теории кванторов — установить правила оперирования высказываниями с кванторами, конкретнее говоря — правила таких видов:

1) введения кванторов в высказывания;

2) удаления кванторов из высказываний;

3) замены одних кванторов на другие;

4) внесения кванторов в дизъюнкции и конъюнкции высказываний (т. е. перенос кванторов от дизъюнкций и конъюнкций в целом к их отдельным членам);

5) вынесения кванторов из дизъюнкций и конъюнкций (т. е. перенос кванторов от отдельных членов конъюнкций и дизъюнкций к конъюнкциям и дизъюнкциям в целом);

6) внесения кванторов в антецеденты и консеквенты условных высказываний;

7) вынесения кванторов из антецедентов и консеквентов условных высказываний;

8) перестановки кванторов.

Поскольку другие структуры высказываний не рассматриваются, то мы исчерпали все возможные операции с кванторами.

Сформулируем в соответствии с пунктами (1-7) перечень логических правил, которые мы считаем интуитивно приемлемыми и, более того, для которых в предполагаемой логической теории обязательно должны иметь место соответствующие теоремы. Система таких правил для классического случая имеет такой вид:

1) х Ь (3 о)х,

(х -» у) b (V а)(х -» у)',

2) (V а) х b х,

(3 fl)~(a;->y)h~(a:->y);

3) (V о)x b x ~ (3 fl) ~ x,

(3 fl) X hl~(Vfl)~I,

~ (V a)x b (3 a) ~ x,

~ (3 a)x I- (V a) ~ x;

4) (V a)(x Л у) I- (V a)x Л (V a)y,

(V fl)(a; V у) b (V fl)x V (V a)y,

(V a)(x V y) b (3 a)x V (V a)y,

(3 <z)(x A y) b (3 a)x A (3 a)y,

(3 а)(a; V y) b (3 fl)x V (3 a)y;

5) (V a)x Л (V a)y b (V a) (a: A y),

(V a)x A (3 a)y b (3 a)(x A y),

(3 fl)a; Л (V a)y b (3 fl)(a; A y),

(V a)x V (V a)y b (V a)(x V y),

(V a)x V (3 a)y b (3 fl)(a; V y),

(3 a)x V (V a)y H (3 fl)(a; V y)

(3 a)x V (3 a)y b (3 <z)(x V y)',

6) (x —> y)b ((V a)x -> (V a)y),

(x->y)b ((3 a)a; -> (3 a)y);

7) (a; -> (V a)y) h (a; -> y),

((3 fl)a; —> y) b (x -> y);

8) (V a)(V b)x F (V b)(V a)a;,

(3 a)(V b)x b (V b)(3 a)a-,

(3 a)(3 b)x b (3 b)(3 a)a-.

Утверждения:

(Va)(3 Ь)х\- (3ft)(Va)x,

(V a)(х V у) h (V a)27 V (V fl)y, (3 a)L A (3 a)y h (3 a)(x A y), (V a)^ V (3 a)y h (V a)(x V y)

неприемлемы в качестве правил логики, что видно из таких примеров: (Va)(P(a) V ~ Р(о)) истинно, но (V a)P(a) V (V a) ~ P(a) может быть неистинным; (3 a)P(a) и (3 а) ~ Р(а) могут быть оба истинными, но (3 a)(P(a) Л ~ Р(а)) всегда неистинно; (V a)P(a) V (3 a)Q(a) может быть истинным, но (V a)(P(a)vQ(a)) может быть при этом неистинным (например, в случае, если признак Q имеет только некоторые a, которые не имеют признака Р).

Система правил для неклассического случая будет отличаться от системы для классического случая только пунктом (3) и дополнительным правилом (8). Они примут здесь соответственно такой вид:

3) (V а)х h (-1 3 а) ~ х,

(-iVo)a; h (3 a)~ х, (3 a)xh (-1V a)'>■'я, (-13 a)x h (V a) ~ x;

8) (?Va)a; 3 (Va)xA~ (i Ve)i,

~ (V a)x 3 h (-1V a)^ V (?V a)x,

~ (-1V a)x 3 h (V a)^ V (?V a)^,

(? V a)x 3 h (V a)x v(iV a)^,

(? 3 a)^ 3 h ~ (3 a)^A ~ (-13 a)x, ~ (3 a)x 3 h (-13 a)x V (?3 a)x, ~(-i 3 a)x 3 h (3 a)x V (?3 a)x, ~ (? 3 a)x 3 h (3 a)x V (-> 3 a)x, (Va)x h~(-i Va)x, (Va)x h~(?Va)x, (~iVa)xh~(V a)x,

(~’Va)x F~(?Va)x,

(?Va)x l-~(Va)x, (?Va)x h~(-iVa)x, (3 a)x h~(-i3 a)x,

(3 а)х (?3 а)х,

(~i3a)x Н~(3 а)х,

(-13 а)х (?3 а)х,

(?3 а)х (3 а)х,

(?3 а)х I—(i3a)x.

Пункт (8), как видим, учитывает случаи соотношения операторов -л, ?. В системе для классического случая он излишний, поскольку в пункте (3) учтено все, что касается отрицаний высказываний с кванторами.

Утверждения ~ (-i V а)х h (V а)х и ~ (-> 3 а)х h (3 а)х в качестве правил логики здесь неприемлемы, поскольку ~ (-> V а)х может означать не только (Va)x, но и третью возможность, а именно — (?Уа)х. Аналогично для ~ (-> 3 а)х.

Утверждения ~ (V а)х И (3 а) ~ х и ~ (3 а)х И (V а) ~ х в качестве правил вывода здесь точно так же неприемлемы. Это видно из такого рассуждения: ~ (V а)х F V а) ж V (? V а) ж согласно пункту (8); (-iVa)a: 31- (3 а) ~ х согласно пункту (3); (? Va)x 31-(-1 3 а) ~ жд ~ (3 а) ~ х согласно пунктам (8) и (3); так что имеем ~ (V а)х И (3 a) ~ х V (~ (-> 3 а) ~ гЛ ~ (3 а) ~ ж) и согласно пункту (8) получим ~ (V а)х (-> 3 а) ~ х. Аналогично для ~ (3 а)х получим, что ~ (3 а)х (-1V а) ~х.

§ 7. Исчисления теории кванторов

Исчисления теории кванторов получаются благодаря некоторым дополнениям к системам общей дедукции. В зависимости от того, к каким системам делаются эти дополнения, получаются различные исчисления. Например, если эти дополнения сделаны к системе Ss общей теории дедукции, получим систему сильной теории кванторов с операторами V, Л и т. п., а если они сделаны к системе 5м — получим систему ослабленной теории кванторов. Мы подробно рассмотрим только исчисления сильной теории кванторов. Полученные при этом результаты легко переформулировать для прочих исчислений, введя коррективы, которые связаны с соответствующими системами общей теории дедукции.

Но исчисления теории кванторов различаются и независимо от различия систем, путем «расширения» систем, из которых они получаются. Здесь прежде всего различаются системы для классического и неклассического случаев. Мы рассмотрим сначала системы для классического случая. Затем здесь различаются системы в зависимости от понимания того, какие кванторы считаются вырожденными. Это различие, как увидим ниже, имеет принципиальное значение.

Поскольку из контекста будет ясно, какой тип исчисления имеется в виду с точки зрения соответствующей системы теории дедукции и различения отрицаний, то для различения систем будем использовать символы Q', где i = 1, 2, 3,... .

§8. Система Q1

Система Q1 сильной теории кванторов получается благодаря следующим дополнениям к системе Ss сильной теории логического следования.

Дополнения к алфавиту:

1) s, s', s2, s\ ... — субъектные переменные;

2) Р, Р1, Р2, Р3,... — предикатные переменные;

3) V и 3 — кванторы «все» и «некоторые»;

4) скобки, запятые — подсобные знаки.

Оператор предикативности будем опускать (вернее, не будем вводить), полагая, что функции его выполняет написание предикатных и субъектных переменных в определенном порядке.

D1. Предикатная формула Q(a) и Q(at,..., а”), где п 2, суть предикатные формулы, если и только если Q есть предикатная переменная, а о, о1,..., an суть субъектные переменные.

Дополнение к определению пропозициональной формулы:

1) предикатные формулы суть пропозициональные формулы;

2) если a есть субъектная или предикатная переменная, а х есть пропозициональная формула, то (V а)х и (3 а)х суть пропозициональные формулы.

Определения свободных и связанных переменных и вхождений переменных аналогичны общепринятым (только они распространяются и на предикатные переменные). Аналогично же определяются бескванторные формы и вырожденные кванторы.

Дополнительные аксиомы схемы Q ’:

Ач1. (V а)х h х;

Ач2. х h (3 fl)х;

Ач3. (Va)x Л (3 а)у Н (3 а)(х Л у);

Ац4. (V а)(х V у) h (V а)х V (3 а)у;

Ач5. (Va)x h~(3 а)~х;

Лч6. ~ (3 а) ~ х I- (V а)х;

Ач7. (3 a)(L'a') ... (Кпап)(Ка)х Ь (V а)(К'а') ... (К"ап)(Ка)х, где К Кп, К есть какая-то комбинация кванторов V и 3 , а п 0.

Частный случай аксиом Aq7 при n — 0 суть формулы (3 а)(У а)г Е (V а)(У а)я: и (3 а)(3 а)а: Ь (V а)(3 а)х.

D1. Кванторы (V а) и (3 а) будем называть вырожденными в формулах вида (3 аД-й^'а1)... (Knan)(Kd)x и (Vа)(Л"’а’)... (Кпап)(Ка)х.

Дополнительные правила вывода:

Rq 1. Если х I- у, то (V а)х I- (V а)у.

Rq2. Если х F у, то (3 а)х I- (3 а)у.

Определения, теоремы и доказательства приведены в S’.

§9. Система Q2

Система Q2 образуется из Q1 путем замены Aq7 на аксиомную схему:

Aq7. (3 а)х I- (V а)х, где a не входит свободно в х.

Очевидно, система Q1 содержится в Q2. Но не всякая аксиома Aq7 системы Q2 есть аксиома Aq7 системы Q]. Например, формула (3 а)Р(Ь) I- (V а)Р(Ь) есть аксиома Q2, но не есть аксиома Q1.

D1. Кванторы (За) и (Vа) будем считать вырожденными в формулах соответственно (3 а)х и (V а)х, если и только если а не входит свободно в х.

§10. Непротиворечивость

Для доказательства непротиворечивости систем Q1 и Q2 достаточно доказать, что бескванторные формы теорем суть теоремы S’, непротиворечивость которой доказана. А это действительно так.

§11. Непарадоксальность

Системы Q1 и Q2 непарадоксальны в смысле таких утверждений.

МТ 1. Если х I- у есть теорема, то в у не входят переменные, отсутствующие в х (относится к переменным всех трех типов).

МТ2. Если х I- у есть теорема, то в у не входят предикатные формулы, отсутствующие в х.

Теоремы МТ1 и МТ2 очевидны из пересмотра дополнительных аксиом и правил вывода (поскольку S“ непарадоксальна). Из них следует:

МТЗ. Формулы (V а)Р(а) I- Р(Ь) и Р(Ь) I- (За)Р(а) не являются теоремами Q*.

§ 12. Независимость

Для доказательства независимости аксиомных схем и правил вывода Q' примем общие семантические правила и особые исключающие семантические правила для каждой схемы и каждого правила. Последовательность их применения такова: сначала применяются особые правила, затем — общие.

Общие семантические правила:

1) операторы V, Л определяются в двузначной алгебре высказываний;

2) ж I-у имеет значение v, если и только если х D у есть тавтология, где х D у есть сокращение для ~ х V у,

3) предикатным формулам значения истинности приписываются аналогично пропозициональным переменным (две предикатные формулы различны, если и только если они различаются графически);

4) х I- у равнозначна своей бескванторной форме х* у*.

Особые исключающие семантические правила для и Lq2.

Для ЛЧ1: если в х I- у переменная а входит в у свободно, а в ж — нет, то х I- у имеет значение nv. Для Aq2: если в х I- у переменная a входит в х свободно, а в у — нет, то х I- у имеет значение nv. Для Лч3: формулы х I- у заменяются на (Уа1)... (Van)x I- (Va1)... (Van)y, где a’ суть все индивидные и предикатные переменные, имеющие свободное вхождение в у; вырожденные кванторы отбрасываются; вхождения вида ~ (За) ~ х заменяются на (Vа)х; вхождения вида (V а)х заменяются на (~х Ух). Для Лч4: формулы х I- у заменяются на (3 а1)... (3 ап)х I- (3 а1)... (3 ап)у, где а' суть все индивидные и предикатные переменные, имеющие свободные вхождения в х; вырожденные кванторы отбрасываются; вхождения ~ (3 а) ~ х заменяются на (Va)x; оставшиеся вхождения (Va)z заменяются на (~гЛг). Для Aq5: опускаются отрицания; если во всех аксиомах данной схемы переменная а связана в посылке, то (3 а)х заменяется на (~ х Л ж). Для Лч6: опускаются отрицания; (3 а)х заменяется на (~ хУх). Для Лч7: вхождения ~ (3 а) ~ х заменяются на (V а)х; вхождения (V а)ж заменяются на (~хУх). Для Я4!: если в х свободно входит а, то х заменяется на (Va)x; (V а) (а: Л у) заменяется на (V a)(z V у). Для Rq2: если в х свободно входит а, то а; заменяется на (V а)х; (3 а)(а: Л у) заменяется на (3 a)(x V у).

§ 13. Некоторые теоремные схемы и метатеоремы

В дальнейшем будем делать ссылки только на аксиомы, правила вывода, теоремы и метатеоремы, дополнительные сравнительно с 5’. Ссылки на Ss будем опускать как очевидные.

Т\. ~(Va)a;F(3a)~a; [Aq5,Aq6];

Т2. (3a)~xf-~(Va)~x [Aq5,Aq6];

ТЗ. ~х F~(Va)x[Aq2,Til;

Т4. ~(3 а)х l-~a;[Aq 1, Aq5, Aq6];

Т5. ~ (3 а)(х Л у) I—((Уф Л (3 а)у) [Лч4, Тх, Т2, Aq5, Aq6];

Тб. ~((Va)xV(3a)J/)F~(Va)(xVy)[Aq3,TI,2’2,^q51^q6];

Т7. ~~(За)~ж(-~(Уа)ж [Aq5,Aq6];

Т8. ~(Va)xF''~(3a)~x [Aq5,Aq6];

T9. -(Va)(L-'a')..

Доказательство T9. Если n — 0, то

~ (V a)(V a)x I— (3 a)(V a)x[T,, T2, Aq5 - Aq7],

~ (V a)(3 a)x F ~ (3 a)(3 a)x[Ti, T2, Aq5 - 1’7].

Если n > 1, то согласно T,, T2, Aq5, Aq6

~ (V a)(K''a'')... (L-"a")(V a)x F (3 a)(Kta1')... (Ifnan)(3 a) ~ x,

~ (V а) (К1 a')... (K"a")( 3 a)x I-(3 a) (K, a1)... (Knan)(Va) ~x,

где К' и К, (i = различаются так: если один из них есть V,

то другой есть 3 . Согласно Лч7

(3 a)(^< a')... (tfna”)(3 a) F (V a)(K\a)... (Knan)( 3 a) ~ х,

(3 a)(L-,a')... (L>")(V a)~jF(V a)^ a')... (iTna")(V a) ~ x.

И согласно тем же Т\,Т2, Aq5, Лч6

(Va)(L-,a')... (A'nan)(3a)~a;F~(3a^K1^)... (Knan)(Va) — x, (V a) (TTj a1)... (A-nan) (V a) ~ a; F~ (3 a) 1 a1)... (A-nan) (3 a) — x.

По 5s получаем Т9.

Для Q2 имеет силу теоремная схема:

710. ~(Va)xl—(За)®,

где а не входит свободно в x\Aql, Т, Т2, Лч5, Лч6].

МТ 1. Если х I- у есть теорема Q', и при этом множества входящих в х и в у пропозициональных переменных и предикатных формул совпадают, то ~ у I- ~ х есть теорема Q'.

Доказательство МТ 1. Если х I- у есть аксиома Q', то ~ у х есть теорема Q' (согласно 2’3-79,710). Пусть А\~ В есть теорема Q', (V a)A I- (Va)B получается из А Н В по правилу 2?ч1, и для А Н В верна МТ1. Согласно Rq2 и по допущению теоремой будет (За) ~ В I- (3 а) ~ А, а согласно 7, и Т2 теоремой будет ~ (V а)В I- (V а)А. Пусть (За)Л I- (3 а)В получается из А I- В по правилу Rq2, а МТ\ верна для А\~ В. По допущению и 7?ч1 теоремой будет (Va) ~ В I-(Va) ~ А, а согласно Лч5 и Лч6 теоремой будет ~ (3 а)В |-~ (3 а)Л. Таким образом, правила Rq\ и Я4 2 рассматриваемой свойство теорем сохраняют. Для системы же 5 МТ1 верна.

МТ2. Если х у /\ z и z w суть теоремы, то х I- у Л w есть теорема (в силу 5s).

МТЗ. Если х Л у h z и w х суть теоремы, то w Л у Ь z есть теорема (в силу 5s).

МТ4. Если х\- yV z и z Ь w суть теоремы, и при этом совпадают множества пропозициональных переменных и предикатных формул, входящих в посылки и заключения этих формул, то х I- у V w есть теорема (следствие МТХ-МТЗ).

М75. Если XVу z и w х суть теоремы, то при том же условии, что и в МТ4 формула w V у\~ z есть теорема (следствие МТ1-МТЗ).

МТ6. Если ~xh у vi х\- w суть теоремы, то при том Же условии, что в М74, ~ w I- у суть теорема.

МТ7. Если х ?/ vi w у суть теоремы, то при том же условии, что в МТ4, х l-~ w есть теорема.

Изложенные метатеоремы можно использовать как производные правил вывода.

711. (Va)(Vb)xh- (Vb)(Va)x [Aq\, Rql, A’7];

712. (3a)(3b)sh- (ЗЬ)(За)х [Aq2, Rq2, Ач7];

713. (3 a)(Vb)x 1- (VЬ)(3 а)х [A’l, Rq2, Rql, Л’7];

714. (Vа)(х Л у) I- (V а)х Л (V а)у [Ач1, Aq7, Я4!];

715. (V а)х Л (V а)у Ь- (V а)(х Л у) [Лч1, Лч7, Лч1];

746. (3 а)(® V у) F (3 a)x V (3 а)у Т17. (3 а)х V (3 а)у И (3 а)(х V у)

[Т14.Т15, Лч5, Лч6];

[Т14, Т15, Лч5, Лч6|;

[Лч2|;

[Т18,МТ1,ЛЧ5,ЛЧ6];

748. (3 а)(х Л у) F (3 а)х Л (3 а)у

749. (V а)х V (V а)у I- (V а)(х V у) Т20. (Va)xl-(3a)x [АЧ1,ЛЧ2];

771. ~(3а)х1—(Va)x [Т20.М74];

772. (Va)xA(3e)»b(3e)(xV») [747,770];

773. (3a)xv(Va)»b(3a)(xVy) [772];

774. (V а)(® Л j/) F (V а)® Л (3 а)з/ [744,770];

775. (V а)(® Л г/) И (3 а)® Л (V а)у [744, 770];

776. (V а)(® Л у) И (3 а)® Л (3 а)у Т27. (V а)(® V у) И (3 а)х V (V а)у

[Т14, Т20|;

[А4 4];

[Т20, Т16];

[Т20, Т17];

[Т15.Т20];

778. (V а)(® V з/) I- (3 а)® V (3 а)у

779. (V а)® V (V а)у F (3 а)(х V у) ТЗО. (V а)х Л (V а)з/ F (3 а)(х Л 3/)

Т31. ~(Va)~xh (За)® [Т1.Т2];

Т32. (Va)(Vb)®h(Vb)(3a)x ТЗЗ. (V a)(V b)x И (3 b)(V а)х Т34. (Va)(Vb)®F(3b)(3a)x Т35. (Va)(3b)®F(3b)(3a)x

[Т20, 743];

[Т11,Т20];

[Т32, Т20];

[Т20.Т12];

[Ач1, Ач2, Лч7, Яч1];

[Ач1, Ач2, АЧ7,ЛЧ1];

Мч2];

[А’2];

Т36. (V a)® Л (V b)x Ь (V a)(V Ь)х Т37. (V а)® Л (3 Ь)ж И (V а)(3 Ь)х Т38. (3 а)® Л (V Ь)х И (3 a)(V Ь)х Т39. (3 a)® Л (3 b)x h (3 а)(3 Ь)х

Т40.

Т41.

Т42.

Т43.

(3 а)® Л (V а)з/Ь (За)(®Лз/) [Ач3]; ~(3а)ж F (Va)~® [-Ач6]; (Va)~® 1-~(За)ж [А4 5];

(3 а) (Va)x [Т2].

Для Q2 имеют силу теоремные схемы:

Т44. х И (V а)®,

где a не входит свободно в ®[АЧ1, Ач7].

Т45. (3 а)х F х,

где a не входит свободно в ®[ЛЧ2, Ач7].

Системы Q1 и Q2 соответствуют интуиции в том смысле, что в них теоремами являются формулы, соответствующие перечисленным в § 6 утверждениям и все они непарадоксальны в смысле §11. Но между системами Q} и Q2 (а также между Q3 и Q4) имеется одно существенное различие, которое мы рассмотрим ниже.

§14. Системы Q3 и Q4

Системы Q3 и Q4 получаются соответственно из Q} и Q2 путем присоединения дополнительной аксиомной схемы:

Лч8. (3 а)(~ж V х) F (V а)(~ж V х).

Эти системы непротиворечивы, поскольку бескванторные формы аксиом Лч8 имеют вид ~ х* V х* И ~ х* V х* и являются теоремами S’. Эти системы, очевидно, непарадоксальны.

Для доказательства независимости Дч8 принимается такое исключающее семантическое правило: вхождения вида ~ (3 а) ~ х заменяются на (V а)х; если же во всех аксиомах данной схемы a не входит свободно в ж, то вхождения вида (Vа) а: заменяются на (3 a)z; оставшиеся вхождения вида (Vа)х заменяются на (~хЛх).

Т\. ~х V х И (Va)(~x Va;);

Т2. (3 a)(~ х V х) I- ~ х V х',

ТЗ. ~(~® Vх) I- (Va)~(~® Vх);

Т4. (3 а) ~ (~ х V х) I- ~ (~ х V х).

МТ 1. Если х суть теоремы, то (V а)х НН ж, (Va)~x HF-

(3 а)х НН ж, (3а) ~х НН~х суть теоремы.

D\. Кванторы (Va) и (За) являются вырожденными соответственно в (V а)х и (3 а)х в таких и только таких случаях:

1) они являются вырожденными согласно D1 из §8 или, соответственно, согласно O1 из §9;

2) имеется такая формула у, что х 4F~yV у или х Ht-~(~j/Vj/) суть теоремы S’.

§15. Системы Qtd

Системы Q'd получаются из ранее рассмотренных систем путем присоединения тех дополнений к S’, которые были приняты при построении Sd, а также дополнительного правила вывода:

R43. Если а; И, то И (V а)а;,

или дополнительной аксиомной схемы:

Лч9. (Уф!-рф,

где F х есть теорема (если Q' есть Q1 или Q1)

В Q3 и Q4 правило _КЧ3 и аксиома Лч9 получаются как производные.

В Q,d теоремами являются формулы

F (V а)(~ж V х),

F (V a)(У 6)(~ х V х),

F (У а)(~ х V х V у),

F (У о) ~ (~ х Л х)

и т. п. Однако в Q'd не являются теоремами формулы P(a) V (3 b)P(b), I— (Уа)Р(фР(&), h (3 а)(Р(а) V~P(6)), F P(a) О (3 b)P(b) и вообще формулы вида F у D (3<ф и F (У<ф D U, где в а: нет вхождений (У ф, и (3 ф, в которые свободно входят а, а у образуется из T путем замены всех свободных вхождений a на Ь. Наше утверждение справедливо постольку, поскольку справедлива теорема:

МТ 1. Если F х есть теорема Qld, то ее бескванторная форма F х* есть теорема Sd.

§ 16. Системы для неклассического случая

Системы для неклассического случая получаются благодаря таким дополнениям к системам для классического случая и модификациям их.

Дополнения к алфавиту:

1) -л — оператор внутреннего отрицания;

2) ? — оператор неопределенности.

Дополнение к определению пропозициональной формулы: если a есть субъектная или предикатная переменная, а х есть пропозициональная формула, то (->Уф, (?Уф, (-13ф и (?3ф суть пропозициональные формулы.

Дополнение к определениям свободных и связанных вхождений переменных: переменные связываются кванторами с операторами и ? так же, как и без них.

Вместо аксиомных схем Дч5 и Дч6 принимаются аксиомные схемы:

Дч5,1. (УфЬ(->За)~а;

Aq5,2. (-, Уа)ж F (3 а)

Лч5,3. (?УфЬ(?За)~а;

Лч6,1. (-13 a ) ~ х F (V а)х;

Лч6,2. (3a)~:cF(->Va)3:;

Лч6,3. (?Уа)а: F (?Vo)~s.

Дополнительные аксиомные схемы:

Лч10,1. (Va)a: F~(~> Уа)гсЛ~(?Уа)а:;

Л" 10,2. (-1V a)rc I—(Уа)з:Л~(?Уа)з:;

Лч10,3. (?Vo)a:F~(Va)a:A~(-'Va)a:;

Лч 11,1. ~(-iVo)a:A~(?Va)a:F (V а)х;

Лч11,2. ~(Va)rcA~(?Va)a: F (~>Va)a:;

ЛЧ11,3. ~ (V а)гсА ~ (-1Vа)х F (?Vа)ж;

Лч12. (-iVa)(a:Aj/) F (->Va)x V(->Va)y;

Ач13. (-1V а)ж V (-> V а)у F (-iVo)(a:Aj/); Лч14. (-13 а)ж V (-13 а)у F (-> Э а)(жА у).

Бескванторные формы пропозициональных формул образуются так: все вхождения вида (? Va)x(? 3 а)х заменяются соответственно на ~ (V а)хЛ ~ (~> V а)х и ~ (3 а)хЛ ~ 3 а)х; все вхождения вида

(-1V а)х и (-1 3 а)х заменяются на ~ (V а)х и ~ (3 а)х соответственно; все кванторы из полученной формулы исключаются.

Легко убедиться в том, что все бескванторные формы аксиом систем для неклассического случая суть теоремы в системах общей теории дедукции. Отсюда следует непротиворечивость систем для неклассического случая.

§17. Некоторые следствия в системах для неклассического случая

74. (3 а)а: Ч F (-i V о) ~ х;

7’2. (-13 а)а: Ч F (V а) ~ х;

7’3. (?3 а)х НН (?Уа)~х;

7’4. ~(Va)x 4h (~iVa)xV (?Va)x;

7’5. ~(-iVa)x 4h (Va)xV (?Va)x;

7’6. ^(?Va)x 4h (Va)x v(-^Va)x; 7’7. (3 a)(a: V у) 4 F (3 a)x V (3 a)y\ 7’8. (V a)x V (V a)y F (Va)(x V y);

T9. ((Va)x Л (-> Va)x),

((3 a)x Л (-13 а)ж);

740. 1-~((Уа)жЛ (?Уа)ж),

I—((3 а)ж Л (?3 а)ж);

741. ((-1 У а)х Л (?Va)s),

((-i 3 а)х Л (?3 о)ж);

742. Н (Уа)ж V (-1 Уа)ж V (?Va)x,

Н (3 а)ж V (-13 о)ж V (?3 а)х;

Т13. Н~((Уа)жЛ(--Уа)ж,

Л (?У а)ж) Н~ ((3 а)ж Л (-> 3 а)х Л (?3 а)а:).

§ 18. Другой вариант систем для классического случая

Системы для классического случая можно получить из систем для неклассического случая, приняв дополнительную аксиомную схему:

Лч15. ~ (V а)х F (-1V а)х.

При этом будут иметь силу теоремные схемы:

74. I—(?Vа)х,

Н~(?3 а)х;

Т2. (Va)aHI—(За)~ж;

ТЗ. Н (V а)х V (-1V а)х,

Н (3 d)x V (-13 а)х.

§ 19. Косвенная семантическая интерпретация для классического случая

Предикатным формулам будем приписывать значения истинности в и пи аналогично пропозициональным переменным. Две предикатные формулы будем считать различными, если и только если они различны графически. Значения истинности различных предикатных формул независимы. Операторы V и Л определяются как операторы двузначной алгебры высказываний.

Введем в алфавит особые символы отмеченных переменных следующим образом: если a есть субъектная или предикатная переменная, то га есть ее отмеченная переменная, где i = 1, 2, 3,... .

D1. Интерпретационной формой пропозициональной формулы х будем называть пропозициональную формулу х*, которая образуется из х следующим образом. Если a есть субъектная или предикатная переменная, имеющая свободное вхождение в ж, и если число отмеченных переменных для a больше нуля, то все свободные вхождения a в х заменяются на r'a, где ia есть любая из отмеченных переменных для a. Все вхождения вида (V&)z в х, где z не содержит кванторов, заменяются конъюнкциями z1Л z2 Л... Л zn, где z есть результат замены всех свободных вхождений Ь в z соответственно r'a, а все вхождения вида (3&)z, где z не содержит кванторов, заменяется дизъюнкциями z' V22V... Vz", где z1, z2,..., zn те же, что и выше. Причем, если число отмеченных переменных переменной Ь равно нулю, то (V b)z и (3 b)z заменяются на z', где г есть какое-то число 1, 2, 3,.... Если Ь не входит свободно в 2, то (V b)z и (3 b)z заменяются на z. Указанная замена производится до тех пор, пока из формулы не будут элиминированы все кванторы.

Пусть а1,..., а" суть все различные субъектные и предикатные переменные, входящие в х, а а1,..., а" суть заданные числа отмеченных переменных, соответственно переменных а1,..., а".

SR1. Пропозициональная формула х имеет значение j (j есть v или nv) для данных a',...,»", если и только если ее интерпретационная форма х* при данных а1,..., а" имеет значение j.

D2. Пропозициональная формула х есть тавтология для данных aа", если и только если ее интерпретационная форма х* при данных а1,..., а" есть тавтология.

.03. Пропозициональная формула х есть противоречие для данных а1,...,»", если и только если х* есть противоречие для данных а1,, а".

D4. Пропозициональная формула х есть тавтология, если, и только если, она есть тавтология для любых а1,..., а".

D5. Пропозициональная формула х есть противоречие, если и только если ~ х есть тавтология.

D6. Интерпретационная форма формулы х у образуется так. Если а1,..., а" (п 0) суть все переменные, имеющие свободные вхождения в г и не имеющие таковых в у, а bm (тп > 0) суть все переменные, имеющие свободные вхождения в у и не имеющие таковых в х, то х I- у заменяются на (3 fl1)... (3 а")а: 1- (V &1)... (V bm)y. Посылка и заключение последней заменяются их интерпретационными формами. Причем, если переменная a входит свободно в х и в у, то (если число отмеченных переменных для a больше нуля) свободные вхождения а в ж и в у заменяются той же отмеченной переменной ia.

Значения бескванторных формул следования устанавливаются так же, как в общей теории дедукции (с учетом того дополнения, что в формулах встречаются предикатные формулы).

Примем следующее правило:

SR2. Формула х Н у имеет значение v, если и только если при любом числе отмеченных переменных (для каждой субъектной и предикатной переменной) каждая ее интерпретационная форма имеет значение V.

Тот факт, что в SR2 фигурирует указание на любое число отмеченных переменных, не должен смущать, ибо в практическом применении SR2 строить интерпретационные формулы в доказательствах общих утверждений не приходится.

МТ\. Если х Н у есть теорема в системах теории кванторов Q1-Q4 для классического случая, то она имеет значение v.

Доказательство МТ 1. Интерпретационные формы аксиом суть соответственно формулы:

1. х I- ж;

2. х I- ж;

3. (ж1 Л ... Л хп) Л (у1 V ... V уп) Н (ж1 Л у1) V ... V (ж" Л уп), где х' и у' суть результат замены a на ia.

(ж1 Л ... Л хп) Л у Н (ж1 Л у) V... V (ж" Л у),

х Л (у1 V ... V уп) Н (ж Л у1) V ... V (х Л уп),

х Л у Н х Л у;

4. (х1 V у1) Л ... Л (ж" V уп) Н (а? Л ... Л хп) V (у1 V... V уп),

(ж1 V у) Л ... Л (ж" V у) Н (ж1 Л ... Л х") V у,

(ж V у') Л ... Л (ж V уп) Н х V (у1 V ... V уп),

х V у Н х V у;

5. ж1 Л... Л г" (~ ж1 V... V~ re”),

ж Н~~ж;

6. ~ (~ж* V... V~ ж") Н ж1 Л ... Л хп ~~ж F ж;

7. ж* Н ж*,

где ж* есть ж или результат замен, указанных в D1.

8. ~a:Va:l-~a:Va:,

(~а? V ж1) V... V (~ ж" V ж") F (~а? V а:1) Л ... Л (~а:п V а:");

9. х F х,

х1 V... V xn F а:1 Л ... Л хп,

где все х' суть теоремы. Все эти формулы имеют значение v. Покажем, далее, что правила R41 и Ля2 это свойство формул сохраняют.

Если х F у имеет значение v, то значение v имеет ее интерпретационная форма х* у*. Если a входит в х* F у*, заменяем повсюду a на ia. Очевидно, все полученные формулы х' I- у', где х' и у' суть результат замены а на га в х* и у*, имеют значение v. Значит формулы а:1 Л.. .Arc" у 1Л... /\уп и а:1 V.. .Va:" у1V.. .Vyn, являющиеся интерпретационными формулами формул (V а)х* F (V а)у* и (3 а)х* F (3 а)у* и, следовательно, формул (V а)а: I- (V а)у и (3 а)а: Н (3 а)у, имеют значение v. Значит, по правилам ЯЧ1 и R42 из истинных формул получаются только истинные формулы.

D7. Интерпретационная форма формулы Е х получается из h ж путем замены х ее интерпретационной формой.

SR3. Формула F х имеет значение v, если и только если х есть тавтология.

Производные правила:

SR4. Если (V a)а: = v, то х = v.

SR5. Если х = v, то (3 а)а: — v.

SR6. Если х — nv, то (V а)а: — nv.

SR1. Если (3 а)х — nv, то х = nv.

МТ2. Если I- х есть теорема в системе Q’d для классического случая, то она имеет значение v.

Для доказательства МТ2 достаточно показать, что если F х имеет значение v, то и F (Va)x имеет значение v. Пусть Н х* есть интерпретационная форма F х; если она имеет значение v, то значение v будут иметь все формулы F х’ (см. выше). Значит, значение v будет иметь формула I- а:1 Л... Arc”, являющаяся интерпретационной формой формулы F (V а)а: и, следовательно, (Н (V а)х) — v.

§ 20. Косвенная семантическая интерпретация

Примем следующее дополнение к определению пропозициональной формулы: если х есть пропозициональная формула, то {а:} есть пропозициональная формула.

D1. Интерпретационная форма пропозициональной формулы ж образуется из х следующим образом. Вхождения вида (?Vb)z и (?3 &)z заменяются соответственно на ~ (V b)zA ~ (~<Vb)z и ~ (3 b)zA ~ (-13 &)z. Вхождения вида (-> V &)z и (-> 3 b)z заменяются соответственно на (3 b) ~ z и (Vft) ~ z. Вхождения (V b)z и (3 заменяются соответственно на {z1 Л ... Л z"} и {z1 V ... V z"}, где z1,..., z" аналогичны таковым в § 19. Если число отмеченных переменных равно нулю, то (Vb)z и (3 b)z заменяются на {z}. Если число отмеченных переменных равно единице, то (V b)z и (3 b)z заменяются на {z1}, где i есть какое-то 1, 2, 3,.... Если b не входит свободно в z, то (V b)z и (3 b)z заменяются на {z}.

Дополнительные семантические правила:

5Я1. Если {ж} = v, то х = V. Если х — nv, то {ж} — nv.

SR2. Если одна из {ж} и {~ ж} имеет значение nv, то значение другой не зависит от первой (т. е. они обе могут иметь значение nv).

МТ 1. Если ж F у есть теорема в системах для неклассического случая, она имеет значение v.

МТ2. Если F ж есть теорема в системах для неклассического случая, то она имеет значение v.

Теоремы МТ 1 и МТ2 доказываются путем пересмотра всех аксиом и правил вывода. При построении интерпретационных форм аксиом Дч5 — Дч14 получатся сначала формулы:

1. (V а)ж F (V о) ~~ ж;

2. (3 а) ~ ж F (3 а) ~ Х;

3. ~ (V о)жЛ ~ (3 а) ~ ж F ~ (3 а) ~ жЛ ~ (V а) ~~ ж;

4. (Уа)~~ж F (Уо)ж;

5. (За)~жН (За)~ж;

6. (3 а) ~ жЛ ~ (V о) ~~ ж F ~ (V а)жЛ ~ (3 а) ~ х;

7. (V а)ж Н~(За)~жЛ~(~(Уо)жЛ~(За)~ж);

8. (За)~ж Н~(Уа)жЛ~(~(Уа)жЛ~(За)~ж);

9. ~ (Уа)жЛ~ (3 а) ~ж (Уо)жЛ~ (3 а) ~ж;

10. ~ (3 а) ~ жЛ ~ (у а)хЛ ~ (3 а) ~ ж) F (V о)ж;

11. ~(Уо)жЛ~(~(Уо)жЛ~(За)~ж) F (За)~ж;

12. ~(Уа)жЛ~(За)~ж Н~(Уо)жЛ~(За)~ж;

13. (3 а) ~ (ж Л у) F (3 а) ~ ж v (3 a) ~ уу

14. (3 а) ~ ж V (3 а) ~ у р (3 а) ~ (ж Л у);

15. (Va) ~ж v(Vo)~y F (Уа)~(ж Л у).

Как видим, потребуется рассмотреть лишь формулы 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15.

Полностью мы этого делать не будем (это громоздко, но принципиально не сложно). Ограничимся рассмотрением формул 7 и правила 7?ч1 (в качестве образца).

Интерпретационная форма формул 7 есть формула одного из следующих видов:

1) {ж} Н~{~ж}Л~(~{ж}Л~{~ж});

2) {ж1} Л ... Л {ж"} 1-~({~ж'} V... V {~ж"}) Л

Л~(~({ж1} Л ... Л {ж"})Л~(~{~ж‘} V ... У{~ж"})).

В первом случае имеем: если {ж} = v, то {~ж} = nv, ~ {~ж} — v, ~ {а:} — nv, ~ {ж}А ~ {~ ж} = nv, ~ (~ {ж}л ~ {~ ж}) — v; если же заключение имеет значение nv, то ~ {~ х} = nv или ~ (~ {ж}л ~ {~ ж}) — nv; если ~ (~ {х} Л {~ ж}) — nv, то (~ {ж}л ~ {~ ж}) — v; ~ {ж} = v и х = nv; таким образом, формула имеет значение v. Во втором случае получим следующее. Если посылка имеет значение v, то ~ ({ж1} Л... Л {ж"}) —nv, ~({ж'}Л.. .л{ж"})л~({~ж'}У-. .V{~a:"})=m?, ~ (~ ({ж1} Л ... Л {о:"}) Л ~ ({~ ж1} V ... V {~ ж”})) — nv, {ж1} — v, ..., {хп} — v, {~ж'} — nv,..., {~ж"} — nv,~ ({~ж'}\Л. .У{~ж"}) — V, и заключение в целом имеет значение v. Если заключение имеет значение nv, то либо первый член конъюнкции имеет значение nv, либо второй. Если первый, то {~ ж1} — v,...,{~ а:"} — v, {а:1} — nv, ...,{ж"} — nv, т. е. посылка имеет значение nv. Если второй член конъюнкции имеет значение nv, то по правилам для отрицания и конъюнкции по крайней мере одна из {ж1}, - -, {хп} имеет значение nv. Значит, посылка имеет значение nv. Формула, таким образом, имеет значение v.

Возьмем правило 2?ч1. Пусть ж* 1- у* есть интерпретационная форма ж F у. В результате применения _КЧ1 получится формула (Уа)ж Н (V a)U, интерпретационная форма которой либо есть ж* 1- у* (если a не входит свободно в ж 1-у), либо есть формула вида ж*1 Л ... Л ж*" F у*1 Л ... Л у™. Если ж F у есть теорема, по допущению все формулы ж* F у*, ж*1 1- у**, ж*2 1- у*2,...,ж*" 1- у*п имеют значение v. Откуда следует, что интерпретационная форма (V а)ж 1- (V о)у для любого п имеет значение v. Значит, сама эта формула имеет значение v.

§21. Некоторые важные следствия

Из теорем МТ1 и МТ2 предшествующего параграфа следуют утверждения:

МТ 1. Формулы ~ (-1V a)x Н (V а) ~ х и ~ (-< 3 а )ж Н (3 а)ж, в которых а входит свободно в х, не являются теоремами в рассмотренных системах для неклассического случая (поскольку они имеют значение nv).

МТ2. Формулы ~ (V а)х Н (3 а)х и ~ (3 а) ~ х Н (V а)х, в которых а входит свободно в г, не являются теоремами в системах для неклассического случая (поскольку имеют значение nv).

МТЗ. Формулы Н~ (-1 Ка)х Н (Ка)х, Н (Ка)х V (-> Ка)х, Н (Ка)х V (? Ка)х и Н (-> Ка)х V (? Ка)х (где К есть V или 3 ), в которых а входит свободно в х, не являются теоремами в Q,d для неклассического случая (так как имеют значение nv).

§ 22. Теория предикации

Система Qp, содержащая теорию предикации, получается благодаря таким дополнениям к системам теории кванторов.

Дополнение к определению предикатной формулы: если а1,..., а" (п 1) суть индивидные (субъектные переменные, a Q есть предикатная переменная, то -> Q(al,... ,ап) и ? Q(a{,... ,ап) суть предикатные формулы.

Пусть а есть сокращенная запись (а) или (а1,..., ап).

Дополнительные аксиомы схемы Ар:

1. Qa 3H~-iQaA~?Qa;

2. -I Qa 3 H~ QaA ~ 2Qa;

3. 2Qa 3 H~QaA ~ -• Qa.

Дополнительные семантические правила SRP:

1) Если одна Qa и -> Qa имеет значение v, то другая из них имеет значение nv. Если же одна из них имеет значение nv, то значение другой не зависит от первой.

2) Формулы ? Qa равнозначна формуле ~ QaЛ ~ -> Qa.

МТ 1. Если х\-у есть теорема Qp, то она имеет значение v.

МТ2. Если Н х есть теорема Qp, то она имеет значение v.

МТЗ. Формулы ~ -iQa F Qa и Н Qa V -п Qa теоремами Qp не являются (поскольку имеют значение nv). Аналогично теоремами не являются формулы (-'Va)Q(a) Н (3a)->Q(a), (-iVa)-iQ(a) Н (3 a)Q(a) и т. п.

МТ4. В Qp теоремами являются формулы вида

~ (V а) ~ Q(a) Н (- V а) ~ Q(a) V (? V а) ~ Q(a),

(Va)Q(a) I- (-1 За)Q(a) Л (-> 3 a)?Q(a) и т. п. вместо привычных теорем ~ (V а) ~ Q(a) Н (3 a)Q(a), (V a)Q(a) Н ~ (3 а) ~ H(a) и т. п. для классического случая.

§ 23. Системы с оператором условности

Системы теории кванторов с оператором условности получаются благодаря таким дополнениям к рассмотренным системам. Принимаются все те дополнения к общей теории дедукции, благодаря которым получаются системы теории условных высказываний. Принимаются такие дополнительные аксиомные схемы:

А'{ 1. (х -+ у) I- (V а)(ж -> у);

А'г2. (3 а) ~ (х -+ у) (х -> у);

Л1(3. (Va)(rc —* у) Н ((V а)® (Va)y);

Ли4. (Va)(rc -+ у) h ((3 a)x -* (3 d)y).

В классическом случае аксиомы А,г4 получаются из А'г3 как следствие.

§ 24. Другие возможные расширения теории кванторов

Примем следующее дополнение к определению пропозициональной формулы: если a1,..., a" (n > 1) суть субъектные или предикатные переменные, а х есть пропозициональная формула, то (aK(al,..., an))x есть пропозициональная формула, где а обозначает наличие или отсутствие операторов -п и ?, а К есть V или 3 .

В таком случае к аксиомным схемам систем теории кванторов можно добавить: (La')... (Kan)x Ч Н (K(al,..., an))x.

Причем, формулы такого вида практически употребляются в языке в таком смысле: (V (а, Ь))х — как «Для всех пар (а, 6) имеет место х», (V (а, Ъ, с))х — как «Для всех троек (а, Ь, с) имеет место х» и т. п.

Кроме того, можно ввести в число пропозициональных формул выражения (К1 ,К2,... ,КП — кванторы V и 3 ):

((к'а)Л(К2Ъ))х, ((К'а)У(К2Ъ))х,

((K'a1) Л... Л (Кпап))х

и т. п. для различных комбинация V, Л, ~, а также с операторами -1 и ? и принять соответствующие правила вроде ((V a) Л (V Ь))х Ч F (V а)х Л (V Ь)х и т. п. Конечно, эти правила выглядят тривиальными. Но это не отменяет факта их возможности (между прочим заметим, что большинство правил логики по отдельности вообще тривиально).

§ 25. Другие кванторы

Кванторы V и В не являются единственно возможными, как уже отмечалось. Тот факт, что в логике грандиозную разработку получила теория кванторов V и 3 , а прочие кванторы почти не рассматривались, имеет историческое оправдание: кванторы V и В фигурировали в первой в истории логики логической системе — в силлогистике Аристотеля; исчисление кванторов V и 3 в математической логике разрабатывалось в интересах математики, в которой эти кванторы играют существенную роль (квантор В, в частности, истолковывается как предикат существования), а прочие кванторы не употребляются (или почти не употребляются). Однако, поскольку практически употребляются и другие кванторы, отличные от V и В , логика должна это обстоятельство так или иначе учитывать.

?ассмотрим в качестве примера случай, когда роль кванторов выполняют знаки натуральных чисел. Ограничимся классическим случаем.

Дополнение к алфавиту: знаки натуральных чисел — кванторы. Дополнение к определению пропозициональной формулы: если N есть натуральное число, а есть субъектная или предикатная переменная, х есть пропозициональная формула, то (Na)x есть пропозициональная формула.

Кванторы N употребляются в различном смысле (поскольку их употребление не обработано с логической точки зрения). Поясним это на примере. Возьмем высказывание «Пять студентов провалились на экзамене». Его можно понимать как «Пять, а не больше и не меньше», «По крайней мере пять», как «Пять, а значит, четыре, три, два, один», «Пять, а может быть, больше». Здесь различия аналогичны различиям видов дизъюнкций. Принимая те или иные аксиомы для операторов N, логика устанавливает их точный смысл.

Примем (с чисто иллюстративной целью) такие аксиомные схемы N:

1. ((2V 4- 1)а)зс I- (2\Га)ж;

2. ~(Na)xh~((N + 1)а)х;

3. (Na)(x Л у) h (Na)x Л (Na)y;

4. х V (Na)y I- (Na)(x V у);

5. (Na)(Kb)x h (Kb)(Na)x,

где К есть любой из кванторов V, 3, АГ;

6. (Kb)(Na)x h (Na)(Kb)x;

7. (Aa)(L"^)... (Knbn)(Ka)x b(K'b')... (Knbn)(Ka)x, где n 0, a K1,..., Kn, К суть любые кванторы V , В, N;

8. (L"'b')... (Knbn)(Ka)x h (Na)(K'b')... (Knbn)(Ka)x.

Если принята Q2, то 7 и 8 заменяются на такие:

7. (Na)x h х;

8. х h (Na)x,

где а не входит свободно в х.

Квантор 3 определяется аксиомными схемами:

9. (3 a)x h (1а)я:;

10. (1а)ж I- (3 а)х.

Квантор 0 («ноль») определяется аксиомными схемами:

11. (0а)ж (1а)ж;

12. ~ (1а)ж I-(0а)ж.

Если рассматривать квантор V как особое число, которое всегда больше или равно N, то можно принять аксиомные схемы:

13. V(a)ih^a)i;

14. (Vа)х Л (Na)y1- (Na)(x Л у).

§ 26. Парадоксы вырожденных кванторов

и системы с зависимыми переменными

В классическом (и интуиционистском) исчислении предикатов теоремами являются формулы

(3 а)х D T и х Z) (V а)х,

где а не входит свободно в х. Эти формулы позволяют отбрасывать вырожденные кванторы. Теоремами являются при этом также формулы, в которых в х имеются свободные вхождения переменных того же рода, что и а, но отличных от а. Например, таковы теоремы

(3 a)P(6) Z) Р(Ь) и Р(Ь)Э(Уа)Р(Ь).

В системе Q2 (и Q4) таким теоремам соответствуют теоремы

(3 а)х И х и х h (V а)х,

в которых а не входит свободно в ж. В частности, здесь теоремами являются формулы

(3 a)P(b) h P(b) и P(b) h (Va)P(6).

Рассмотрим, однако, такого рода формулы внимательнее.

Такого рода формулы принимаются в качестве правил логического следования лишь постольку, поскольку молчаливо предполагается отсутствие логической связи между терминами из областей значения переменных (и это, заметим, кстати, при условии допущения совпадения областей значения индивидных переменных!). Поясним на примерах, о какого рода связи терминов здесь идет речь.

Возьмем высказывание а: «Все четные числа таковы, что число делится на два без остатка». В практике аналогичные высказывания употребляются довольно часто. Причем, высказывание а фактически употребляется как равнозначное высказыванию /3: «Все четные числа таковы, что четное число делится на два без остатка». Но термины «число» и «четные числа» различны. Последний не входит свободно в высказывание 7: «Число делится на два без остатка». Согласно правилу логики

Р(Ь) Э (V а)Р(6) или Р(Ь) (- (Уа)Р(6),

из высказывания 7 должно следовать высказывание а. А если принять, что из а следует /3, то получим, что из 7 следует /3. А это не верно.

Таким образом, если ориентироваться на то, что для некоторых терминов правомерны утверждения вида а —> /3 и /3 —> а, т. е. ориентироваться на то (на языке логики), что для некоторых переменных а и Ъ возможно, что (V b)P(b) Н (V Ь)Р(а) и (V b)P(a) (- (V Ь)Р(Ь), то на операции с вырожденными кванторами должны быть наложены ограничения. Мы это сделали, различив системы Q1 и Q2. В системе Q1 формулы типа P(b) (- (V а)Р(Ъ) и (За)Р(Ь) (- Р(Ь) недоказуемы, и указанные выше парадоксы не получаются.

Как поступить с такого рода случаями, когда между терминами имеет место логическая связь, влияющая на правомерность некоторых логических операций традиционной теории кванторов, мы покажем ниже.

Продолжим наш пример. Возьмем высказывание 6: «Все числа таковы, что четное число делится на два без остатка». И такие высказывания практически употребляются. Причем, высказывание 6 воспринимается как равнозначное высказыванию /3. Так что в некоторых случаях оказываются правомерными утверждения вроде

(V а)Р(Ь) -»(V Ь)Р(Ь) и (V b)P(b) -> (V а)Р(Ь) или правила

(V а)Р(Ь) Л W И (V Ь)Р(Ь) и (V Ь)Р(Ь) Л W И (V а)Р(Ь), где W есть некоторое условие, фиксирующее логическую связь а и Ь. Аналогично — для квантора 3 . В дальнейшем мы такие правила сформулируем, расширив тем самым изложенную выше теорию кванторов (за счет введения новых операторов и установления связей терминов, а не за счет присоединения к рассмотренным системам новых аксиом на том же языке).

Интересно отметить, что в традиционной теории кванторов в не-расчлененном виде содержатся разнотипные правила логики, и использование ее в качестве теории вывода заставляет принимать явные или неявные допущения и оговорки, подчас исключающие друг друга. Так, если принимаются правила

(V а)Р(а) (- Р(Ь) и Р(Ь) (- (V а)Р(а),

то это предполагает допущение, согласно которому области значения a и Ъ совпадают. При переводе на язык отношения терминов это означает, что термины, подставляемые на место а и Ь, находятся именно в такой логической зависимости, о которой говорилось выше. А если принимаются правила P(b) (- (V a)P(b) и (3 a)P(b) F P(b), то молчаливо предполагается, что между терминами, подставляемыми на место a и Ь, именно такой зависимости нет.

Зависимость терминов, о которой говорилось выше, может быть выражена с помощью предикатов включения терминов по значению (—-) или включения индивидов в класс (б).

Системы Q1* и Q4*, учитывающие эту зависимость, получаются путем присоединения к алфавиту Q2 и Q4 предиката —>- (или €), соответствующего расширения определения пропозициональной формулы и замены аксиомной схемы Aq7 на такую:

А4’7. (3 а)хА ~ р Ь1) А .. .А ~ (а — 6”) И (V а)х,

где а не входит свободно в х, a b',..., bn (n 1) суть все переменные той же категории, что и а, имеющие свободные вхождения в х.

Рассмотренные системы могут быть расширены за счет принятия таких аксиомных схем:

Aq 16. (V а)х А (а —>• 6) (- (V а)у,

(V а)у А (а —■> b) F (V а)х,

(3 а)х А (а —Ь) (- (3 а)у,

(3 а)у А (а —1 6) (- (3 а)х,

где у образуется из х путем замены Ь на а везде, где Ъ свободно входит в х;

Aq 17. (V а)х А (Ъ —■> а) (- (V Ь)х,

(V Ъ)х А (Ь —■" а) (- (V а)х,

(3 а)х А (Ъ —■>■ a) F (3 Ь)х,

(3 Ь)х А (6 —>• а) (- (3 а)х,

где а не входит свободно в х.

В экономных схемах А? , А416 и А417 выражения вида a -+ /3 заменяются соответственно на (Vа)(а G К0), если зависимость переменных фиксируется в языке логики классов (К — классообразующий оператор).

§ 27. Неявные кванторы

Предикаты обладают одной особенностью сравнительно с субъектами, которая заставляет несколько пересмотреть идею квантификации предикатов.

Возьмем высказывание «Тело a имеет цвет» и его отрицание «Тело a не имеет цвета». Известно, что цвета различаются по видам; так что можно говорить о некоторых цветах и всех цветах. Интуитивно кажется очевидным, что если верно высказывание «Некоторые цвета таковы, что тело a имеет цвет», то будет верно и высказывание «Тело a имеет цвет». Интуитивно также кажется очевидным, что если верно высказывание «Тело a не имеет цвет», то будет верно высказывание «Для всех цветов, тело a не имеет цвета» (т. е. «Тело a не имеет никакого цвета»).

Таким образом, для предикатов кажется возможным принять такие экономные схемы (буква a есть любая энка субъектных переменных):

Ар1. (3 Р)Р(а) I-Р(а);

Ар2. -.Р(а)1-(УР)-.Р(а);

Ар3. ?Р(а) F (УР)~Р(а).

Из Ар2 и Ар3 следует:

Т1. ~P(a)F (УР)~Р(а).

В классическом случае вместо Ар2 и Ар3 достаточно принять Т1.

Поскольку в теории кванторов доказуемы формулы V (P)aP(a) I-aP(a), где а есть —>,? или и P(a) I- (ЗР)Р(а), то предикаты фактически всегда связаны неявным образом.

Но принятие Ар1-Ар3 ведет к парадоксальным следствиям, если не менять изложенную выше теорию кванторов. В самом деле, (V Р)Р(а) I- (V Р)Р(а) есть теорема. Поскольку Р(а) 31- (3 Р)Р(а) суть теоремы, по правилу замены эквивалентности получим (VP)(3P)P(a)l-(VР)Р(а), согласно Aq7 (ЗР)Р(а) I- (УР)(3Р)Р(а). Откуда согласно Ач2 и правилу транзитивности следования получим P(a) 1- (УР)Р(а). А это — парадоксальная формула, что видно из следующего примера: если тело а имеет какой-то цвет, то отсюда не следует, что оно имеет любой цвет.

Нам представляется целесообразным такой выход из положения. Если для предикатных переменных принимаются экономные схемы АР1 - Ар3, то в экономных схемах Ач7 для вырожденных кванторов надо считать, что а есть только субъектная переменная (но не предикатная переменная).

§ 28. Нестандартная семантика для систем теории кванторов

Изложенная выше система семантических правил близка к традиционной семантике для теории кванторов, поскольку отмеченные переменные можно рассматривать по аналогии с индивидами из области значений переменных, только с допущением, что различные переменные имеют различные области значения, и с правилом для пустого множества индивидов. Ниже мы сформулируем систему семантических правил, существенно отличную от нее и содержащую лишь зависимости значений формул того типа, как указанные в § 5. Предикатным формулам, как и выше, значения истинности при этом будут приписываться аналогично пропозициональным переменным. Правила для операторов Л, V те же, что и выше. Для бескванторных форм формул сохраняются те же определения тавтологии, противоречия, выполнимости, стандартных форм, что и в системах общей теории дедукции. Бескванторным формулам следования значения истинности приписываются так же, как в общей теории дедукции.

Примем следующие семантические правила для классического случая.

SR1. Если (V a)x = v,tox = v.

SR2. Если х = nv, то (V а)х — nv.

SR3. Если (V а)х — nv, и (V a) не является вырожденным в (V а)х, то значение х не зависит от (V а)х.

SR4. Если х = v, и (Уа) не является вырожденным в (V а)х, то значение (V а)х не зависит от х.

SR5. (3 а)х равнозначна ~ (V а) ~ х.

SR6. Если (Ка), где К есть V или 3 , является вырожденным в (Ка)х, то х и (Ка)х равнозначны.

Из SRI - SR5 получаются такие производные правила:

SR15. Если х = v, то (3 а)х — v.

SR25. Если (3 а)х — nv, то х — nv.

SR35. Если T — nv, и (3 a) не является вырожденным в (3 а)х, то значение (3 а)х не зависит от х.

SR45. Если (3 а)х = v, и (3 a) не является вырожденным в (3 а)х, то значение х не зависит от (3 а)х.

Пусть z\... ,zn (n 1) суть все пропозициональные формулы, входящие в пропозициональную формулу х. Приписав х значение v или nv, можно установить всевозможные комбинации значений z\ ... ,zn при этом условии по правилам для V, А, а также по правилам SRI, SR3, SR6, SR25, SR45. Например, если (V a)(z' Vz2) = v, то (z1 Vz2) = v по правилу 5Я1, а для z1 и z2 возможны три комбинации по правилу для дизъюнкции:

1) z1 = v, z2 = v;

2) z1 = v, z2 = nv;

3) z1 — nv, z2 — v.

Затем берем каждую из этих комбинация и в зависимости от строения z1 и z2 выясняем значение их составляющих при условии z1 — r, z2 = j. Например, пусть z1 есть z3 V (3 a)z4, a z2 есть (V b)z3 Л z5; при z1 = v возможны такие комбинации значений ее составляющих:

1) z3 — v, (3 a)z4 = v, z4 = v;

2) z3 — v, (3 a)z4 = v, z4 = nv;

3) z3 — v, (3 a)z4 — nv, z4 — nv;

4) z3 — nv, (3 a)z4 — v, z4 — v;

5) z3 = nv, (3 a)z4 — v, z4 — nv;

при z2 — nv возможны такие комбинации значений ее составляющих:

1) (Vb)z3 — nv, z3 = v, z5 = v;

2) (V b)z3 — nv, z3 — nv, z5 = v;

3) (V b)z3 — nv, z3 = v, z5 = nv;

4) (V b)z3 — nv, z3 — nv, z5 — nv;

5) (V d)z3 = v, z3 = v, z5 — nv.

Аналогично находим комбинации значений составляющих z1 и z2 для первой и третьей комбинации. Аналогично продолжаем процесс для составляющих z3, z4 и 5 (вплоть до пропозициональных переменных и предикатных формул). В итоге устанавливаются всевозможные комбинации значений z1, z2,..., z” при условии х = v или х = nv. В частности, в нашем примере одна из таких комбинаций есть (V a)(z" Vz2) — v, z1 V z2 — v, z1 — v, z2 — nv, z3 — v, (3 a)z4 — v, z4 — v, (Vb)z3 — nv, z3 — nv, z3 — v, если процесс останавливается на z3, z4 и z5.

OI. Возможны комбинации значений z1,..., z" при условии х = j такие, что разным вхождениям одной и той же формулы z‘ в х приписываются разные значений v и nv. Будем такие комбинации называть недопустимыми. Комбинации же, в которых всем вхождениям z' в х приписывается одно и то же значение v или nv, причем это имеет силу для всех z1,..., z", будем называть допустимыми.

Например, если (V a)(zA ~ z) = v, то (zA ~ z) = v, z = v, ~z = v и z = nv. Таким образом, получили недопустимую комбинацию.

Причем, независимо от строения z, все комбинации значений формул, входящих в (Va)(zA~z), являются недопустимыми. Если (V a)(P(a) V ~Р(а)) — v, то возможны комбинации:

1) Р(а) V~P(a) = v, P(a) = v, ~P(a) = m>;

2) Р(а) V ~Р(а) = v, P(a) = nv, ~P(a) = v.

Обе они допустимы.

SjR7. Если при условии а: = v все комбинации значений z\... ,zn являются недопустимыми, и в у не входят пропозициональные переменные и предикатные формулы, отсутствующие в х, то (х Ь у) = у.

SP8. Если при условии х = пу все комбинации значений z\...,zn являются недопустимыми, и в а: не входят пропозициональные переменные и предикатные формулы, отсутствующие в у, то (у (- х) = у.

Пусть (как и выше) zl,..., zn суть все пропозициональные формулы, входящие ва^авто1,..., wm (m 1) суть все пропозициональные формулы, входящие в у. Ниже мы сформулируем правила для формул х I- у, в которых х и у таковы, что множество допустимых комбинаций значений z1,... ,z" при условии х = у и множество допустимых комбинаций значений wl,...,wm при условии у = nv не являются пустыми.

SR9. Если для любой допустимой при условии х = v комбинации значений а1,..., а" формул соответственно z',... ,zn из того, что (z1 = а1) Л ... Л (z” = а"), по принятым правилам следует, что z = v (что z — пу), и при этом a не входит свободно в х, то формуле (V a)z, входящей в у, приписывается значение у при условии х — у (соответственно формуле (3 a)z, входящей в у, приписывается значение пу при условии х = у. Если же по крайней мере для одной допустимой при условии х = у комбинации значений а1,..., а" формул z‘,..., zn из (z1 = а1) А ... A (z" = а") следует то, что z = nv (что z = v), то формуле (V a)z, входящей в у, приписывается значение nv при условии х = v (соответственно формуле (3 a)z, входящей в у, приписывается значение v при условии х — у).

Вторую часть SR9 можно сформулировать еще таким образом: если по крайней мере для одной допустимой при условии х = у комбинации значений a а" формул zzn возможно, что z1 = a1,..., zn = а" и z = nv (и z = v), то (Va)z = nv при условии x = v (соответственно (3 a)z — v при условии x — v).

Обращаем внимание на следующее обстоятельство: результатом применения SR9 является не просто установление значения формул (V a)z и (3 a)z, а нахождение зависимостей такого вида (х = у) —> ((V a)z = v), (х = v) —> ((3 a)z — nv) и т. п.

SR10. Если для любой допустимой при условии у — nv комбинации значений /З1,... ,/Зт формул то1,... ,wm из того, что (то1 — /З1) Л ... Л (тот — /3т) следует то, что z = v (что z — nv), и при этом a не входит свободно в у, то формуле (V a)z, входящей в х, приписывается значение v при условии у = nv (формуле (3 a)z, входящей в х, приписывается значение nv при условии у — nv). Если по крайней мере для одной допустимой при условии у = nv комбинации значений /З1,..., /3т формул то1,..., wm возможно, что то1 = /З1,..., wm = 0т и z = nv (и z = v), и при этом a не входит свободно в U, то формуле (V a)z, входящей в х, приписывается значение nv при условии у = nv (соответственно формуле (3 a)z, входящей в х, приписывается значение v при условии у — nv).

Опять-таки результатом применения 57210 является установление зависимостей (у — nv) —> ((V a)z = v), (у = nv) —> ((3 a)z — nv) и т. д.

Если дана формула х F у, то, приписав х значение v (приписав у значение nv), мы можем установить, по правилам для ~, V, Л, а также по правилам 5722, 5724, 5726, 57215, 57235, 5729 и 57210, какие значение может принять у при условии х — v (принять х при условии у — nv).

SR11. Если из допущения х = v по принятым правилам следует, что у = v, а из допущения у — nv следует, что х — nv, и при этом в у не входят пропозициональные переменные и предикатные формулы, отсутствующие в г, то (х (- у) — v. Если же из допущения х = v не следует, что у = v, или из допущения у = nv не следует, что х = nv, или в у входят пропозициональные переменные или предикатные формулы, отсутствующие в х, то (х I- у) = nv.

Правило 57211 можно также сформулировать так (пусть W есть утверждение «В у не входят пропозициональные переменные и предикатные формулы, отсутствующие в а:»): если W, (х = v) -+ (у = v) и (y = nv)-+(x = nv), то (xt-y) = v; если ~W или ~((a: = ?>)-+ (y = v)) или ~ ((U — nv) -+ (х = nv)), то (х I- у) = nv.

SR 12. Если (ж (- у) = v, то имеет место один из трех случаев, указанных в антидецентах правил SR9, SR10,57211, т. е.

а) либо все комбинации значений z1,... ,z" при условии х = v недопустимы;

б) либо все комбинации значений то1,..., wm при условии у = nv недопустимы;

в) либо (х = v) —> (у = v) и (у — nv) -+ (х = nv); причем во всех трех случаях (а), (б) и (в) имеет силу W.

Приведем несколько примеров. Возьмем формулы:

1) (V a)T Е а:;

2) (V a)(x V у) (- (V а)х V (3 а)у;

3) (V а)(х V у) (- (3 а)у.

Пусть (Va)a: = v по правилу 57? 1 х = v. Значит, ((V a)x = v) —> (х = v). Пусть х — nv. По правилу 5772 (Va)a: = nv. Значит, (х — nv) ~+ ((Va)x = nv). По правилу 57?!I ((Va)a: (- х) = v. Пусть (V а)(х V у) = V. По правилу 57?! (а: V у) — v. Допустимые комбинации значений хи у:

1) х = v и у = v;

2) х — nv и у = v;

3) х = v и у = nv.

Из второй комбинации не следует х = v. Значит, (V а)х — nv при условии (V a)(xV у) = v по правилу 57?9. Но из первой и второй комбинаций не следует у — nv. Значит, (3 а)у — v при условии (V а)(а: V у) — v по правилу 5779. По правилу для дизъюнкции ((V a)а: V (3 а)у) = v. Значит, ((V а)(х\/у) = v) —> ((V а)ж\/(3 а)у) = v. Пусть ((V а)ж\/(3 а)у) — nv. По правилу для дизъюнкции (Va)a: = nv и (Va)jz — nv. По правилам 57?3 и 57?25 для х возможны случаи х = v и х = nv, а у = nv. Так что для случая х = nv и у = nv получим, что (а: V U) — nv. Значит, по правилу 57710 (V а)(х V у) — nv. Значит, (((Уа)ж V (3 а)у) = nv) —> ((Vа)(х V у) — nv). Таким образом формула 2 имеет значение v по правилу 57711. Пусть, далее, (За)у — nv. По правилу SR25 у = nv. Но отсюда не следует как (а: V у) = v, так и (а: V у) = nv. Следовательно, значение х V у не зависит от (3 а)у, и формуле (Va)(a: V у) можно приписать значение v при условии (3 а)у = nv. Значит формула 3 имеет значение nv.

МТ1. Для любой формулы х (- у можно установить, имеет она значение v или nv.

Теорема МТ1 доказывается путем пересмотра всех случаев структур х и у и установления того, что для всех этих случаев есть правила нахождения значений вхождений в формулу при заданном значении формулы и нахождения значений формулы по заданным значениям вхождений в нее.

Для других систем теории кванторов правила 5779 - 57712 легко переформулировать, изменив лишь ограничение на соотношение пропозициональных переменных и предикатных формул, входящих в посылки и заключения формул следования.

МТ2. Если х (- у есть теорема в системе Q' для классического случая, то она имеет значение v.

Доказательство МТ2. Легко убедиться в том, что все аксиомы имеют значение v. Для Ач1: если (Va)i — v, то по 5771 х = v; если х — nv, то по SR2 (Va)a: = nv. Для Aq2: если х = v, то по 577'5 (За)ж — v; если (За)а: = nv, то по SR25 х — nv. Для 4Ч3. Пусть кванторы не вырождены и правила 5779, 57710 неприменимы. Пусть ((Уа)а: Л (3 a)y) — v. В таком случае (V а)а: = v, х = v, (3 а)у — v, у = v или у = nv. Поскольку возможно у = v, то возможно (х/\у) = V, и по правилу SR9 (За)(а: Л у) = v. Пусть (3 а)(а: Л у) = nv. В таком случае (ж А у) — nv, возможно х = nv, (V а)х = nv и ((V а)х Л (3 а)у) — nv. По правилу 57211 данная формула имеет значение v.

Если применимы SR9 и 57210, то она имеет значение v для любых х. Для Ач4: если (V d)(xVy) = v, то (xVy) = v, возможно у — v, значит, (3 а)у = v и по правилу для дизъюнкции ((V а)а: V (3 а)у) — v; если ((Уа)ж V (За)у) = nv, то (Уа)х — nv, (3 а)у = nv, у = nv, возможно х — nv, возможно (х V у) = nv и значит, (Vа)(а: V у) = nv. Для 4Ч5 и Лч6 формулы (V а)а: и ~ (3 а) ~ ж равнозначны согласно SR5, а для Лч7 и 4Ч8 посылка и заключение равнозначны согласно SJ26. Правила вывода свойство формул следования иметь значение v сохраняют. Пусть (х I- y)v.

Если имеет место то, что сказано в антецеденте SR9 или 57210, то это же самое будет иметь силу для (V a)a: Е (V а)у и (3 а)а: (- (3 а)у. Если же (х I- у) = v в силу SR11, то справедливо такое рассуждение: если (Va)a: = v, то х = v, по условию у = v; по правилу 5727 (V а)у — v; если (V а)у = nv, возможно у — nv, по условию х = nv и по правилу 5728 (V а)х — nv. Значит, ((V а)х (- (V а)у) — v.

Аналогично для 72ч2: если (3 а)а: — v, то возможно х = v, по условию у = v и в силу SJ210 (3 а)у — v; если (3 а)у = nv, то у = nv, по условию х = nv и по правилу SR9 (3 а)х — nv.

Для неклассического случая правило SR5 исключается, правила 5J2I5-S7245 принимаются как основные и, кроме того, принимаются следующие правила:

572113. Если (V а)х — v, то (-> V а)х — nv.

572213. Если (~>Va)a: — v, то (Va)a: — nv.

SR114. Если (V a)a: = nv и (V a) не является вырожденным в (V а)ж, то значение (-i V а)а: не зависит от (V a)T.

572214. Если (-■ V а)х — nv и (V а) не является вырожденным в (V а)х, то значение (V а)х не зависит от (~i V а)х.

SR115. (?Уф равнозначна ~(Va)a:A~(-iVa)a:.

SR215. (3 а)х равнозначна (-> Vа) ~ ж.

572315. (-13 a)T равнозначна (Va) ~ ж.

572415. (?3 а)х равнозначна (?V а) ~ х.

Производные правила:

572116. (-■ V а)х равнозначна (3 a) ~ х.

572216. (2V а)х равнозначна ~ (Уа)а:А ~ (3 а) ~ х.

SR316. (?3 а)х равнозначна ~ (3 d)x Л (-> 3 d)x.

SR* 16. (?3 а)х равнозначна ~ (V а) ~ (3 а)х.

Правила для предикатных формул в неклассическом случае:

SR} 17. Если Q(b\ ... ,bn) = v (где п 1), то -> Q(b\ ... ,bn) = nv.

SR217. Если -> Q(b',. ..,bn) = v, то Q(b\ ..., b") = nv.

SR118. Если Q(b’,..., b") — nv, то значение -> Q(b],... ,bn) не зависит от Q(b',..., b").

SR218. Если -i Q(b’, = nv, то значение Q(b|,... ,bn) не за

висит от -i H(b,,..., b").

SR19. 7Q(bi,...,bn) равнозначна ~Q(b',.. .,b")A~->Q(b1,.. .,b").

МТ7>. Если x t- у есть теорема в системе Q' для неклассического случая, то (х (- у) = v.

D1. Тавтологии:

1) пропозициональная формула х/\у есть тавтология, если и только если х и у обе суть тавтологии;

2) формула xV у есть тавтология, если и только если ~ х (- у есть теорема Q';

3) (V а)х есть тавтология, если и только если х есть тавтология;

4) (3 а)х есть тавтология, если и только если х есть тавтология;

5) в остальных случаях х есть тавтология, если и только если х 3 (- у суть теоремы Q', а у есть формула одного из указанных в 1-4 видов;

6) формула есть тавтология только в случаях 1—5.

Формулы, указанные в пункте 5, суть формулы вида

~z, (-iVa)z, (-i3a)z, (?Va)z и (?3 a)z.

А в Q' имеются теоремы, позволяющие элиминировать операторы -> и ?, а оператор ~ переместить за кванторы и за скобки в конъюнктивные и дизъюнктивные члены.

Главным в установлении того, является пропозициональная формула тавтологией или нет, является вопрос о формулах вида х V у, который сводится к вопросу, является ~ х И у теоремой или нет. Например,

~ (V а)(х V у) V ((V d)x V (3 а)у)

есть тавтология, поскольку

~~ (V а)(х V у) (- (V а)х V (3 а)у

есть теорема (в силу 4Ч1 и правила двойного отрицания).

D2. Пропозициональная формула х есть противоречие, если и только если ~ х есть тавтология.

D3. Пропозициональная формула выполнима, если и только если она не есть противоречие.

Правило для формул вырожденного следования:

SR2Q. (bx) = t), если и только если х есть тавтология.

МТЗ. Если Е х есть теорема Q'd, то (к х) = и.

Эта семантическая система интересна тем, что в ней не предполагаются никакие области значения переменных в традиционном смысле и не предполагаются никакие соотношения областей значения различных переменных. Области значения переменных при этом суть логические объекты — термины и высказывания языка. И вопрос о них есть вопрос внелогический в том смысле, что это вопрос приложений логических теорий, но не их вида (не затрагивающий классов логических правил).

§ 29. Проблема полноты

Проблема полноты для систем теории кванторов может рассматриваться в узком смысле (т. е. лишь для определенного вида формул следования, имеющих значение и) и в широком смысле (для любых формул следования, имеющих значение v). В этом параграфе мы рассмотрим полноту систем теории кванторов в узком смысле. Ограничимся лишь системами для классического случая. Для систем неклассического случая проблема решается аналогично, меняется только число и вид рассматриваемых базисных формул и объем используемых семантических правил. Последующее изложение будет иметь силу как для косвенной семантической интерпретации (§ 19), так и для нетрадиционной семантики, изложенной в предшествующем параграфе.

D1. Формулу следования будем называть базисной, если и только если она есть одна из формул такого вида:

1) a(Kd)0x Е ух;

2) ух Е a(Ka)px;

3) а(К1а)РхЬ у(К2а)ёх;

4) а(К'а)(а2х Л а2у) Е р'(К2а)р2х Л р2(К2а)р4у;

5) а (К'а)(а2х V а2у) Е р'(К2а)р2х V Д3(К2а)р4у;

6) р\К2а)р2х Л р2(К2а)р4у Е а'(к'а)(а2х Л а3у);

7) р\К2а)р2х V р2(К2а)р4у Е а'(К'а)(а2х V а2у);

8) а'(К'а)р'(К2Ь)у'х\-а2(К2Ь)р2(К4а)у2х, где К, К1-К4 суть кванторы V и 3 в любой комбинации, а буквы a, Р, у, 6, ol',P', 7’ означают наличие или отсутствие отрицания (точно так же в любых комбинациях).

МТ 1. Если базисная формула имеет значение v, то она есть теорема Q'.

Теорема МТ 1 доказывается путем пересмотра всевозможных базисных формул. Благодаря правилам для отрицания операторов V, Л, V, 3 число случаев, которые нужно рассмотреть, сокращается (сводится к числу случаев (1-8) без отрицаний перед кванторами). Кроме того, в этих системах имеются правила, позволяющие отбрасывать вырожденные кванторы. Наконец, в силу утверждения, согласно которому формула ж* Р у* имеет значение nv при том условии, что ее бескванторная форма имеет значение nv, достаточно рассмотреть лишь случаи (1-8), в которых перед ж и у нет отрицания.

В результате пересмотра базисных формул получается, что следующие базисные формулы имеют значение v:

1) (Уа)ж1-ж;

2) х 1- (3 а)х;

3) (V а)х Р (V а)х,

(V а)х Р (3 а)ж,

(3 а)х Р (3 а)ж;

4) (V а)(ж Л у) Р (V а)х Л (V а)у,

(V а)(ж Л у) Р (V а)х Л (3 а)у,

(V а)(ж Л у) Р (3 а)ж Л (V а)у,

(V а)(ж Л у) Р (3 а)ж Л (3 а)у,

(3 а) (ж Л у) Р (3 а)ж Л (3 а)у;

5) (V a)(ж V у) Р (V а)ж V (3 а)у,

(V а) (ж V у) Р (3 a)ж V (V а)у,

(V а) (ж V у) Р (3 а)ж V (3 а)у,

(3 а) (ж V у) Р (3 а)ж V (3 а)у;

6) (V а)х Л (V а)у Р (V a)(ж Л у),

(Vа)ж Л (3 а)у Р (3 a)(ж Л у),

(3 а)х Л (V а)у Р (3 a)(ж Л у),

(V а)х Л (V а)у Р (3 a)(ж Л у);

7) (V а)ж V (V а)у Р (V a)(ж V у),

(V а)х V (3 а)у Ь (3 a)(ж V у),

(3 а)х V (V a)y Е (3 а)(х V у),

(3 а)х V (3 а)у Е (3 а)(х V у),

(V а)х V (V а)у Е (3 а)(х V у);

8) (Va)(Vb)xF (Vb)(Va)x,

(V a)(Vb)x F (3 b)(V a)x,

(Va)(Vb)xF (Vb)(3a)x,

(V a)(V b)x E (3 b)(3 a)x,

(V a)(3 b)x I- (3 b)(3 a)x,

(3 a)(V b)x E (V b)(3 a)x,

(3 a)(V b)x F (3 b)(3 a)x,

(3a)(3 b)xF(3 b)(3a)x.

Все эти формулы суть теоремы (см. § 13). Теоремами будут также базисные формулы, полученных из них путем применения правила замены эквивалентности, правил отрицания операторов и правил для вырожденных кванторов. Все прочие базисные формулы имеют значение nv.

МТ2. Если xF у имеет значение v, х* F у* есть ее бескванторная форма, х* и у* тождественны или одна из них может быть получена из другой заменой вхождений вида ~~ z на z, то х Е у есть теорема.

Теорема МТ2 доказывается путем пересмотра всех возможных соотношений структур хи у. Для х возможны только такие случаи, когда х есть:

1) пропозициональная переменная или предикатная формула;

2) (V а)и;

3) (За)щ;

4) д' V и2;

5) и1 Л и2;

6)

Для у возможны только такие случаи, когда у есть:

1) пропозициональная переменная или предикатная формула;

2) (V b)w;

3) (3ft)w;

4) w1 V w2;

5) w' Aw2;

6)

Затем рассматриваются всевозможные комбинации (г) Е (к) перечисленных случаев. Шестой случай сводится к остальным.

Для (1) F (1) теорема верна в силу Случаи (1) F (2) и (1) F (3) сводятся к базисным. Случаи (1) Н (4) и (1) F (5) исключаются. Случай (2) Н (1) сводится к базисному. Для случая (2) F (2) имеет силу следующее: если а и & тождественны и (2) F (2) имеет значение v, то u F w имеет значение v; если u h w есть теорема, то (2) F (2) — теорема в силу Яч1; если а и & различны и (2) F (2) имеет значение v, то и F (Vb)w имеет значение v\ а если и F (Vb)w есть теорема, то в силу теоремы (V a)u F и теоремой будет (2) F (2).

Для случая (2) F (3) рассуждение аналогично: если а и b одинаковы, то и F w имеет значение v; если и F w есть теорема, то по правилу Яч2 (3 а)и F (3 a)w — теорема, а согласно теореме (V а)и F (3 а)и теоремой является (2) F (3); если а и b различны и (2) F (3) имеет значение v, то (3 a)w F w имеет значение v; если она есть теорема, то согласно теоремам (V а)и F (3 а)и и w F (3 b)w будет теоремой (2) F (3). Случай (2) F (4) сводится к базисному. Случай (2) F (5) тоже сводится к базисному.

Случай (3) F (1) сводится к базисному. Для случая (3) F (2) имеет место следующее: если а и & одинаковы, то (3) F (2) может иметь значение v лишь при том условии, что (3 а) или (V Ь) является вырожденным; в таком случае и F (V b)w или (3 а)и F w имеют значение v; а если какая-то из них есть теорема, то теоремой будет (3) F (2) в силу ЯЧ1 или Яч2 и аксиом для вырожденных кванторов; если а и b различны, то и F (Vb)w имеет значение v и (За) является вырожденным в (3 a)(V b)w (т. е. а не входит свободно в w или теоремами являются w Ч F kV ~ к); а если она есть теорема и указанное ограничение выполнено, то в силу Яч2 и аксиом для вырожденных кванторов теоремой будет (3) F (2).

Для (3) F (3) имеет силу следующее: если а и & одинаковы, то u F w имеет значение v, а если она есть теорема, то в силу Яч2 (3) F (3) есть теорема; если а и & различны, то (3 а)и F w имеет значение v, а если она есть теорема, то в силу теоремы w F (3 &) w теоремой является

(3) F (3). Случаи (3) F (4) и (3) F (5) сводятся в базисным. Случаи

(4) F (1), (4) F (5), (5) F (1) и (5) F (4) исключаются. Случаи (4) F (2), (4) F (3), (4) F (4), (5) F (2), (5) F (3), (5) F (5) сводятся к базисным.

Системы теории кванторов для классического случая являются полными в некотором узком (или интуитивном) смысле, поскольку верна теорема МТ2.

§ 30. Полнота сильной теории кванторов для классического случая

В этом параграфе мы изложим доказательство полноты систем сильной теории кванторов для классического случая в более широком (чем в § 27) смысле, а именно — в смысле такого утверждения: если (х h у) = v, то х h у есть теорема. Напоминаем, что упомянутые системы в качестве общей теории дедукции предполагают S’, неопределенности в них исключены, а отрицания не различаются. С некоторыми модификациями, учитывающими соотношения пропозициональных переменных и предикатных формул в посылках и заключениях формул следования, а также (затем) наличие неопределенностей и двух отрицаний, излагаемое доказательство может быть распространено на прочие системы теории кванторов. Значения формул следования будем устанавливать по семантическим правилам, изложенным в § 19 (т. е. косвенной семантической интерпретации).

Из принятых выше правил получаются такие производные правила, которые будут полезны в дальнейшем.

SR4. Если (х h у) = v и х = v, то у = v. Если (х \- у) = v и у = nv, то х — nv.

SR5. Если при некотором допущении W имеет место (х = v) —» (у — v), то W —> ((х h у) = v). Если W —> ((у = nv) —>■ (х = nv)), то W-*((xhy) = v).

Примем также следующие дополнительные определения.

O8. Значение пропозициональной формулы х зависит от субъектной или предикатной переменной а, если и только если а входит свободно их и для различных отмеченных переменных га и ка формулы х* и хк не равнозначны (а? и хк суть результат замены свободных вхождений а в х соответственно на ia и ка).

МТ 1. Если х есть тавтология, а у есть ее бескванторная форма, тох\-уиу\-х суть теоремы.

Доказательство МТ1. Если х есть тавтология, то (у I- х) = v, и согласно МТ2 из § 27 формула у Е х есть теорема. Если х есть тавтология, то у есть тавтология, поскольку у есть одна из интерпретационных форм х. Значит, (х Е у) = v, и согласно МТ2 из § 27 формула х Е у есть теорема.

МТ2. Если х есть противоречие, а у есть ее бескванторная форма, то х\-уиу\-х суть теоремы.

Доказательство МТ2. Если х есть противоречие, то ~ х есть тавтология. Согласно МТ 1 формулы ~ х Е~ у и у Е~ х суть теоремы. Значит, теоремы суть ~~ х Е~~ у, ~~ у Е~~ х, х Е у и у Е х.

МТЗ. Если х у имеет значение v, то ее бескванторная форма х* Е у* есть теорема.

Доказательство МТ3. Если (х Е у) = v, то (х* Е у*) — v, поскольку х* Е у* есть одна из интерпретационных форм формулы х Е у (при п = 0). А в силу полноты S* формула х* Е у* есть теорема.

МТ4. Если (х Е у) = v, то (х Е х Л у) = v. И если (х Ь х Лу) = v, то (х Е у) = v.

Доказательство МТ4. Пусть (х\- у) — v. Если х есть противоречие, то (х Е х Л у) = v. Если у есть тавтология, то х равнозначна х л у. Если х = v, то (х Л у) = v. Если (х л у) — nv, то х = nv. Значит, (х Е х Л у) = v. Если (х Е у) = v и х = v, то у = v и (х Л у) = v. Если (х Л у) = nv, то х = nv или у — nv. Если у = nv, то х = nv. Если х = nv, то х = nv. Значит, (х\- хГ\у) — v.lAa обратную сторону. Пусть (х Е х Л у) — v. Если х противоречие, то (х Е у) = v. Если х Л у есть тавтология, то у есть тавтология, и (х I- у) — v. Если (х I- х Л у) = v и х — v, то (х Л у) = v и у = v. Если у = nv, то (х Л у) = nv и х = nv. Таким образом, из допущения х = v следует у = v, а из допущения у = nv следует х = nv. Значит, (х\~ у) = v.

Возьмем произвольную формулу х I- у, имеющую значение v. Возможны три случая:

1) х есть противоречие;

2) у есть тавтология;

3) х не есть противоречие, а у не есть тавтология.

Рассмотрим первый случай. Если х есть противоречие, то х h х* и х* Е х суть теоремы (согласно МТ2), где х* есть бескванторная форма х. Если (х Е у) = v, то в силу МТ3 будет теоремой формула ж* Е у*, являющаяся бескванторной формой х Е у. Очевидно, у* есть бескванторная форма у. Значит, х Е у* есть теорема. Формула у может быть:

1) пропозициональной переменной или предикатной формулой а;

2)

3) (3 а)В;

4) (V а)В;

5) AVB;

6) А Л В ;

7) ~Л-

В первом и втором случае у совпадает с у*. Случай 7 сводится к 1-6. Для случая 3: (х Е В) = v, поскольку х есть противоречие. Пусть жЕВ есть теорема; В Е (3 а)В есть теорема; значит, х Е (3 а)В есть теорема. Для случая 4: (х Е В) = v, поскольку х есть противоречие; пусть хЕВ есть теорема; по правилу ЯЧ1 теоремой будет (V а)х Е (V а)В; но (х Е (V а)х) — v, и согласно МТ2 из §27 формула х Е (V а)х есть теорема; значит, х Е (V а)В есть теорема. Для случая 5: если (х Е А V В) = v, то (х Е А) = v и (х Е В) = v; пусть х Е А и х Е В суть теоремы, тогда iFAVB есть теорема. Для случая 6: если (х Е А л В) = v, то (х Е А) = v и (х Е В) = v; если х Е А и х Е В суть теоремы, то х Е А Л В есть теорема.

Рассмотрим, далее, случай, когда у есть тавтология. Если у есть тавтология, то согласно МТ 1, у ЧЕ у* суть теоремы, где у* есть бескванторная форма у. Если (х Е у) = v, то согласно МТЗ бескванторная форма х* Е у* формулы х Е у есть теорема. Значит, х* Е у есть теорема. Пропозициональная формула х есть формула одного из видов:

1) пропозициональная переменная или предикатная формула а;

2) ~а;

3) (3 а)В;

4) (Va)B;

5) Av В;

6) Ал В;

7) ~д.

Случай 7 сводится к 1-6. В случаях 1 и 2 а: совпадает с х*. Для случая 3: если ((3 а)В Е у) = v, то (В Е у) = v, поскольку у есть тавтология; пусть В Е у есть теорема; по правилу Яч2 (3 а)В Е (3 а)у есть теорема; если у есть тавтология, то ((3 а)у Е у) = v; по МТ2 из §27 формула (3 d)y Е у есть теорема; значит, (3 а)В Е у есть теорема. Для случая 4: (В Е у) = v, поскольку у есть тавтология; пусть В Е у есть теорема; (V а)В Е В есть теорема; значит, (V а)В Е у есть теорема. Для случая 5: (Л. Е у) = v и (В Е у) = v, поскольку у есть тавтология; пусть А Е у и В Е у суть теоремы; тогда А V В Е у есть теорема. Для случая 6 аналогично.

Остается, таким образом, рассмотреть такие формулы х Е у, в которых посылка не есть противоречие, а заключение не есть тавтология. Здесь возможны два подслучая:

1) (х Е у) = v и (у Е х) = v,

2) (х Е у) = v, но (у Е х) = nv.

Благодаря МТ4 второй подслучай сводится к первому. Если (х Е у) = v и (у Е х) — nv, то вместо х Е у можно взять формулу х Е х л у:

1) (х Е у) = v, если и только если (х Е х Л у) = v;

2) х Е у есть теорема, если и только если х Е х л у есть теорема.

Так что в дальнейшем мы будем рассматривать только такие х Е у, для которых верно: (х Е у) = v и (у Е х) = v. В таких формулах, очевидно, х и у равнозначны.

MTS. Если х Е у есть теорема и при этом х и у равнозначны, то ~ х Е ~ у есть теорема.

Доказательство МТЗ. Для каждой аксиомы х Е у, в которой посылка и заключение равнозначны, доказуема формула ~ х Е ~ у (это доказывается пересмотром всех аксиомных схем такого рода). Остаются аксиомы вида:

1. А Л BE А;

2. (Va)AA(3a)BE (За)(АлВ);

3. (Va)(AVB)E(Va)AV(3a)B,

среди которых имеются аксиомы х\- у с неравнозначными хи у. Нам нужно выбрать лишь такие х Е у, в которых хи у равнозначны и, следовательно, (у Е х) = v. Возьмем (1). Если А и А Л В равнозначны, то А и В равнозначны и (A Е А Л В) = v. Значит, {А \г В) — v. Если A Е В есть теорема, то ~ В Е ~ А есть теорема (поскольку А и В равнозначны, в А не входят пропозициональные переменные и предикатные формулы, отсутствующие в В). Формула ~ А Е~ А есть теорема. Значит, ~Av~BE~A есть теорема и ~(АлВ) есть теорема.

Возьмем (2). Если (Уа)Ал(За)В и (3 а) (А Л В) равнозначны, то ((3 а)(А Л В) I- (V a)А Л (3 а)В) = v, ((3 a)(А Л В) Е (V а)А) = v и ((3 а)(АлВ) Е (3 а)В) = v. Пусть (3 а)(АлВ) Е (Va)A и (3 а)(АлВ) Е (3 а)В суть теоремы. В таком случае теоремами являются следующие формулы:

(3 а)(А Л В) Е (V а)А Л (В V ~ В),

(3 а)(А Л В) Е (3 а)В Л (А V ~ А),

~(Va)AV~(BV~B) I—(3а)(АлВ),

~(3a)BV~(Av~A) I—(Эа)(АЛВ),

~(Va)AV~(BV~B) V~(3a)BV~(Av~A) I—(3a)(A AS),

~ (V a)A V ~ (3 a)B I— (3 a)(A A B),

~ ((V а)АЛ ~ (3 a)B) E ~ (3 a)(A A B).

Аналогично получим для (3): если (V а)(А V В) и (V а)А V (3 а)В равнозначны, то ~ (V a)(А V В) Е~ ((V а)А V (3 а)В) есть теорема.

Путем пересмотра правил вывода получим, что они сохраняют рассматриваемое свойство теорем.

Пусть х Е у есть произвольная формула, такая, что (х Е у) = v и (у Е х) = V. Докажем, что х Е у есть теорема. Доказательство проведем индукцией по числу вхождений логических операторов в х ив у.

Формула х есть формула одного из следующих видов:

1) пропозициональная переменная или предикатная формула а;

2)

3) (3 а)В;

4) (V a)S;

Случай x E ft. Если x есть а, то (x\- ft) = v лишь тогда, когда a есть ft. Ho ft E ft есть теорема. Если x есть ~ a, то (x I- p) = nv при любом a. Пусть x есть (3 a)B. Если В = v, то (3 a)B = v. И если ((3 a)B E ft) = v, to p — v. Если p — nv, то при ((3 a)B E /3) = v будет (3 a)B = nv и В = nv. Значит, (В E /3) = v.

Пусть В E p есть теорема. Но ((3 а)В Е /3) = v лишь при том условии, что а не входит свободно в В. Если а входит свободно в В, то (В* Е ft') = v (г указывает на то, что свободные а заменены на га). Приписав /3' значение nv, мы должны приписать В’ значение nv. Но если число отмеченных переменных для а более единицы, то формуле В*, где г к, мы можем приписать значение v, поскольку в нее не входит ft'. Получим, что (В' V В4) — v, а ft' — nv, т. е. ((3 а)В h■ft) = nv, что противоречит условию.

Пусть х есть (Va)B. Если ((Va)B Е В) = v, то (ft Е (Va)B) — v. Если В зависит от а, то (ft Е (Va)B) — nv. Значит, В не зависит от а. Значит, (В Е ft) = v. Если В Е /3 есть теорема, то (Va)B Е ft — теорема. Пусть х есть В V С. Если B = v,ToBvC = vnft = v. Если С = v, то В V С = v и ft = V. Если ft — nv, то В V С = гаг/, В — nv и С — nv. Значит, если (В V С Е ft) = v, то (В Е ft) = v и (С Е ft) = v. Если В Е ft и С Е ft суть теоремы, то В V С Е /3 есть теорема.

Пусть х есть В Л С. Если ft есть пропозициональная переменная, то (В* Л С* Е ft) = v, где В* Л С* есть бескванторная форма В Л С, и в силу полноты Ss В*/\С* Е /3 есть теорема. Поскольку ВАС Е В* л С* есть теорема (все кванторы, если они входят в В Л С, вырождены), то В Л С Е ft есть теорема. Пусть ft есть Q(a',..., ап), где п 1.

Пусть В' Л С’ Е iQ(ilal,... ,гпап) есть произвольная интерпретационная форма ВАС Е ft. Поскольку в В и С не входят никакие пропозициональные переменные и не входят никакие предикатные формулы, кроме ft, то имеет силу следующее: если В' — v, то iQ(i}a\ ..., г”a") — v; если С' — V, то , гпап) — v; если iQ(i}a\..., inan) — nv, то по крайней мере одна из В' и С имеет значение nv. Значит, по крайней мере одна из В\~0иС\~0 имеет значение v. Если одна из них есть теорема, то В Л С Е 0 есть теорема, поскольку ВлСНВ и В Л С Е С суть теоремы.

Пусть х есть ~ В. Благодаря правилу снятия двойного отрицания и правилам для отрицания конъюнкции, дизъюнкции и кванторов этот случай сводится к предшествующим.

Случай х Е~Д аналогичен случаю х Е 0.

Случай х Е (V b)D. Пусть значение х не зависит от Ь. Если x — v, то (V&)B — v, если D — nv, то (V&)B = nv и х = nv. Значит, (х Е В) = V. Пусть хЕВ есть теорема. По правилу ЯЧ1 (V b)x Е (V &)В есть теорема. Но (х Е (V b)x) — v, и по МТ2 из §27 х Е (V Ь)х есть теорема.

Значит, х Е (V &)В есть теорема.

Пусть значение х зависит от Ь. Возможны два случая:

1) значение D не зависит от Ь;

2) значение D зависит от Ь.

В первом случае (х Е D) = v и (В Е (V&)В) — v. Если хЕО есть теорема, то х Е (V &)В есть теорема, поскольку D Е (V &)В есть теорема (в силу МТ2 из § 27). Во втором случае, приписав интерпретационной форме х*г формулы х значение v, мы можем какому-либо из членов конъюнкции интерпретационной формы D*1 Л... Л В*" формулы (V b)D приписать значение nv. Значит, в этом случае (х Е (V6)В) — nv.

Для случая х Е (3 &)В имеет силу следующее. Если (х Е (3 b)D) — v и ((3 &)В Е х) = v, то х и (3&)В равнозначны. Значит, (~ х Е ~ (3 b)D) — v, (~ х Е (V&) ~ В) = v и ~ х Е (V&) ~ В есть теорема (предыдущий случай). Согласно МТ5 теоремой будет ~~а: E~(Vb)~В, и, следовательно, х Е (3 &)В.

Случай а: Е D Л Е. Если (х Е В Л Е) — v и х — v, то В Л Е = v, В = v и Е = V. Если В — nv, то DhE = nvwx = nv. Если Е — nv, то D/\E = nvwx = nv. Значит, (х Е В) = v и (х Е Е) = v. Пусть хЕВихЕВ суть теоремы. Значит, а: Е D ЛЕ есть теорема.

Случай xEBVB сводится к предшествующему благодаря МТ5. Если (xEBVB) = tiH (В V Е Е х) = v, то (~ х Е~ (В V Е)) — v, (~ х Е~ Вл ~ Е) = v, (~ х Е~ В) = v и (~ х Е~ Е) — v. Пусть ~ а: Е~ В и ~ а: Е ~ В суть теоремы. Значит, ~ х Е~ Вл ~ Е, ~~ х Е ~ (~ Вл ~В) и xEBvE суть теоремы.

Наконец, случай х Е ~ В сводится к рассмотренным ранее благодаря правилу снятия двойного отрицания и правилам для отрицания конъюнкции, дизъюнкции и кванторов.

Таким образом, имеет силу утверждение:

МТ6. Если (х Е у) = v, то х Е у есть теорема.

§ 31. Полнота сильной теории кванторов для классического случая относительно нестандартной семантики

Теорема МТ6 предшествующего параграфа верна и относительно системы семантических правил, изложенных в § 28.

Примем еще такие семантические правила:

S.R13. Всегда х — nv (или невозможно х — v), если и только если все комбинации значений пропозициональных формул, входящих в х, являются недопустимыми при условии х = V.

SR14. Всегда х = v (или невозможно х = nv), если и только если все комбинации значений пропозициональных формул, входящих в х, являются недопустимыми при условии х = nv.

Имеют силу, очевидно, производные правила:

1) если (х F у) = v и х = v, то у = v; если (х F у) = v и у = nv, то х — nv;

2) если (a: F у) = v и (у F х) = v, то х и у равнозначны; и наоборот.

Пусть х* есть бескванторная форма х, А1,... ,Ап суть все вхождения пропозициональных формул в х, Ah ..., Am суть все вхождения пропозициональных формул в х*, В1,..., Вк суть все пропозициональные переменные и предикатные формулы, входящие в х (и, очевидно, в х*).

МТ 1. Если aan есть недопустимая комбинация значений А1,... ,Ап при условии х = i (г есть v или nv), то при этом по крайней мере одной В' приписываются оба значения v и nv.

Теорема МТ 1 доказывается индукцией по числу вхождений логических операторов в А1, которой в комбинации а1,,ап приписываются оба значения v и nv (т. е. одному вхождению А1 в х приписывается v, а другому — nv).

МТ2. Все комбинации значений В\ ... ,Вк при условии х* = г включаются в множество комбинаций значений В1 ... ,Вк при условии х = г (доказывается индукцией по числу вхождений логических операторов в а:).

Из МТ 1 и МТ2 следует:

МТЗ. Если все комбинации значений ААп при условии х = г недопустимы, то все комбинации значений Ai,...,Am при условии х* = i также недопустимы.

МТ4. Если все комбинации значений А1,...,Ап при условии х = v недопустимы, то х* есть противоречие. Если все комбинации значений Л1,..., Л" при условии х = nv недопустимы, то х* есть тавтология.

Доказательство МТ4. Если все комбинации значений Л1,..., Л" при условии х = v недопустимы, то согласно МТ3 все комбинации значений At,...,Am при условии х* = v недопустимы. Приведем х* к дизъюнктивной нормальной форме у1 V... V уг. Если у' (г = 1,, г) приписано значение v, то в у1 должны входить В3 и ~ В3 (иначе число комбинаций значений не будет недопустимой). И так для всех у1,...,ут. Значит, у1 V ... V з/г (и х*) есть противоречие. Если все комбинации значений Л1,..., Л" при условии х — nv недопустимы, то согласно МТ3 все комбинации значений А\,..., Ат при условии х* — nv недопустимы. Приведем х* к конъюнктивной нормальной форме у1 А ... А ут. Если у' приписано значений = nv, то в у' должны входить В3 и ~В3. И так для всех уут. Значит, у1 А... Луг (и х*) есть тавтология.

МТ5. Если все комбинации значений ЛЛ" при условии х = г недопустимы, то х* Е х и х Е х* суть теоремы.

Доказательство МТ5. Если все комбинации значений Л1,..., Л" при условии х — i недопустимы, то согласно МТ3 все комбинации значений А\,..., Ат при условии х* — i недопустимы. И согласно SR9 и SfllO (х Е х*) = v и (х* Ег) = ». Согласно МТ2 из § 27 х Е х* и х* Е х суть теоремы.

МТ6. Если (х Е у) = v, то (х Е х А у) = v. Если (х Е х Л у) = v, то (х Е у) = V.

Доказательство МТ6. Если все комбинации значений пропозициональных формул, входящих в х (входящих в у), при условии х = v (при условии у — nv) недопустимы, то (х Е у) — v и (х Е х Л у) = v. Если же возможно х = v и возможно у = nv, то имеет место следующее: если х — v, то у = v, х А у = v; если х д у = nv, то либо х — nv, либо у = nv и опять-таки х = nv. И наоборот, если х = v, то хлу = v и у = v; если у — nv, то xT\y = nvnx = nv.

МТ7. Если х Е у есть теорема и при этом хи у равнозначны, то ~ х Е ~ у есть теорема (доказательство аналогично доказательству МТ5 из §31).

Благодаря МТ6 достаточно (как и в §31) рассмотреть далее формулы х Е у такие, что (х Е у) — v и (у Е х) = v.

Возможны три случая:

1) все комбинации значений пропозициональных формул, входящих в ж, при условии х = v недопустимы;

2) все комбинации значений пропозициональных формул, входящих в у, при условии у — nv, недопустимы;

3) возможно x — v и у = nv.

В случаях 1 и 2 (х И ж*) = v, (ж* И у*) = v и (у* Е у) = v, и согласно МТ2 из § 27 и в силу полноты Ss формулы х Е х*, х* И у*, у* И у суть теоремы. Значит, х И у есть теорема.

В случае 3 необходимо рассмотреть всевозможные комбинации, когда х есть а, -~а, (3 а)А, (V а)А, А V В, А Л В, ~ А, а у есть /3, ~ /3, (3b)C,(Vb)C,CVD,C/\D,~C.

Рассмотрим формулы жЕ/ЗижЕ~/3. Если х есть а, то (а: И /3) = v лишь тогда, когда а есть /3, a /3 И /3 есть теорема. Если х есть ~ а, то (ж I- /3) = nv для любых а. Если х есть а, то (ж Е~ /3) — nv для любых а. Если х есть ~ а, то (х Е~ /3) = v лишь при том условии, что а есть /3. А ~ /3 Е~ /3 есть теорема. Если ((За)A Е /3) = v, то (А Е /3) = v. Пусть A Е /3 есть теорема. Если А и (3 а)А равнозначны, то ((3 a)А Е А) — v и (3 а)А Е А есть теорема согласно МТ2 из § 27. Значит, (3 а)А Е /3 есть теорема. Если (3 а)А и А неравнозначны, то возможно (За)А = v и при этом А = nv, возможно А = nv и при этом /3 = v (поскольку (3 а)А и /3 равнозначны). Значит, возможно приписать /3 значение v, а А значение nv. Но тогда (3 а)А можно приписать значение nv. Получим, что (/3 Е (3 а)А) — nv, что противоречит условию. Аналогичное рассуждение имеет силу для (3 а)А Е~/3.

Пусть х есть (Уа)А. Если ((Vа)А Е /3 = v, то (/ЗЕ (Vа)А) — v, (~(Уа)А Е~/3) = v и ((За)~ А Е~/3) — v. Если (За)~ А Е~/3 есть теорема, то ~ (За) ~ А Е~^ /3 — теорема и (Va)A Е /3 — теорема. Если ((Vа)А Е~ /3) = v, то ((3 а) ~ А Е /3) = v. Если (3 a) ~ А Е /3 есть теорема, то (V а)А Е~/3 — теорема. Пусть ж есть А V В. Если (А V В) Е /3) = v, то (А Е /3) — v и (В Е /3) = v. Если А Е /3 и В Е /3 суть теоремы, то А V В Е /3 — теорема. Аналогично для А V В Е~ /3. Пусть ж есть А Л В. Если (А Л В Е /3) = к, то (~AV~BE~/3) = v и АЛВ Е /3 — теоремы. Если (АлВ‘Е~/3) = v,to(~AV~BE/3)=?> и А Л В Е ~ /3 — теорема. Случаи ~АЕ/Зи~АЕ~/3 сводятся к ранее рассмотренным по правилам снятия двойного отрицания и для отрицания конъюнкции, дизъюнкции и кванторов.

Случай ж Е ~ С сводится к прочим по правилам двойного отрицания и отрицания конъюнкции, дизъюнкции и кванторов. Случай ж Е С V D сводится к случаю ~ ж Е~ С Л ~ D (согласно МТ 7). Случай ж Е (3 Ь)С сводится к случаю ~ ж Е (V b) ~ С (согласно МТ7). Для случая ж И С Л D имеет силу следующее: если (ж И С Л D) = v, то (ж И С) = v и (ж F D) = v; если ж И С и ж И D суть теоремы, то ж F CAD есть теорема. Таким образом, остается лишь случай ж И (V Ь)С.

Если (ж F (УЬ)С) — v, то (ж И С) = v. Если ж ЕС теорема, то (V Ъ)ж Е (V Ъ)С — теорема. Если ж и (V Ъ)ж равнозначны, то ж Е (V Ъ)ж — теорема и ж Е (V Ъ)С — теорема. Если ж и (V Ъ)ж неравнозначны, то возможно (УЬ)ж — nv и при этом х — V. Если ((VЬС) Е ж) = v, то ((V6)(V6)C Е (V 6)ж) = v. Приписав (V 6)ж значение nv, мы можем приписать ж значение v. А если ж = v, то (V Ъ)С = » и (VЬ)(У 6)С — v, то возможно ((VЬ)(Vb)C Е (V 6)ж) — nv, что противоречит условию.

Таким образом, имеем:

МТ8. Если (ж Е у) = v, то ж Е у — теорема.

§32. Разрешимость сильной теории кванторов для классического случая

Выше (в § 28) уже говорилось, что в нестандартной семантике для любой ж Е у можно установить, имеет она значение v или nv. Справедливость этого утверждения видна из того, что если задано значение ж (значение у), то по правилам для V, Л, V и 3 можно установить всевозможные комбинации значений пропозициональных формул, входящих в ж (входящих в у), а если задана комбинация значений всех пропозициональных переменных и предикатных формул, входящих в ж (входящих в у), то можно установить значение ж (значение у). Доказательство можно строго провести индукцией по числу вхождений логических операторов в ж (и в у).

И в силу полноты рассматриваемых систем, для любой ж Е у теории кванторов для классического случая можно установить, является она теоремой или нет.

§ 33. О других системах

Вопрос о полноте и разрешимости наших систем для формул типа Е ж решается в зависимости от решения соответствующего вопроса для формул типа ж Е у.

Путем некоторых модификаций и дополнений изложенного в предшествующих параграфах можно найти доказательство полноты и разрешимости других систем для классического и неклассического случаев.

Квантификация предикатов сводится к квантификации субъектов путем такого расширения систем теории кванторов. Дополнения к алфавиту:

1) j — особый оператор, превращающий предикатные переменные в индивидно-предикатные переменные;

2) П — постоянный предикат «является признаком».

Определение индивидно-предикатной переменной: выражение ja есть индивидно-предикатная переменная, если и только если а есть предикатная переменная.

Дополнения к определению пропозициональной формулы:

otII(jQ, а1,..., ап), (oNjQ)x и (odjQ)x

суть пропозициональные формулы, если а1,..., а” (и > 1) суть индивидные переменные, Q есть предикатная переменная, х есть пропозициональная формула, а а означает наличие или ? или их отсутствие.

Дополнительные аксиомные схемы:

1. Q(a\ ..., а”) Ч И II(jQ, a',..., a");

2. -> Q(a',..., а”) 41—> H(jQ, a',..., a");

3. (VQ)a:4l-(VjQ)a:;

4. (-nVQ)a;4F ^VjQ)x.

Теперь выражения вида (oNQ)x, («3Q)x, aQ(a',... ,an) заменяются в формулах на выражения соответственно (aVjQ)a:, (аЗ jQ)x, aII(jQ, а1,..., а"). Проблема полноты и разрешимости систем теории кванторов с квантифицируемыми предикатными переменными сводится теперь к соответствующей проблеме систем теории кванторов без квантифицируемых предикатных переменных, поскольку кванторы (aV jQ) и (аЗ jQ) рассматриваются как кванторы с индивидными переменными.

В нашей теории доказуемы формулы Н(VЬ)(&GЛГо.) —»((Va)a:Di/), где у образуется из х путем замены всех свободных вхождений a в х на Ь. В классическом исчислении предикатов доказуема не любая формула вида (Уа)ж D у, поскольку в некоторых случаях здесь требуется, чтобы в ж не было вхождений вида (V b)z и (3 b)z, содержащих свободные вхождения а. Так что если рассматривать в качестве экспликации гипотезы совпадения областей значения индивидных переменных принятие аксиом вида И (а € КЬ), то в полученной системе будут доказуемы некоторые формулы И ((V a)x D у), такие, что формулы (V а)х D у недоказуемы в классическом исчислении предикатов.

Раздел VII

ЛОГИКА КЛАССОВ (МНОЖЕСТВ)

Выражение «класс» и «множество» мы употребляем как синонимы. Мы различаем логическую теорию классов, или логическую часть теории классов (или, точнее, теорию любых классов), и математическую теорию классов, или математическую часть теории классов (или, точнее, теорию математических классов). Задача логической теории классов — установление правил оперирования терминами классов и высказываниями с этими терминами.

О понятии класса (множества) существует гигантская логико-философская литература. Мы здесь излагаем теорию классов, существенно отличающуюся от известных нам концепций и теорий. Она в основном была сформулирована автором в работах «Основы логической теории научных знаний» (М., 1967), «Комплексная логика» (М., 1970) и «Логика науки» (М., 1971). Здесь в нее внесены существенные исправления, дополнения и разъяснения. При этом используются некоторые символы и положения теории терминов, имеющейся в упомянутых работах, и предполагаются общая теория дедукции, теория кванторов и условных высказываний.

§ 1. Классообразующий оператор

Прежде всего мы различаем термин «класс», который мы рассмотрим ниже, и классообразующий оператор «класс». Будем во втором случае употреблять символ К. С помощью классообразующего оператора К образуются первичные термины классов по такому правилу:

RA. Если а есть термин-субъект, то К а есть термин-субъект. Причем К а есть индивидуальный термин.

D1. Термины типа К а будем называть первичными терминами классов, а обозначаемые ими предметы — первичными классами.

D2. Индивиды из области значения а суть элементы К а.

Т1. Первичные классы суть индивиды.

Образовать класс индивидов (в случае первичных классов) — значит буквально сказать «Класс а», где а есть какой-то данный субъект, или «Класс индивидов из области значения а», т. е. построить определенный термин. Например, образовать класс богов — значит сказать «класс богов», образовать класс чисел — сказать «класс чисел» и т. п., где слово «класс» есть особый терминообразующий оператор. Свойства этого оператора определяются в логике. И если известно значение термина а и известны свойства оператора К, то известно значение термина К а.

Для существования первичного класса достаточно его образовать. Так, построив выражение «класс богов», мы образовали класс богов, и этот класс стал существовать как особый предмет, независимо от того, как решается вопрос о существовании элементов этого класса — богов. Существование класса не зависит от существования его элементов, и наоборот.

Термины типа К а всегда суть индивидуальные термины. И если будет как-то построен другой термин Ь, обозначающий тот же класс, то Ка Ь.

Из сказанного следует одно важное различие классов предметов и энок (пар, троек и т. д.) предметов. Например, тройка целых положительных чисел таких, что сумма кубов двух из них равна кубу третьего, не существует. Но класс такие троек будет существовать, стоит нам построить выражение «класс троек целых положительных чисел таких, что сумма кубов двух из них равна кубу третьего». И этот класс может исследоваться как особый предмет. В частности, о нем можно сказать, что элементы этого класса не существуют.

Подчеркиваем, К есть оператор, а не термин. В случае К а термин а обязательно должен быть субъектом. Если нужно образовать класс признаков Ь, то из данного термина-предиката надо образовать субъект «признак Ь» и затем построить термин «Класс признаков Ь».

Термины первичных классов образуют основу, на которой строится вся терминология, обозначающая классы. Это — исходный пункт логического анализа всей проблематики, относящейся к теории классов.

§ 2. Включение индивидов в класс

Будем рассматривать сначала первичные классы с целью установить свойства оператора К.

Высказывания о том, что индивид, обозначаемый термином а (из области значения а), есть элемент КЬ, будем для краткости записывать символами вида

€ (a, Kb).

Эти высказывания читаются так же, как «а включается в класс Ь» или как «а включается в Ь». Эти высказывания суть высказывания с двухместным предикатом и двумя субъектами (или бинарным субъектом): субъекты-термины а и КЬ'„ предикат — выражение «первый есть элемент второго» (или «первый есть индивид из области значений субъекта, фигурирующего во втором», или «первый включается во второй»). В дальнейшем будет удобнее вместо записи € (а, КЬ) употреблять более привычную и близкую к естественному языку запись.

a € КЬ,

совершенно равноценную первой. Одновременно с установлением правил для К логика устанавливает правила для предиката € (предиката включения индивидов в класс).

Обращаем внимание на то, что хотя a € Kb и есть высказывание «Индивид, обозначаемый термином а, включается в класс Ъ», из этого не следует, что термин а непременно должен быть индивидуальным. Например, в высказывании «целое число включается в класс чисел» термин «целое число» не является индивидуальным. Из этого следует лишь то, что высказывание а € КЬ может быть истинно в отношении одних индивидов из области значения а и неистинно в отношении других и что термин а может быть связан квантором, т. е. имеют смысл высказывания вида

(Уа)(а€КЬ), (3 а)(а€КЬ), (3 а)~(а€КЬ)

и т. д. Связывание кванторами термина КЬ излишне, поскольку он есть индивидуальный термин, для которого имеют силу теоремы логики

(ее лгь)41-(улгь)(ае кьу,

(а е КЬ) 31- (3 КЬ)(а € КЬ).

Поскольку образование первичных классов всецело зависит от построения их терминов, то неопределенности для их существования исключаются, т. е.

-iE{Ka)-i I—Е(Ка).

Неопределенности исключаются также и для предиката G, т. е.

-1 е (а,КЬ) ЗИМЕ (а,КЪ).

Это исключение неопределенностей не есть следствие каких-то других посылок. Оно само есть некоторая интуитивно ясная предпосылка построения логики классов: образование классов — продукт нашей воли, и естественно строить их так, чтобы для любого индивида а можно было установить, является он элементом КЬ или нет.

§ 3. Включение индивидов в класс

и включение терминов по значению

Между включением индивидов в класс и включением терминов по значению имеет место связь, устанавливаемая утверждением

(а — Ь) 3 h (V а)(а € КЬ).

Из этого, однако, никак не следует, что какой-то из предикатов —“• и € полностью сводится к другому и может быть в принципе элиминирован из языка.

Во-первых, в пользу нашего тезиса говорит тот факт, что только для первичных классов возможна замена € на —Как увидим ниже, возможны термины классов, не содержащие оператор К, и для них замена высказываний с € на высказывание с —“• не всегда оказывается возможной.

Во-вторых, в логике играет роль не только отношение терминов, операторов и высказываний, описываемое посредством знака логического следования, но и последовательность анализа логических объектов. А с этой точки зрения предикат —целесообразнее ввести в рассмотрение на более ранних этапах науки логики, чем €. Впрочем, здесь (надо полагать) возможны вариации.

§ 4. Термин «класс»

Слово «класс» употребляется не только как терминообразующий оператор К, но и как термин-субъект. Будем во втором случае для краткости использовать символ kl.

Термин kl вводится в употребление по правилу обобщения терминов конкретных классов, в том числе — терминов первичных классов. Причем введение какого-либо термина путем обобщения данных терминов вовсе не предполагает того, что обобщаемые термины всегда строго установлены и заданы все исчерпывающим образом. Кроме того, здесь можно использовать переменные. Так что термин kl можно ввести таким определением:

D1. Если а есть термин класса, то a-* kl. Если а не есть термин класса, то ~ (а —- kl).

Имея термин kl, можно образовывать другие термины классов по общим правилам построения терминологии, в частности — kl х («класс такой, что ж»), kl I Р («класс, имеющий признак Р») и т. п. Эти термины не обязательно индивидуальны. Так, термины «класс, который содержит два элемента», «класс, все элементы которого не существуют» и т. п. являются общими. Частным случаем таких классов являются классы, образуемые путем перечисления их элементов. Например, «класс, элементами которого являются предметы а и Ь», «класс, элементами которого являются пропозициональные исчисления и пропозициональные алгебры» и т. п.

§ 5. Производные классы

Термин kl и содержащие его термины типа kl J. х и kl X Р — частный случай производных терминов классов. Перечислить их строго и исчерпывающим образом нельзя, так как к ним относятся все правила образования терминов вообще, а ограничить раз и навсегда возможности на этот счет вряд ли правомерно.

Обычно рассматривают производные классы, термины которых образуются с помощью классообразующих операторов U (объединения классов), Г) (пересечения классов) и — (дополнения классов). Правила построения терминов имеют следующий вид.

.R1. Если А и В суть термины классов, то (А Г) В) и (A U В) — термины классов.

R2. Если А есть термин класса, то А — термин класса.

Для производных классов вопрос об их существовании решается иначе, чем для первичных классов. Причем он решается различно в зависимости от строения термина. Приведем несколько утверждений, определяющих существование производных классов:

£?(М Ьж,

E(AUB)4I-E(A)AE(B),

Е(АГ)В)ЧЬЕ(А)ЛЕ(В),

Е(А) ЧI- Е(А).

§ 6. Включение класса в класс

Высказывание о том, что класс А включается в класс В, имеет строение С (А, В), где С есть предикат включения класса в класс. Будем вместо С (А, В) употреблять более наглядный и общепринятый, совершенно равноценный ему символ

А С В.

D\. А С В, если и только если для любого а (а € А) —» (а G В) (т. е. если все элементы А суть элементы В).

D2. Ka С КЬ, если и только если (Va)(a € Kb).

§ 7. Классы классов

Если а есть термин класса, го К а есть термин класса, элементы которого суть классы. В частности, таковы термины Kkl («класс классов»), «класс пустых классов», «класс непустых классов» и т. п.

Обращаем внимание на то, что термин «класс, элементами которого являются классы» есть термин kl ) х, где х есть «элементы класса суть классы» (или «класс включает в качестве своих элементов классы»). Этот термин по структуре отличен от Kkl, хотя в литературном исполнении похож на него, и практически они не различаются. Различие этих терминов, однако, существенно, в частности — с точки зрения существования соответствующих классов. Класс, обозначаемый термином Kkl, существует по построению, а вопрос о существовании класса kl ! х зависит от х.

Рассмотрим несколько подробнее некоторые термины классов классов, с которыми связаны известные в логике затруднения, а именно — «класс всех классов» и «класс всех нормальных классов».

Для термина Kkl имеет силу такое рассуждение:

I- kl — kl,

I- (VfcZ)(fcI G Kkl),

I- (a — kl) Л (V kl)(kl G Kkl) -> (a G Kkl),

I- (a — kl) -» (a G Kkl),

t. e. если a есть термин классов, то a G Kkl. Таким образом, термин Kkl («класс классов», где первое слово «класс» есть оператор класса, а второе — термин) имеет то значение, какое интуитивно приписывают выражению «класс всех классов».

Если рассматривать термин «класс всех классов» как сокращение для «класс, в который включаются все классы», т. е. как

kl [ ((V LIM G kl)),

то в силу правил теории терминов

I- kl 1 ((V kl)(kl G kl)) ?=± kl,

так что термин «класс всех классов» оказывается равнозначным термину «класс». Однако, для такого термина можно получить утверждение «если а есть термин класса, то a G Kkl» (из определения D1 термина kl в §4), но не утверждение «Если а есть термин класса, то a G kl». Последнее может быть принято как определение термина kl (вместо DI). Но в таком случае вступает в силу ограничение, согласно которому термин а не может быть термином kl и любым термином, содержащим kl или определяемым через него. В частности, утверждение kl G kl будет недоказуемо.

Чтобы выражение kl J. ((V kl)(kl G kl) могло быть термином класса всех классов, нужно чтобы оно приняло вид

kl1 I ((VfcZ2)(fcZ2 G kl')),

где kl1 и kl2 различаются как «один класс» («какой-то класс») и «другой класс» или суть особые переменные, области значения которых — термины классов. Но из этого термина никак не выведешь то, что любой класс есть элемент такого класса, т. е. что

(Vfcl3)(fcP G kl' I ((Vfcl2)(fcl2 G kl'))).

Чтобы такое утверждение получить, его надо так или иначе принять в самом определении термина «класс всех классов». Подчеркиваем, именно в определении, ибо в самом этом выражении желаемое свойство термина фактически не заключено. Это можно, в частности, сделать так: пусть выражение «класс всех классов» будет термином класса таким, что для любого термина а, являющегося термином класса, будет верно (а € «класс всех классов»); причем пусть термин а может содержать термин «класс всех классов» или определяться через него.

Таким образом, построив термин типа а 1 х, где в х термину а приписываются некоторые свойства Р, мы отсюда еще не получим в качестве следствия Р(а). Если такое следствие требуется, то определение должно быть подобрано соответствующим образом.

Возможно также такое определение: класс Ь будем называть классом всех классов, если и только если для любого класса а (для любого термина а) имеет силу a E b. При этом в качестве следствия получим, что любой класс а есть элемент класса всех классов. Но при этом предполагается:

1) класс b уже как-то построен;

2) установлено, что для любого класса а верно aEb.

И определение оказывается излишним, поскольку b и есть класс всех классов.

Короче говоря, не всегда то, что кажется ясным и правомерным в обычном словесном выражении, является логически корректным и удовлетворяющим интуитивным требования к терминологии. Еще более интересным на этот счет оказывается анализ выражений «нормальный класс», «класс нормальных классов» и «класс всех нормальных классов».

§ 8. О парадоксе класса нормальных классов

Нормальным классом называют класс, который не является элементом самого себя. Будем для сокращения употреблять символ nk вместо выражения «нормальный класс». Если записать это определение буквально, оно примет вид

nk = Df ■ kl J~(fcl G kl).

Но из этого определения невозможно вывести даже утверждение

~ (пк Е пк).

Когда такое утверждение получают, то его фактически принимают как часть наивного определения пк, а не выводят по правилам логики.

Когда получают известный парадокс класса всех нормальных классов, то фактически используют такое неявное определение пк: a есть пк, если и только если а есть класс такой, что ~ (а Е а). Причем выражение «а есть пк» истолковывают как а Е Кпк. Таким образом, определение принимает вид: а Е Кпк, если и только если ~ (а Е а), где а играет роль переменной для терминов классов (или есть любой термин класса). Неявно эту роль выполняет слово «класс», когда определение записывают в форме «Класс является нормальным, если и только если он не есть элемент самого себя». Наглядно это можно записать в форме:

~ (a Е а) <-» (а Е Кпк).

В качестве следствия отсюда (по правилу контрапозиции) имеем

(а Е а) (а Е Кпк).

Взяв в качестве а класс Кпк (или подставляя на место а термин Кпк), получим

~ (Кпк Е Кпк) —»(Кпк Е Кпк),

(Кпк Е Кпк) (Кпк Е Кпк),

т. е. известный парадокс класса нормальных классов (если класс нормальных классов является нормальным, то отсюда следует, что он не является нормальным; и наоборот).

Однако от получении этого парадокса допускают грубую логическую ошибку, которая остается незаметной, пока все рассуждение проделывается в обычном (разговорном) языке. Ошибка состоит в том, что игнорируется правило определения с переменными. Определение пк в полном виде должно быть записано так: будем выражение пк считать термином класса таким, что если а есть термин класса и при этом

~ (а Е а) «-» (а —■- пк).

Поскольку

(а —■■ пк) Ч f- (V a) (a € Кпк)

и поскольку

(~ (а Е а) <-» (а Е Кпк) Ч |-~ (а Е а) <-» (V а)(а Е Кпк))), выражение a nk в определении nk можно заменить на a е Knk. А так как nk (или Knk) вводится здесь в употребление впервые как термин, то а должен быть термином класса до построения определения. Если a — термин, то это означает, что nk не входит в a и не используется при определении а. Если а — переменная, то на место а не может быть подставлен термин, содержащий nk или определяемый через него. А получить из определения nk утверждение

~ (а € а)«-»(а € Knk)

невозможно. Можно получить только такое утверждение: если а есть термин класса, не зависящий по значению от nk (т. е. не содержащий nk и не определяемый через него), то

~ (а € а)«-»(а € Knk).

И по условию этого утверждения подставить Knk на место а нельзя.

§9. Подкласс

Слово «подкласс» также употребляется как оператор и как термин. Будем в первом случае употреблять букву П.

Право построения терминов с П:

R1. Если а есть термин класса, то Jia есть термин класса (читается как «Подкласс a»).

Из ЯЛ следует: если a есть термин-субъект, то

I- Ла — kl,

I-Пае Kkl

(т. е. подкласс класса есть класс).

Свойства оператора П определяются так:

D1. (а —*■ ПЪ), если и только если а С Ь. Или, в другой форме,

(a —*■ ПЬ) Н I- (а С Ъ).

Из D1 следует:

(а-ПЬ)ЛЬ(уа)(аеКПЪ).

Из сказанного получается такое важное следствие для соотношения Kkl (класса классов) и КПКЫ (класса подклассов класса классов): поскольку Kkl есть термин класса, по правилу R1 термином класса будет IJKkl, а по правилу KI из § 1 термином класса будет KUKkl. По определению термина kl отсюда получим:

I- IIKkl е Kkl,

I- (V IIKkl) (IJKkl е Kkl),

I- КПК kl C Kkl.

§ 10. О системах логики классов

В упомянутых работах автора был изложен набросок ряда систем логики классов. Как заметили А. М. Федина и В. А. Смирнов, некоторые из этих систем с формулами вида I- a Е K(aV Ь) и I- (а ЛЬ) Е Ка противоречивы. Ниже мы изложим другие варианты систем логики классов (за исключением SK'), приведем доказательство их непротиворечивости и частично рассмотрим проблему полноты. При этом будем предполагать системы теории кванторов для классического случая без ограничений на вырожденные кванторы, изложенные в работе автора «Нетрадиционная теория кванторов», и системы теории условных высказываний, изложенные в упомянутых в предисловии работах автора.

§11. Система SK1

Алфавит:

1) К — классообразующий оператор;

2) Е — двухместный предикат включения индивидов в класс.

D1. Субъектная форма SK

1) индивидная переменная есть субъектная форма SK1;

2) если а есть субъектная форма SK ’, то ~ а есть субъектная форма SK1;

3) нечто есть субъектная форма SK1 лишь в силу 1 и 2.

D2. Элементарная формула SK1 :Е (а,КЬ) есть элементарная пропозициональная формула SK ', если и только если а и Ь суть субъектные формы SK ’.

Элементарная пропозициональная формула SK1 есть пропозициональная формула. Если х есть пропозициональная формула, а а есть субъектная форма SK’, то (X/а)х и (3 а)х суть пропозициональные формула.

Вместо символов вида Е (a, Kb) будем употреблять равноценные им (но более наглядные и общеупотребимые) символы вида (а Е КЬ).

Аксиомные схемы SK

41. (3a)(aEKb)l-(3b)(bEKa);

42. ~(аЕКЪ)\-(аЕК~Ъ)-,

43. (aEK~b) I—(аЕКЬ);

44. (a Е Kb) Л (V b)(b Е К с) И (а Е К с)-,

45. (а Е КЪ) Л (а Е Кс) И (3 b)(b Е Кс).

Для доказательства непротиворечивости SK1 примем такие семантические правила.

Будем индивидным переменным приписывать значения 1 и 0 аналогично тому, как приписываются значения v и nv пропозициональным переменным.

Субъектным формам с оператором ~ будем приписывать значения 1 и 0 по правилу, устанавливаемому таблицей:

a ~ a

1 О

О 1

Кванторы будем опускать. Формулам a Е КЬ будем приписывать значения v и nv по правилу, устанавливаемому таблицей:

a

ь

аЕКЪ

1

1

V

1

0

nv

0

1

nv

0

0

V

Для пропозициональных формул с операторами V, Л и ~ правила обычные. Формула х\- у имеет значение v, если и только если ~ х V у имеет значение v для любых комбинаций значений входящих в нее индивидных переменных.

МТ1. Если х I- у есть теорема SK], то она имеет значение v.

Теорема доказывается путем пересмотра аксиом SK '. Из МТ 1 следует противоречивость SK ’.

Система SK1 содержит в себе полную силлогистику классов, как показала А. М. Федина (см.: «О силлогистике классов», «Неклассическая логика», М., 1970).

§12. Система SK2

Алфавит:

1) список переменных для классов;

2) К — классообразующий оператор (оператор первичных классов);

3) Е — двухместный предикат включения индивидов в класс;

4) С — двухместный предикат включения классов в класс;

5) U — оператор объединения классов;

6) П — оператор пересечения классов;

7) — — оператор дополнения классов.

Область значения переменных для классов образуют термины классов.

D1. Субъектная форма класса:

1) переменная для класса есть субъектная форма класса;

2) если а есть индивидная переменная, то К а есть субъектная форма класса;

3) если а есть субъектная форма класса, то a есть субъектная форма класса;

4) если and суть субъектные формы класса, то (a U Ь) и (а П 6) суть субъектные формы класса;

5) нечто есть субъектная форма класса лишь в силу (1-4).

Правила опускания и восстановления скобок для субъектных форм класса с операторами U и Г) аналогичны соответствующим правилам для пропозициональных формул с операторами V и Л.

D2. Субъектные формы класса и индивидные переменные суть субъектные формы SK.

D3. Элементарная формула SK2:

1) если а есть индивидная переменная, а Ь есть субъектная форма класса, то £ (а, 6) есть элементарная формула SK2;

2) если а и b суть субъектные формы класса, то С (а, 6) есть элементарная формула SK2;

3) нечто есть элементарная формула SK2 лишь в силу (1) и (2).

D4. Элементарная формула SK2 есть пропозициональная формула.

Вместо символов вида £ (a, b) и С (a, b) будем употреблять равноценные им символы соответственно (а € 6) и (а С 6).

Аксиомные схемы SK2:

41. (За)(а€К6)|-(3 6)(6еКа);

42. ~ (а £ 6) F (а £ 6);

43. (а £ Ь) 1-~ (а £ 6);

44. (KaC6)F(Va)(aG6);

45. (Va)(aG6)l-(KaC6);

46. (V а)((а £ b) —> (a £ с)) I- (6 С с);

47. (6 С с) I- (Vа)((а £ Ь) —> (а £ с));

48. (а £ b) V (а £ с) I- (а £ (b U с));

49. (а € (6 U с)) I- (а € 6) V (а € с);

410. (a G 6) Л (а £ с) I- (а £ (Ь П с));

411. (а £ (Ь П с)) I- (а £ 6) Л (а £ с);

412. (а € Kb) Л (Vb)(b G с) I- (a G с);

413. (а € Кб) Л (a G с) I- (3 b)(b £ с).

Для доказательства непротиворечивости SK2 примем такие семантические правила.

Субъектным формам будем приписывать значения 1 и 0. Пропозициональным формулам и формулам следования приписываются значения v и nv. Для операторов V, Л и ~ правила обычные.

Формула х I- у имеет значение v, если и только если ~ х V у имеет значение v для любых комбинаций значений входящих в нее субъектных форм.

Формула (Кa С 6) равнозначна формуле (Va)(a Е 6), формула (6 С с) равнозначна формуле (Va)((a Е b) —» (a Е с)), формула а Е (Ь U с) равнозначна (a Е 6) V (а Е с), формула а Е (Ь П с) равнозначна (a Е 6) Л (а Е с), формула a E b равнозначна ~ (a Е 6) (т. е. первые формулы в указанных парах можно рассматривать как сокращения для вторых). Субъектная форма Ка равнозначна а. Кванторы опускаются. Формула х —» у равнозначна ~ х V у.

Формулам а Е Ь значения v и nv приписываются по правилу, устанавливаемому таблицей:

а

ь

а Е Ь

1

1

V

1

0

nv

0

1

nv

0

0

nv

МТ 1. Если х I- у есть теорема SK2, то она имеет значение v.

Теорема доказывается путем пересмотра аксиом SK2. При этом достаточно взять аксиомы 41,412 и 413. Из МТ 1 следует непротиворечивость SK2.

§ 13. Система SK3

Система SK3 логики классов образуется благодаря таким изменениям системы SK2.

Принимается дополнительное определение D5.

D5. Субъектная форма терминов:

1) индивидная переменная есть субъектная форма терминов;

2) если а есть субъектная форма терминов, то ~ а есть субъектная форма терминов;

3) если and суть субъектные формы терминов, то (a V 6) и (а Л 6) суть субъектные формы терминов;

4) нечто есть субъектная форма терминов лишь в силу (1-3).

Дополнение к определению пропозициональной формулы: если а есть субъектная форма терминов, а х — пропозициональная формула, то (V а)х и (3 а)х суть пропозициональные формулы.

Пункт (2) определения D1 изменяется так: 2) если a есть субъектная форма терминов, то Ко, — субъектная форма классов.

Дополнение к D2: субъектные формы терминов суть субъектные формы SK3.

Пункт (1) определения D3 изменяется так: I) если а есть субъектная форма терминов, а 6 — субъектная форма классов, то € (а, Ъ) — элементарная формула SK3.

Повсюду буквы SK2 заменяются на SK3.

Аксиомные схемы 41, 43 и А13 заменяются такими:

41. (3 а)(а G Кб) Л ~ (a G К(сЛ ~ с)) И (3 6)(6 € Ка);

АЗ. (а Е b) Л ~ (а К(сЛ ~ с)) 1-~ (а е Ь);

Л13. (eG Kb) л(ае с)л ~(ае K(dA ~ d)) И (3 б) (б G с).

Принимаются дополнительные аксиомные схемы:

414. (Va)(aGK6)l-(V~6)(~6GK~a);

415. I- (а С а) Л (а С a);

Л16. I- ((a U Ь) С (а П 6)) Л ((а П 6) С (а U Ь));

417. I- ((аПЬ) С (a U b)) Л ((a U 6) С (а П б));

418. И (К(а V 6) С (Ка U Kb)) Л ((Ка и Kb) С (K(a V b));

419. И (К(а Л 6) С (Ка П Кб)) Л ((Ка л Кб) С К(а Л 6));

420. Н(К~аСКа)А(КаС~Ка).

Принимаются также аксиомные схемы А* (символы х\а/0\ означают, что формула получена из х путем замены нуля или более вхождений а в х на /3):

1. х I- а:[~~а/а|;

2. х I- х[а(~~ а];

3. х I- ш[а Л 6/6 Л а];

4. a: I- а:[аЛ а/а];

5. х I- х[а(а Л а];

6. a: I- а:[а Л (6Л с)/(а Л 6) Л с];

7. a: I-а:[(аЛ 6) Л с/аЛ (6Л с];

8. a: I- х[а V 6) Л с/(а Л с) V (Ь Л с)];

9. a: I- а:[(а Л с) V (6 Л с)/(а V 6) Л с];

10. а: |-а:[~(ал6)/~аУ~6];

11. a: I- ат[~ a v~6/~ (а Л 6)];

12. a: I- х\а Л (6 V ~ 6)/а];

13. х I- i|a/aA (6 V~6)].

Приведем некоторые теорем ные схемы:

Tl. I- а € К(а V 6);

Т2. И (а Л 6) € Ка;

ТЗ. F (аЛ~а) Е Kb-

Т. И Ь Е К(а V~ а).

Для доказательства непротиворечивости SK3 примем следующие семантические правила.

Субъектным формам с операторами U, П, ~ значения 1 и 0 приписываются по правилам, устанавливаемым таблицами:

а

ь

a U 6

а

ь

аП 6

1

1

1

1

1

1

а

а

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

Субъектным формам с операторами V, Л, ~ значения 1 и 0 приписываются по правилам, устанавливаемым таблицами:

а

ь

aVb

а

ь

аЛ 6

1

1

1

1

1

1

а

~ а

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

Формулам а € 6 будем приписывать значения v и nv по правилу, устанавливаемому таблицей:

а

b

a Eb

1

1

V

1

0

nv

0

1

V

0

0

V

Остальные правила такие же, как для SK2.

МТ\. Если х I- у есть теорема SK3, то она имеет значение v (доказывается пересмотром аксиом).

Из МТ1 следует непротиворечивость SK2.

§ 14. Пустые и универсальные классы

D1. Класс а универсален, если и только если (V b)(b Е a).

D1. Класс а пуст, если и только если (Vb)(b Е a).

МТ 1. Если а есть пустой класс, то I- a С 6) есть теорема для любого класса 6.

МТ2. Если and суть пустые классы, то они эквивалентны (все пустые классы эквивалентны), т. е. I- (а С 6) Л (6 С а).

МТ3. Если а есть универсальный класс, то I- (6 С a) есть теорема для любого класса Ь.

МТ4. Если and суть универсальные классы, то они эквивалентны (все универсальные классы эквивалентны).

МТ5. Класс a Л а пуст.

МТ6. Класс aU а универсален.

§ 15. Проблема полноты SK*

Проблема полноты SK* распадается на ряд проблем полноты их относительно отдельных видов формул.

Пусть пропозициональная формула х D у образуется из формулы с Е Kd (и наоборот) следующим образом:

1) индивидные переменные заменяются пропозициональными переменными, причем одинаковые элементы заменяются одинаковыми, разными — разными (и наоборот);

2) оператор К опускается (в обратную сторону — вписывается на соответствующем месте после б);

3) предикат Е заменяется на оператор материальной импликации 5 (и наоборот); причем х D у рассматривается как сокращение для ~ х V у.

МТ\. Если х D у доказуема в классическом исчислении высказываний, то I- (с Е Kd) — теорема SK3; и наоборот.

Доказательство МТ 1. В SK3 имеют силу такие теоремные схемы:

Т\. И (a Vb) Е L"(bVa);

Т2. I- (aV (bV с)) Е K((aVb) V с));

Т3. I-((aVb)Vc) Е K(aV(bVc));

Т 4. I- ((а V 6) Л с) Е К ((a А с) V (Ь А с));

Т 5. I- ((aAc)v(bAc)) Е K((aVb) Ас));

Тб. I- (aAb) Е K~(~aV~6);

Т7. I—(~aV~b) G /Г(аЛЬ);

Т8. h~~a€/fTa;

T9. h a Е К ~~ а;

Т10. I- (а V a) G Ка;

Til. l-ae/r(aA(bV~b));

Т12. haGA-(avb).

В S/f3, далее, имеет силу следующее производное правило вывода: если Ь (a G КЪ), то I- (с Е Kd), где с € Kd получается из a G Kb путем замен, указанных в А1.

Возьмем исчисление высказываний в такой форме. Аксиомные схемы:

1. (ж Vy) D (у Уж);

2. (ж V (у V .z)) D ((ж V у) V г);

3. ((ж V у) V г) D (ж V (у V -));

4. ((ж V у) Л г) D ((ж Л г) V (у Л 2));

5. ((ж Л г) V (у Л -)) D ((ж V у) Л г);

6. (ж Л у) Э~(ж V~y);

7. ~ (~ж V~ у) D (ж Л у);

8. ~~ж D ж;

9. ж Э~~ж;

10. (ж Vж) 3 ж;

11. ж D (ж Л (у V~y));

12. ж D (ж V у).

Причем АЗ В есть лишь сокращение для ~ А v В.

Правило вывода: если ж 3 у и у Э ж, то из 4 получается В путем замены нуля или более вхождений ж в А на у.

Очевидно, аксиомным схемам 1-12 соответствуют теоремные схемы Т1 -Т12, а правилу вывода — правило SK3, приведенное после Т12.

Система SA-3 полна относительно формул вида Н (а Е КЬ) в смысле МТ1.

Пусть, далее, пропозициональная формула ж 3 у образуется из с С d (и наоборот) так:

1) переменные для классов заменяются пропозициональными переменными, причем — одинаковые одинаковыми и разные разными (и наоборот);

2) предикат С заменяется на оператор D (и наоборот);

3) операторы U, П, ~ заменяются соответственно на V, Л,~ (и наоборот); причем выражение а заменяется на~а (в обратную сторону — ~а на а).

МТ2. Если ж D у есть теорема классического исчисления высказываний, то I- (с С d) — теорема SK2 (и SK3); и наоборот.

Для доказательства МТ2 достаточно показать, что в SK2 (и в SK3) имеют силу теоремные схемы:

1. I- (a U 6) С (6 U а);

2. h(aU(ftUc))C ((aUb)Uc);

3. I- ((а U ft) U с) С (а U (ft и с));

4. I- ((а U ft) П с) С ((а П с) U (6 П с));

5. I- ((а П с) U (ft Г) с)) С ((а U ft) п с);

6. h (а П 6) С (а U ft);

7. I- (а U ft) С (а П ft);

8. I- (а С а);

9. I- (d С а);

10. Н (а U а) С а;

11. ha С (ап (6 U ft));

12. h а С (а U 6) и правило вывода: если I- (а С ft) и Ь (ft С а), то Н (с С 4), где d образуется из с путем замены нуля или более вхождений а в с на ft. Это правило доказывается индукцией по числу вхождений операторов U, (П, ~ в с.

Системы SK2 и SK3 полны относительно формул вида I- (а С ft) в смысле МТ2.

Пусть формула ж1 Л... Л хп I- у системы SK1 обладает такими свойствами: 1) n > 1; 2) все ж1,..., ж", у суть элементарные формулы SK}, их отрицания, упомянутые формулы с кванторами и их отрицания.

Примем такие семантические правила:

Формулам ж I-у значения ниот приписываются по правилам нестандартной семантики, изложенной в работе автора «Нетрадиционная теория кванторов» (в данном сборнике). Формулам a g Kb будем приписывать значения v и nv по правилам, устанавливаемым таблицами (читаются только слева направо):

Субъектным формам будем приписывать значения 1 и 0. Пропозициональным формулам и формулам следования приписываются значения v и nv. Для операторов V, Л и ~ правила обычные.

Формула х у имеет значение v, если и только если ~ х V у имеет значение v для любых комбинаций значений входящих в нее субъектных форм.

Формула (Кa С Ъ) равнозначна формуле (Va)(a € Ь), формула (b С с) равнозначна формуле (Va)((a G b) —> (а G с)), формула а € (b U с) равнозначна (a G J) V (a G с), формула a G {Ь Г) с) равнозначна (а € Ъ) Л (а € с), формула а € & равнозначна ~ (а € Ь) (т. е. первые формулы в указанных парах можно рассматривать как сокращения для вторых). Субъектная форма Ка равнозначна а. Кванторы опускаются. Формула х —> у равнозначна ~ х V у.

Формулам a G Ъ значения v и nv приписываются по правилу, устанавливаемому таблицей:

а

ь

a G b

1

1

V

1

0

nv

0

1

nv

0

0

nv

МТ1. Если х I- у есть теорема SK2, то она имеет значение v.

Теорема доказывается путем пересмотра аксиом SK2. При этом достаточно взять аксиомы Al, А12 и А13. Из МТ 1 следует непротиворечивость SK2.

§13. Система SK3

Система SK3 логики классов образуется благодаря таким изменениям системы SK2.

Принимается дополнительное определение D5.

D5. Субъектная форма терминов:

1) индивидная переменная есть субъектная форма терминов;

2) если а есть субъектная форма терминов, то ~ а есть субъектная форма терминов;

3) если а и & суть субъектные формы терминов, то (а V &) и (а Л &) суть субъектные формы терминов;

4) нечто есть субъектная форма терминов лишь в силу (1-3).

Дополнение к определению пропозициональной формулы: если а есть субъектная форма терминов, ах — пропозициональная формула, то (V а)х и (Э а)х суть пропозициональные формулы.

Пункт (2) определения D1 изменяется так: 2) если а есть субъектная форма терминов, то La — субъектная форма классов.

Дополнение к D2: субъектные формы терминов суть субъектные формы SK3.

Пункт (1) определения D3 изменяется так: 1) если а есть субъектная форма терминов, а b — субъектная форма классов, то € (а, Ъ) — элементарная формула SK3.

Повсюду буквы SK2 заменяются на SK3.

Аксиомные схемы А1, АЗ и А\3 заменяются такими:

А1. (3 а)(а е КЪ) Л~ (а е ЛГ(сЛ~с)) h (3 ft)(ft € La);

АЗ. (аёЬ) Л ~ (а К (сА ~ с)) 1-~ (а £ Ь);

А13. (а € Xft) Л (а € с)Л~(а € K(dA~d)) И (3 ft)(ft £ с).

Принимаются дополнительные аксиомные схемы:

А14. (Vfl)(oeO)h(V~i)(~ftGX~a);

А15. I- (а С а) Л (а С a);

А16. I- ((a U b) С (ал b)) A ((a n b) С (a U Ь));

А17. I- ((а П b) С (a U Ь)) Л ((а U b) С (а П 6));

А18. h (L(a v ft) С (Ка и Kb)) Л ((La U Kb) С (L(a V b));

А19. h (К (a Ab) С (К а п КЬ)) А ((К а п Kb) С К (а А Ь));

А20. Ь(1!Г~аСЙ)Л(йс~1Са).

Принимаются также аксиомные схемы А1 (символы х(а/0] означают, что формула получена из х путем замены нуля или более вхождений а в х на /3):

1. х I- а:[~~а/а|;

2. х I- х[а/

3. х Ь х(а Ab/b Аа];

4. х I- а:[вЛа/а];

5. х I- х[а(а А а];

6. а: I- х[аА(ЬАс)/(аАЬ) Ас];

7. х I- а:[(а Л Ь) А с/а А (Ь А с];

8. х I- х[а V b) А с/(а А с) V (Ь А с)];

9. х F а:[(а Л с) V (b А с)/(a Vb) Ас];

10. х I- а:[~ (а Л 6)/~ a V~6];

11. х I- а:[~а v~6/~ (а А 6)];

12. х I- а:[а Л (b V ~6)/а];

13. iht[a/aA(!iV~6)].

Приведем некоторые теоремные схемы:

Т1. Р- a G K(a V &);

Т2. Р- (a Л &) G Ка;

ТЗ. I- (аЛ ~ a) G КЪ',

Т. Р-£еЛГ(аУ~а).

Для доказательства непротиворечивости ДйГ3 примем следующие семантические правила.

Субъектным формам с операторами U, П, ~ значения 1 и 0 приписываются по правилам, устанавливаемым таблицами:

а

ъ

a U &

а

ъ

а П Ъ

1

1

1

1

1

1

а

а

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

Субъектным формам с операторами V, Л,~ значения 1 и 0 приписываются по правилам, устанавливаемым таблицами:

а

ъ

a V &

а

Ъ

a Л &

1

1

1

1

1

1

а

~ а

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

Формулам a G Ь будем приписывать значения v и nv по правилу, устанавливаемому таблицей:

a

b

a Eb

1

1

V

1

0

nv

0

1

V

0

0

V

Остальные правила такие же, как для SK2.

МТ1. Если х у есть теорема SK3, то она имеет значение v (доказывается пересмотром аксиом).

Из МТ1 следует непротиворечивость SK3.

§ 14. Пустые и универсальные классы

D1. Класс а универсален, если и только если (V b)(b Е a).

D2. Класс а пуст, если и только если (V b)(b Е а).

МТ 1. Если а есть пустой класс, то Р- а С Ь) есть теорема для любого класса Ь.

МТ2. Если а и b суть пустые классы, то они эквивалентны (все пустые классы эквивалентны), т. е. Р- (а С Ь) Л (Ь с а).

МТ3. Если а есть универсальный класс, то I- (b С а) есть теорема для любого класса Ь.

МТ4. Если аиЬ суть универсальные классы, то они эквивалентны (все универсальные классы эквивалентны).

МТ5. Класс а П а, пуст.

МТ6. Класс a U а универсален.

§ 15. Проблема полноты SK1

Проблема полноты SK* распадается на ряд проблем полноты их относительно отдельных видов формул.

Пусть пропозициональная формула х D у образуется из формулы с Е Kd (и наоборот) следующим образом:

1) индивидные переменные заменяются пропозициональными переменными, причем одинаковые элементы заменяются одинаковыми, разными — разными (и наоборот);

2) оператор К опускается (в обратную сторону — вписывается на соответствующем месте после €);

3) предикат Е заменяется на оператор материальной импликации 5 (и наоборот); причем х D у рассматривается как сокращение для ~ х V у.

МТ1. Если х D у доказуема в классическом исчислении высказываний, то Р- (с Е Kd) — теорема SK3 -, и наоборот.

Доказательство МТ 1. В SK3 имеют силу такие теоремные схемы:

Tl. F(aVb)EK(bVa);

Т2. F(aV(bVc))EK((aVb)Vc));

Т3. l-((aVb)Vc)EK(aV(bVc));

Т4. Р- ((aVb) Л с) Е К((аЛ с) V (ЬЛ с));

Т5. Р- ((а Л с) V (Ь Л с)) Е К((а V Ь) Л с));

Тб. Е(аЛЬ)ЕК~(~аУ~Ь);

Т7. h~(~aV~&) е K(aAb);

Т8. |-~~а E Ка;

T9. I- a G К ~~а;

Т10. >- (eve) е^в;

ТП. Нее A'(eA(&V~&));

Т12. У-аЕК(аУЬ).

В SjFC3, далее, имеет силу следующее производное правило вывода: если I- (с € КЪ), то I- (с € Kd), где с € Kd получается из с € КЪ путем замен, указанных в Al .

Возьмем исчисление высказываний в такой форме. Аксиомные схемы:

1. (а:Уу)2> {у Ух)',

2. (а: V (у V r)) D ((а: V у) V а;);

3. ((а: V?/) V z) D (а: V (?/ V г));

4. ((х У у) Az) Э ((х Az)v(yA z));

5. ((1Л2) V {у Az)) Э ((а: У у) Az);

6. (хАу) Э~(а: У~у);

7. ~а: V~з/) D (а: Л?/);

8. ~~а: D а:;

9. а: Э~~а:;

10. (хУ х) Э х;

11. х D (х А(уУ ~у));

12. a: D (а: V у).

Причем AD В есть лишь сокращение для ~ А у В.

Правило вывода: если а:Э?/и?/Эа:,тоизА получается В путем замены нуля или более вхождений х в А на у.

Очевидно, аксиомным схемам 1—12 соответствуют теоремные схемы Т1 -Т12, а правилу вывода — правило SK3, приведенное после Т12.

Система SK3 полна относительно формул вида F (a G КЪ) в смысле МТ 1.

Пусть, далее, пропозициональная формула х D у образуется из с с d (и наоборот) так:

1) переменные для классов заменяются пропозициональными переменными, причем — одинаковые одинаковыми и разные разными (и наоборот);

2) предикат С заменяется на оператор D (и наоборот);

3) операторы U, П, ~ заменяются соответственно на V, Л,~ (и наоборот); причем выражение а заменяется на ~а (в обратную сторону — ~а на а).

МТ2. Если х D у есть теорема классического исчисления высказываний, то I- (с С d) — теорема SK2 (и SK3); и наоборот.

Для доказательства МТ2 достаточно показать, что в SK2 (и в SK3) имеют силу теоремные схемы:

1. h (a U 6) С (6 U а);

2. I- (a U (b U с)) С ((а (J Ь) и с);

3. h ((а U b) U с) С (а U (b и с));

4. I- ((а U Ь) П с) С ((а П с) U (6 П с));

5. I- ((а П с) U (б П с)) С ((а U б) П с);

6. Ь (а П б) С (d U 6);

7. I- (а U б) С (а П б);

8. I- (а С а);

9. И (d С а);

10. F- (а (J а) С а;

И. I-а С (а П (би б));

12. I- а С (а U 6) и правило вывода: если I- (a С 6) и I- (b С а), то Н (с С d), где d образуется из с путем замены нуля или более вхождений а в с на Ъ. Это правило доказывается индукцией по числу вхождений операторов U, П, ~ в с.

Системы SK2 и SK3 полны относительно формул вида F- (а С б) в смысле МТ2.

Пусть формула х} А ... А хп у системы SK1 обладает такими свойствами: 1) n > 1; 2) все х1,..., хп, у суть элементарные формулы SK}, их отрицания, упомянутые формулы с кванторами и их отрицания.

Примем такие семантические правила:

Формулам х\-у значения v и nv приписываются по правилам нестандартной семантики, изложенной в работе автора «Нетрадиционная теория кванторов» (в данном сборнике). Формулам a g Kb будем приписывать значения v и nv по правилам, устанавливаемым таблицами (читаются только слева направо):

a b

a G b

a e Kb

а b 1 j

V

V

11 10

nv

nv

10 0 1

nv

0 0

nv

Кроме того, каждой формуле a E Kb по отдельности можно приписать как значение v, так и nv.

МТЗ. Если х] Л... Л хп Ь у имеет значение v, то они есть теорема SK'.

Для доказательства МТЗ достаточно рассмотреть случаи, когда все х\..., хп, у попарно различны, число хх,... ,хп нельзя сократить (т.е. исключение какой-либо из х‘,...,хп дает формулу, имеющую значение nv), повсюду исключены двойные отрицания (т. е. вхождения ~~ а заменены на а), все вхождения вида ~ (3 а)х и ~ (Va)х заменены соответственно на (V а) ~ х и (Э а) ~ х. Кроме того, сразу можно исключить случаи, когда в у входят индивидные переменные, отсутствующие в х',... ,хп, а также случаи, когда х1 Л ... Л хп есть противоречие.

Для случаев, когда п — 1 и п = 2, теорема доказывается путем пересмотра всех возможных вариантов. Случаи, когда п 3, сводятся к случаям с двумя членами конъюнкции в посылке по такой схеме. Если х' Л ... Л xn I- у имеет значение v, то, согласно семантическим правилам и принятым ограничениям, будет иметь силу следующее. Пусть а и Д суть индивидные переменные, входящие в у в указанном порядке. Выбираем среди х],...,хп такую х*‘, которая содержит а. Пусть 7* есть вторая индивидная переменная, входящая в х*'. Выбираем среди х[,... ,хп такую х'2, которая содержит 71. Пусть -у2 есть вторая индивидная переменная, входящая в х'2. Если ж1 Л ... Л хп Н у имеет значение v, то будет иметь значение v формула z1 Л х'3 Л ... Л х,п Н у такая, что х*' Лх*2 z1 есть теорема SK1, а х*3,..., х,я — суть остальные из х1,... ,хп, отличные от х" и х,2;и наоборот.

Таким образом, число конъюнктивных членов в посылке сокращается на один. И так до тех пор, пока не получим формулу wl Л w2 I- у, которая находится в следующей зависимости с х1 Л ... Л яЬ у: если вторая имеет значение v, то первая имеет значение v (и наоборот), а формула х' Л... Л х" Н w1 Л w2 есть теорема SK1.

Подробное доказательство МТЗ мы здесь не приводим.

§16. Система SK4

Интерес представляет система SK4, которая образуется из SK' путем таких дополнений.

К D\ добавляется пункт: если а и Ь суть субъектные формы, то (а V Ь) и (а Л Ъ) суть субъектные формы.

К аксиомным схемам добавляются такие:

А6. (а е Kb) Л (а е jЙГс) Ч h (а е К(Ь Л с));

А7. (а е Kb) V (а е jSTc) Ч h (а е K(b V с));

.48. I- а G 2С(а V b),

где в а, Ь, с не входят одинаковые субъектные формы.

Для доказательства непротиворечивости SK4 примем такие семантические правила:

Субъектным формам приписываются значения 1 и 0 по правилам, которые аналогичны соответствующим правилам для субъектных форм системы SK1.

Формулам a E Kb приписываются значения т и пт по правилу, аналогичному правилу, изложенному в § 11. Кроме того, принимаются такие правила:

1) формула a G K(b Л с) равнозначна формуле

(a е Kb) Л (а е ЛГс);

2) формула a € К (by с) равнозначна формуле

(а е ЛГЬ) V (а е К с).

Кванторы опускаются. Формула х I- у(I- ж) имеет значение т, если и только если х э у (соответственно ж) принимает значение v для любых комбинаций значений входящих в нее субъектных форм.

В системе SK4 недоказуемы формулы вида:

I— a € JfiT(b V ~ Ь), F(aA~a)GjКв,

I- (вА ~ a) G I- (aA ~ a) G JК ~ в.

§17. Соответствие и мощность классов

Всякий подкласс класса есть класс, так что по определению термина kl и оператора К имеем: класс подклассов класса классов включается в класс классов. В математической теории классов доказывается, что мощность (число элементов) класса подклассов класса превосходит мощность самого этого класса. Поскольку это утверждение относится к классу классов и классу подклассов класса классов как к частному случаю, получается парадоксальная ситуация: часть класса содержит больше элементов, чем сам класс.

По нашему мнению, парадокс можно устранить путем уточнения понятия взаимно однозначного соответствия классов и предикатов отношения мощностей классов.

Мы считает целесообразным такое уточнение упомянутого понятия: два класса находятся во взаимнооднозначном соответствии, если и только если они не являются пустыми, не пересекаются (не имеют общих элементов), и найдется по крайней мере один способ установления соответствия элементов классов, с помощью которого каждому элементу одного из них ставится в соответствие один и только один элемент другого, причем разным элементам одного ставятся в соответствие разные элементы другого. Если между классами А и В имеет место взаимнооднозначное соответствие, будем это кратко записывать символами вида А &В.

Выражения «А превосходит по мощности В» и «А тождественно по мощности В» будем кратко записывать символами соответственно А > В и А = В.

Примем такие утверждения, определяющие свойства предикатов > и — (ниже а есть индивидная переменная, а а — переменная для терминов классов):

А1. Н(АСВ)-*~(А> В);

А2. H(Va)~(aGB)A(3a)(aG А)-> (А > В);

АЗ. Н (А С С U D) Л (С U D С А) Л (В С С U Е) Л

Л (С U Е С В) ((А > В) w (В > В)) Л ((А = В) w (В = В));

А4. Н (3 a)(a Е4)Л(Зо)(а6В)Л~ (3a)((a G А) Л

Л (а € В)) -»((А > В) <-» (3 <*)((<* С А) Л (а &В) Л~(4С а));

.45. Н (3 a)(a € А) Л (3 a)(a G В) Л ~ (3 а)((а G А) Л

(aGB))-.(U = B)w(^^B)).

Читаются .41-.45 так:

1) мощность подкласса всякого класса не превосходит мощность самого класса;

2) мощность любого непустого класса превосходит мощность любого пустого класса;

3) отношение мощностей пересекающихся классов тождественно отношению мощностей их пересекающихся частей;

4) если классы А и В непусты и не пересекаются, то А превосходит по мощности В, если и только если найдется такой собственный подкласс класса А, который находится во взаимнооднозначном соответствии с В;

5) если классы не пусты и не пересекаются, то они равномощны, если и только если находятся во взаимнооднозначном соответствии.

Таким образом, между классом подклассов класса классов и классом подклассов нет взаимнооднозначного соответствия (они пересекаются, поскольку непусты, и первый содержится во втором), и мощность первого из них не превосходит мощность второго.

В математической теории классов в связи с принятыми уточнениями необходимо сделать коррективы, суть которых мы поясним ниже на примере классов натуральных чисел и четных чисел.

Эти коррективы затрагивают лишь логические основания теории классов.

Прежде всего мы различаем термины чисел и обозначаемые ими числа. Например, термин «единица» есть общий термин, обозначающий единицы 1, 1, 1, «один», 1 и т.п., — любые единицы, которые могут быть написаны, произнесены и т. п. Единиц существует много. Причем две единицы, написанные или произнесенные в разных местах или в разное время, разные представители класса единиц.

Аналогично для прочих чисел.

Класс натуральных чисел (сокращенно Кнч), таким образом, состоит не из одной единицы, одной двойки и т. д., а из класса единиц, класса двоек и т. п. Аналогично класс четных чисел (сокращенно Кчч) состоит не из одной двойки, одной четверки и т. п., а из класса двоек, класса четверок и т.п.

Утверждение «Между Кнч и Кчч имеет место взаимнооднозначное соответствие» с точки зрения, излагаемой здесь, неверно, поскольку они непусты и Кнч С Кчч. Правильным будет другое утверждение, которое мы сформулируем ниже.

Пусть а есть класс, в который включается одна и только одна единица, одна и только одна двойка и т. д. для всех натуральных чисел, и никакие другие индивиды в а не включаются. Очевидно, таких классов много. Так, класс а, в который включается записываемая здесь единица 1, и класс а, в который включается записываемая здесь другая единица 1, суть разные классы а. Все а суть подклассы класса натуральных чисел, т. е. (V а)(а С Кнч), где нч — термин «натуральное число».

Аналогично пусть (5 есть класс, в который включается одно и только одно число 2, одно и только одно число 4 и т. д. для всех четных чисел, причем никакие другие индивиды в Д не включаются. Очевидно, (V/?)(/) с Кчч). Все а и Д непусты.

Правильным будет такое утверждение о соотношении а и Д: «Для всех а и для всех Д, если а и Д не пересекаются, то между ними имеет место взаимооднозначное соответствие», т. е. (Va)(V/3)((~ (3a)((a G a) Л (a G Д))-> (а

Имеет смысл допустить некоторый класс-эталон, который есть класс а, но который не пересекается ни с одним из всех прочих классов а. Аналогично для и вообще для любых классов. Целесообразно также принять допущение, что ни один класс-эталон не пересекается с каким другим классом-эталоном.

§ 18. О методе строгой индукции

Пусть класс А разбит на подклассы А1, А2, А3,... , так, что

(V а)(а С А) Л (V а)(3 а)((а Е А) —> (а Е а)),

где а есть переменная, область значения которой суть термины классов А1, А2, А3,... , а а — индивидная переменная. При этом не исключено, что один и тот же индивид будет включаться в различные А*.

Пусть А' упорядочены так, что для любой пары из них установлено, какой из них следует по порядку за другим (превосходит по порядку другой), и установлено, какой из них является первым по порядку (т. е. таким, что все остальные превосходят его по порядку).

Будем говорить, что Ак следует по порядку непосредственно за А' , если и только если нет такого А1, что А1 превосходит по порядку А', а Ак превосходит по порядку А1.

Пусть А1 есть первый по порядку из рассматриваемых подклассов класса А, и если Ап есть произвольный из этих подклассов, то Ап+1 непосредственно следует за ним по порядку.

Принцип строгой индукции в общелогической форме можно сформулировать так:

(V a)((a Е А1) —> х)Л ((V a)((a Е А") —>• х) —► (V а)

((а £ А" ') -> х)) —► (V а)х

(т. е. «Если х верно для всех а, принадлежащих к А1, и из допущения того, что х верно для всех а, принадлежащих к А", следует, что х верно для всех a, принадлежащих к An+1, то х верно для всех a, принадлежащих к А»).

Используя оператор ограничения терминов J. (a j. В читается как «а такой, что В»), принцип строгой индукции можно записать также в такой форме:

(Va j. (а Е А'))а: Л ((Va j. (а Е Ап))х —►

—> (V a j. (а Е An+1))a:) —> (V а)х.

Часто используемое в логике доказательство теорем индукцией по числу вхождений логических операторов в формулы есть неявное применение сформулированного выше принципа строгой индукции. При этом класс формул исчисления разбивается на подклассы по числу вхождений логических операторов следующим образом:

1) первый по порядку подкласс образуют формулы, а которые не входят логические операторы;

2) в n-й по порядку подкласс включаются все формулы, в которые логические операторы входят не более (п — 1) раз;

3) (п+ 1)-й подкласс непосредственно следует и по порядку за п-м подклассом.

Формулировка принципа строгой индукции для натуральных чисел (принцип математической индукции) есть лишь частный случай. Причем если эта формулировка имеет вид «Если х верно для 1, и из допущения, что х верно для произвольного натурального числа п, следует, что х верно для (n + 1), то х верно для всех натуральных чисел», то с точки зрения концепции, изложенной здесь, необходимо принять еще аксиомную схему

(3 a)x I- (V а)х,

где а' есть переменная для чисел i (i = 1, 2,... , т. е. а1 есть переменная для единиц, а2 — переменная для двоек и т. д.).

Раздел VIII

ОСНОВЫ КОМПЛЕКСНОЙ логики

Глава 1

Общая теория терминов и высказываний

§ 1. Знаки

В общей теории терминов и высказываний устанавливаются правила построения терминов и высказываний и оперирования ими, являющиеся определениями входящих в них логических (терминообразующих и высказывайиеобразующих) операторов. Эта теория является общей теорией определения понятий и вывода (дедукции).

Термины суть знаки. Потому рассмотрению терминов предпошлем рассмотрение того, что такое знак.

Слово «предмет» мы будем употреблять в самом широком смысле: предмет — все то, что может быть как-то воспринято, представлено, названо и т. д. исследователем, короче говоря, — все, что угодно: атом, корова, вселенная, любовь, тот факт, что число четыре делится на два, бог, мировоззрение, способность растворяться в воде и т. п. Предметы будем изображать символами П,П',Пг,....

Мы допускаем, что наш исследователь обладает изначальной способностью выделять или выбирать предметы, т. е. способностью «сосредоточить на них свое внимание». Термин «выбор предметов» (выбор) мы здесь принимаем как первичный, разъясняемый лишь на уровне обычного языка и с помощью примеров. Исследователь выбирает некоторый предмет, если видит, слышит, представляет, воображает его, употребляет его название, что-то говорит о нем, создает или разглядывает его схему, рисунок, фотографию. Так, исследователь выбирает электрон, разглядывая его след на фотопластинке; выбирает флогистон, заявляя, что флогистон не существует; выбирает тройку чисел х,у и z, записывая равенство х + у = 2.

Выбор предметов есть элементарное познавательное действие исследователя. Это всегда есть какое-то состояние его природного аппарата отражения. Наглядно это можно представить так: на отражательном табло исследователя есть особая секция выбора, и если он выбрал некоторый предмет, то в ней зажглась определенная лампочка. Допускаем также, что исследователь умеет различать и отождествлять выбираемые предметы и никаких затруднений на этот счет не испытывает.

Выбор предмета может быть результатом воздействия предмета на исследователя (например, в случае зрительного или слухового его восприятия). Но исследователь может выбрать несуществующий предмет (употребив, например, выражение «круглый квадрат») или предмет, непосредственно не воспринимаемый, благодаря природной способности создавать в своем отражательном аппарате некоторые состояния.

D1. Если исследователь выбирает два или более различных предмета, будем говорить, что он сопоставляет эти предметы (или осуществляет их сопоставление).

Сопоставление предметов, очевидно, есть совокупность из двух или более различных актов выбора. Последние могут быть осуществлены одновременно или в какой-то последовательности. Мы допускаем, что у исследователя имеется какая-то способность, которая позволяет объединять два и более различных акта выбора в один сложный акт сопоставления.

D2. Пусть каждый раз, когда исследователь выбирает 771, он вслед за этим выбирает П2, будучи поставлен перед необходимостью выбрать какой-то предмет из некоторой совокупности предметов, среди которых имеется П2 (или будучи поставлен перед альтернативой выбирать или не выбирать П2). Будем в таком случае говорить, что исследователь установил соответствие предмета П2 предмету П1 (или что предмет 712 соответствует предмету П1 с точки зрения данного исследователя; или что предмету 771 поставлен в соответствие предмет 772 некоторым исследователем).

Примеры соответствия. Ребенок установил соответствие отца звуку «папа», если каждый раз, когда его просят показать папу, он, услышав звук «папа» (выбрав этот звук как особый предмет) и получив приказание выбрать какой-то предмет из числа окружающих его предметов («покажи!»), выбирает именно отца (т е. другой предмет, физически отличный от звука «папа»). Гардеробщик установил соответствие определенного крючка на вешалке определенному номерку, если умеет каждый раз по данному номерку найти этот крючок на вешалке (когда требуется, например, выдать пальто). Переводчик с русского на английский выбирает слово «hat» вслед за выбором слова «шляпа» каждый раз, когда нужно русскую фразу со словом «шляпа» перевести на английский язык.

Соответствие устанавливается как решение исследователя считать, что один предмет соответствует другому (и совершать определенные поступки в подходящих условиях вследствие этого своего решения) как стихийно сложившаяся привычка, как навязанная другими исследователями необходимость. Но во всех случаях это есть образование у исследователя способности осуществлять определенные действия, и не более того.

Мы рассмотрели простейший случай соответствия. Через него определяются другие его формы.

D3. Предметы 711 и П2 взаимно соответствуют друг другу (имеет место их взаимное соответствие), если и только если каждый из них соответствует другому.

D4. Предмет П2 однозначно соответствует предмету 771, если и только если П2 соответствует предмету 771 и никакой другой 773 не соответствует предмету 77".

D5. Предметы 771 и П2 взаимнооднозначно соответствуют друг другу, если и только если первый однозначно соответствует второму, а второй — первому.

O6. Пусть исследователь специально создает, отбирает, воспроизводит и т. п. предмет 771 для того, чтобы он находился во взаимном соответствии с П2 и только. Другими словами, исследователь навязывает предмету 771 одну-единственную роль — роль предмета, находящегося во взаимном соответствии с 77 . Будем в таком случае говорить, что 771 является знаком для 772, а П2 является обозначаемым для 771 (с точки зрения исследователя, конечно). Выражения «предмет 77" обозначает предмет П2» и «предмет П2 обозначается предметом 77"» суть лишь литературные вариации сказанного выше. Примеры знаков общеизвестны. Наиболее употребимые знаки — слова языка, жесты, знаки, регулирующие движение транспорта.

Знаки различаются или не различаются физически, т. е. по их видимому, слышимому (воспринимаемому) виду. Если знаки считаются физически тождественными, они суть экземпляры (повторения, воспроизведения) одного и того же знака. Например, слово «стол» и слово «стол» суть экземпляры одного и того же знака, если мы не обращаем внимания на их различия.

Из определения знака следует, что если некоторый предмет считается знаком (называют знаком), то должна иметься возможность выбрать другой предмет, обозначаемый им. Без обозначаемого нет знака, как нет обозначаемого без знака, подобно тому как один человек может считаться начальником лишь при том условии, что другой может быть назван его подчиненным. Речь здесь идет лишь о том, что некоторый предмет есть знак лишь для какого-то другого предмета. И если отвлекаются от предметов, обозначаемых данными знаками, последние при этом рассматриваются уже не как знаки, а просто как особого рода предметы (с другой точки зрения).

Кроме того, что знаки находятся в соответствии с обозначаемыми предметами, они имеют и другие свойства. Но в качестве знаков они берутся исключительно с точки зрения их места в соответствии. На роль знаков отбираются удобные для этой цели предметы, а не любые (в частности, легко воспроизводимые, дешевые). Каждый знает, например, что воспроизводить слово — дело сравнительно простое, а дешевизна слов превосходит дешевизну даже картошки. Со временем лишь определенного вида предметы становятся знаками профессионалами (подобно тому, как определенного вида вещи становятся деньгами). И привычка связывать слово «знак» не только с функцией предметов, но и с их воспринимаемым видом приводит к тому, что знаками начинают называть и знакоподобные предметы (какие-то линии на бумаге, звуки).

Обозначаемые предметы могут не существовать и быть недоступными непосредственному восприятию. Но знаки должны быть предметами, которые могут непосредственно восприниматься теми, для кого они предназначены, т. е. должны существовать эмпирически и быть доступными слуху, зрению, осязанию. Знаки, которые невозможно увидеть, услышать — нонсенс. Знак всегда есть нечто ощутимое, а не идеальное.

Образование знаков всецело зависит от исследователя, от его волевого решения. Предметы становятся знаками не в силу каких-то обстоятельств, заложенных в них самих, а по воле и желанию исследователя. Если имеется в виду два или более различных исследователя, то помимо решения одного из них считать некоторые предметы знаками требуется на это согласие других, т. е. аналогичное решение других. Тот факт, что одни люди и одни поколения людей навязывают другим людям и поколениям определенный способ обращения с какими-то предметами как со знаками, сути дела не меняет.

Знаки отличаются от чувственных образов предметов: последние суть состояния исследователя, суть состояния его природного отражательного аппарата, тогда как первые суть предметы, находящиеся вне исследователя, существующие наряду с ним, отделимые от него. Они играют определенную роль в жизни и деятельности исследователя, создаются и используются им, но не являются его собственными состояниями. Совокупность знаков и правил оперирования ими образует знаковый (или искусственный) аппарат отражения. Очевидно, он невозможен без природного (естественного, чувственного) аппарата отражения.

.D7. Пусть 3 есть знак для П. Предметное значение 3 состоит в том, что он обозначает именно П. Другими словами, на вопрос о том, каково предметное значение знака 3, исследователь должен каким-то способом нам указать, что именно (какой предмет) этот знак обозначает. Вместо выражения «предметное значение» в дальнейшем для краткости будем употреблять слово «значение».

Значением знака 3 является не предмет П, не «мысли», которые могут появиться в голове исследователя при оперировании 3, а лишь то, что он обозначает II, и исследователю это известно.

Простые знаки соединяются в сложные по каким-то правилам, и в сложном знаке имеется нечто такое, что указывает на них: это — близость и порядок знаков в пространстве и времени, а также какие-то дополнительные предметы, образующие с соединяемыми знаками некоторое физическое целое. Будем эти дополнительные предметы называть знакообразующими операторами. Например, из знаков «число» и «делится на два» посредством знакообразующего оператора «которое» получается новый знак «число, которое делится на два».

Различают смысл и значение знака. Раз простые знаки суть для нас своего рода неделимые, элементарные частицы, то это различие уместно лишь в отношении сложных знаков.

D8. Будем говорить, что исследователю известно смысловое значение (или, для краткости, просто смысл) простого знака, если и только если ему известно его значение, и смысловое значение (смысл) сложного знака, если и только если ему известно значение всех знаков, из которых построен этот сложный знак, и известны свойства всех входящих в него знакообразующих операторов. Если исследователю, например, известно значение знаков «число» и «делится на два» и известны правила оперирования оператором «которое», то ему известен смысл знака «число, которое делится на два».

Всегда важно знать, как берется тот или иной знак — как простой или как сложный. Для иллюстрации сложности проблем, связанных со смыслом и значением знаков, обычно привлекают «парадоксы», получающиеся с выражениями «вечерняя звезда» и «утренняя звезда». Если рассматривать эти знаки как сложные знаки, построенные из знаков «вечерняя», «утренняя» и «звезда», то они различны по смыслу (если, конечно, различны по значению знаки «вечерняя» и «утренняя»). При этом вопрос об отношении их значений пока остается открытым. Если они тождественны по значению (обозначают один и тот же предмет), то мы имеем пример знаков, тождественных по значению, но различных по смыслу. Но если эти два знака заведомо берутся просто как различные названия одного и того же предмета, то они берутся как простые знаки, тождественные по значению. Но в качестве простых знаков они тождественны и по смыслу.

Знаки можно рассматривать с точки зрения существования и возможности обозначаемых ими предметов.

D9. Пусть П есть обозначаемый для 3. Если П существует (не существует), то 3 называется экзистенциально непустым (пустым) знаком. Если П возможен (невозможен), то 3 называется потенциально непустым (пустым) знаком.

Пустой знак имеет смысл и значение. Например, знак «Человек, который весит тонну» экзистенциально пуст, а знак «Круглый квадрат» потенциально пуст. Но эти знаки имеют смысл и значение.

Общая теория знаков интересует нас лишь постольку, поскольку все сказанное выше распространяется на знаки языка как на частный случай. Но теория знаков может быть развита достаточно детально (и строго) как самостоятельная дисциплина.

§2. Термины

Терминами могут быть отдельные слова, группы слов, буквы, символы и их комбинации. Какие фрагменты в том или ином языке считаются терминами, вопрос внелогический. Чтобы применять правила логики надо иметь некоторый практический навык расчленения речевого потока на те элементы, для которых эти правила формулируются. Например, чтобы к выражению «все металлы электропроводны» применить правила логической теории кванторов и предикации, надо уметь в этом выражении выделить логический оператор (квантор) «все», термин-субъект «металл», термин-предикат «электропроводен» и оператор предикативности, соединяющий эти термины в целое высказывание, который здесь выражен путем написания терминов рядом в последовательности.

Каждый термин обозначает или называет какие-то предметы (предметом здесь называется все что угодно) — имеет значение. Так, термин «стол» обозначает столы; значение этого термина состоит в том, что он обозначает именно столы, а не предметы другого рода; какие именно предметы обозначаются термином «стол», можно установить путем указания на отдельные видимые столы, путем показывания рисунков и фотографий столов, путем описания столов совокупностью слов и фраз; термином «элементарная частица» в физике обозначают физические предметы, описания и перечисления которых можно найти в соответствующих работах по физике.

Будем говорить, что термин Ь включается по значению в термин а (или что предмет а есть предмет b; или, короче, что а есть b), если и только если выполняется следующее: любой предмет, обозначаемый термином а, может быть обозначен также термином Ъ. Например, термин «число» включается по значению в термин «четное число» (или четное число есть число); термин «элементарная частица» включается по значению в термин «электрон» (или электрон есть элементарная частица).

Если а есть Ь (или термин Ь включается по значению в термин а), будем это записывать символом

a —1 Ь.

Если а не есть Ь (т. е. не всякий предмет, обозначаемый термином а, может быть обозначен также термином b), будем это записывать символом

~(а —Ь).

Если в—1 ЬиЬ—'а, то будем говорить, что термины а и Ь тождественны по значению, и записывать это символом

а^Ь.

Примеры терминов, тождественных по значению: «ромб» и «равносторонний четырехугольник»; «стол», «бег TIsch» и «а table».

Через отношение включения терминов по значению определяются другие отношения терминов, в частности, такое: термин а называется общим (родовым) по отношению к термину Ь, а термин Ъ при этом называется частным (видовым) по отношению к а, если и только если Ь —■1 а и ~ (а —■- Ь). Например, термин «ромб» является видовым по отношению к термину «четырехугольник», а второй является родовым по отношению к первому.

§ 3. Два вида терминов

Возьмем высказывание «Электрон заряжен отрицательно». Оно состоит из терминов «электрон» и «заряжен отрицательно». Но эти термины играют в высказывании различную роль: первый обозначает предмет, о котором говорится; второй же обозначает то, что мы хотим сказать об этом предмете. Термины второго типа называют предикатами, а то, что обозначается ими, — признаками предметов. Термины первого вида называют субъектами.

Предикаты разделяются на одно-, двух-, трех- и т. д. местные в зависимости от того, сколько требуется терминов-субъектов, чтобы образовать высказывание. Так, предикат «заряжен отрицательно» — одноместный, а предикаты в высказываниях «а больше Ь» и «а находится между Ъ и с» — соответственно являются двухместными и трехместными. Способность различать предикаты таким образом мы предполагаем данной. Точно также данной предполагается способность различать предикаты и субъекты. В одних случаях это различие очевидно, как в приведенном в начале параграфа примере, в других — требуется некоторое усилие, чтобы предикат обнаружить и выделить. Так, предикатом в высказывании «а больше 6» является выражение «первый предмет больше второго предмета», что непосредственно усмотреть в нем нельзя.

Ни один предикат не есть субъект и ни один субъект не есть предикат. Для любых а и Ь, если один из них есть субъект, а другой предикат, будет иметь силу ~ (а —11 Ь) и ~ (6 а). Чтобы «превратить» субъект а

в предикат Ь, или наоборот, надо из а (или из Ь) и других дополнительных языковых средств построить термин Ь (соответственно а) по особым правилам.

§ 4. Простые и сложные термины

Из данных терминов и высказываний образуются новые термины с помощью особого рода средств, которые мы будем называть терминообразующими операторами или, короче, Т- операторам и. Например, из терминов «элементарная частица» и «заряжена отрицательно» образуется сложный термин «элементарная частица, которая заряжена отрицательно», где слово «которая» играет роль Т-оператора. Из высказывания «Электрон заряжен отрицательно» образуется термин «Тот факт, что электрон заряжен отрицательно» с помощью Т-оператора «тот факт, что».

Термины, которые не расчленяются на другие термины или высказывания и Т-операторы, будем называть логически простыми. Термины же, которые содержат другие термины или высказывания и Т-операторы, будем называть логически сложными.

Какие комбинации слов и букв считаются простыми терминами и какие сложными, логика судить некомпетентна. Так, вопрос о том, является термин «элементарная частица» простым или сложным, есть вопрос внелогический. Этот термин можно, очевидно, рассматривать и как сложный, если его воспринимать как термин вида «частица, которая является элементарной». Но его можно рассматривать и как простой, если считать его вводимым в употребление иным путем как целое.

§ 5. Сложные термины

Один из способов образования сложных терминов — образование пар, троек и т. д., вообще — энок терминов. Будем записывать их символами вида (а, Ь), (а, Ь, с),..., (а1,..., а"), где п 2. В высказываниях эти термины обычно не локализованы так, как в этой форме записи. Например, в высказывании «а больше b» термин, представляющий собой пару терминов (a, b), рассредоточен по различным частям высказывания. Предлагая записывать их в виде (а1,..., а"), мы осуществляем абстракцию или схематизируем реальное положение дел. Но эта абстракция правомерна хотя бы уже потому, что любому высказыванию х, в которое входят термины-субъекты а1,..., ап, можно придать вид высказывания с термином (а1,..., а") без потери информации (как это принято говорить теперь). Например, высказыванию «а находится между Ъ и с» можно придать вид «(а, Ъ, с) таковы, что первый находится между вторым и третьим». Предметы, обозначаемые терминами такого типа, будем называть парами, тройками и т. д., вообще — энками предметов. Читать (а1,..., а") можно будет также как «Энка предметов а1,..., а"».

Пусть а есть субъект, Р есть предикат, х есть высказывание. Из них можно образовать сложные термины «а, который имеет признак Р», «а такой, что Р», «а такой, что верно х», «а такой, что ж», «а, в отношении которого имеет силу х» и т. п. Здесь используется Т-оператор, который мы будем называть оператором ограничения (или оператором «который», «такой, что») и будем изображать его символом Термины с этим оператором будем записывать символами вида a J. Р, a J. х, (а1,..., a") J. х и т. п. Примеры таких терминов: «Частица, которая заряжена отрицательно», «Пара чисел такая, что одно число больше другого», «Число а такое, что число а есть простое число». С оператором ограничения образуются также термины с отрицаниями. Например, «Частица, которая не заряжена отрицательно».

§ 6. Вхождение терминов и высказываний в другие термины и высказывания

Термины и высказывания могут быть частями других терминов и высказываний в роли терминов и высказываний и в роли физических тел (звуков, линий на бумаге) определенного вида. В первом случае будем говорить о вхождении в качестве термина или высказывания, во втором — о физическом вхождении. Например, в выражение «высказывание х истинно» высказывание х входит физически, а в выражение «если х, то у» — в качестве высказывания. В выражение «термин “стол” есть субъект» слово «стол» входит физически, а в выражение «стол деревянный» — как термин. Точное разграничение этих случаев производится в логике путем перечисления структур языковых выражений, в которые термины и высказывания входят именно в качестве таковых. Общий же принцип таков: если согласно принятым правилам образования терминов из предположения, что а1,..., an (n > 1) суть термины (или высказывания), a bl,...,bm (т > 1) суть логические операторы, следует, что выражение А, образованное из а1,..., а”, bl,...,bm по этим правилам, есть термин (или высказывание), то термины (высказывания) а ап и само А входит в Л в качестве терминов (или высказываний).

Учитывая сказанное выше, можно принять такое правило: если а Ь, и термин d образуется из термина с путем замены одного или более вхождений а в с в качестве термина на Ь, то с —1 d. Из этого правила (при тех же ограничениях на вхождение) следует: если а Ь, то d.

§ 7. Метатермины и метавысказывания

Термины, обозначающие термины и высказывания, суть метатермины. Высказывания, содержащие метатермины, суть метавысказывания. Например, выражение «термин “стол”» есть метатермин по отношению к термину «стол», а высказывание «Термин “стол” является простым» — метавысказыванием.

Всякий метатермин есть субъект. Никаких метапредикатов не существует. Если а есть предикат, а Ъ есть обозначающий его термин, Ъ все равно есть субъект.

Особое значение имеют метатермины, в образовании которых участвуют сами обозначаемые термины и высказывания, в том числе — термины типа «термин а», «субъект а», «предикат а», «высказывание а». Будем их обобщенно и схематично записывать символами типа та, где а есть обозначаемый термин или высказывание. Для таких терминов имеют силу следующие негативные правила:

1) ~(а —*■ та);

2) ~ (та —■- а);

3) если а —*■ Ь, то из этого не следует, что та —*■ mb;

4) если а ;=* Ь, то из этого не следует, что та mb.

Создается иллюзия, будто а входит в та в качестве термина или высказывания. Но это не так. На самом деле а входит в та как совокупность физических предметов (звуков, линий и т. п.), образующих материю языка. Выражение та следует для большей ясности читать как «термин (субъект, предикат, высказывание), который пишется, произносится и т. п. так: а». Особенность та состоит в том, что в нем вещественно содержится обозначаемый термин или высказывание а, который в составе та уже не является термином или высказыванием. Термин или высказывание а не входит в та в качестве термина или, соответственно, высказывания.

Если допустить, что а входит в ma в качестве термина, получим следующее. Если а Ь, то по правилу подстановки из § 6 получим, что ma mb. Но если а и Ь по воспринимаемому виду (физически) различны, то ma и mb будут обозначать различные предметы, причем ma не будет обозначать b, a mb не будет обозначать а. Значит, будет неверно ma ;=± mb. Чтобы избежать таких парадоксов, надо точно фиксировать случаи, когда термины и высказывания входят в языковые выражения в качестве терминов и высказываний, и случаи, когда они входят как физические вещи (как это, в частности, сделано выше).

Возьмем предложение «N утверждает, что писатель Лев Толстой есть автор романа “Анна Каренина”». Из него логически нельзя получить предложение «N утверждает, что писатель Лев Толстой есть писатель Лев Толстой», хотя термин «писатель Лев Толстой» тождественен (по допущению) термину «автор романа “Анна Каренина”». Дело в том, что исходное предложение имеет такое логическое строение. Субъекты его суть термины «N» и высказывание «Лев Толстой есть автор романа “Анна Каренина”». Второй термин, как видим, есть термин типа ma. Предикат его есть выражение «первый утверждает второе». Так что высказывание «Писатель Лев Толстой есть автор романа “Анна Каренина”» не входит в рассматриваемое предложение в качестве высказывания, а термины высказывания «Писатель Лев Толстой есть автор романа “Анна Каренина”» и высказывание «Писатель Лев Толстой есть писатель Лев Толстой» не тождественны по значению.

Заметим кстати, что употреблявшиеся выше выражения а —■■ b и нельзя рассматривать как состоящие из терминов-субъектов a и b и предикатов —■■ и Они суть выражения, состоящие из терминов-субъектов ma и mb и предикатов —*■ и ;=±.

Законы логики вообще суть метавысказывания, субъекты которого суть метатермины ma, где а есть термин или высказывание, а предикаты суть Н, —*•, «истинно», «ложно», «доказуемо» и т. п. Логика есть метанаука по отношению ко всем прочим наукам и, кстати сказать, — единственная метанаука вообще, если считать необходимым признаком науки обобщенное изучение той или иной области предметов. Так что законами логики являются не утверждения вида ж А у D х

и т. п., как принято думать, но либо метаутверждения вида Н (zV ~ х), х А у Е х ит.п., либо метаутверждения вида «m(zV ~ х) есть тавтология, если приняты какие-то таблицы истинности для V, ~ и такое-то определение тавтологии», «из тп(х А у) следует тх».

Еще одно замечание, к которому читатель может вернуться после прочтения § 12 и § 15. Для любого предиката Р смысл Р(а) и Р(та) устанавливается независимо друг от друга. Значения истинности Р(а) и Р(та) также не имеют логической связи. Например, высказывание «Флогистон существует» неистинно, а высказывание «Термин “флогистон” существует» истинно. Однако здесь имеет место такая зависимость: смысл та известен, если и только если известен смысл а; и если а не есть термин, то та не есть термин.

§ 8. Смысл терминов

Будем говорить, что исследователю (т. е. тому, кто имеет дело с терминами) известен смысл термина, если и только если ему известно значение всех терминов, входящих в данный термин, и известны свойства всех логических операторов, входящих в этот термин.

Например, смысл термина «число, которое делится на два без остатка» нам известен, если и только если нам известно значение терминов «число» и «делится на два без остатка» и известны свойства оператора «который». Свойства этого оператора определяются в логике.

Примем утверждение: если исследователю известен смысл термина, то ему известно и значение этого термина.

Принятое утверждение дает нам средство устанавливать значение терминов путем установления их смысла. Например, значение термина «круглый квадрат» можно установить (узнать) одним единственным путем, а именно — установив значение терминов «квадрат» и «круглый» и свойства оператора «который» (он здесь не выражен явно; в более явном виде этот термин имеет такое строение: «Квадрат, который является круглым»). Значительная часть терминов современной науки такова. Подчеркиваем то обстоятельство, что если мы указываем значение термина путем установления его смысла, ничего иного более не требуется. Если мы, например, на вопрос о том, каково значение термина «круглый квадрат», помимо разъяснения значения терминов «круглый» и «квадрат» и свойство оператора «который» будем еще примысливать что-то дополнительное, мы совершим логическую ошибку. В таких случаях надо вовремя остановиться. Чрезмерные поиски значения термина ничуть не лучше, чем недостаточные.

§9. Термины из высказываний

Из высказываний образуются термины-субъекты по следующей схеме: если х есть высказывание, то выражение «тот факт, что х» (или «то, что ж») есть термин, причем — субъект. Здесь выражение «тот факт, что» (или «то, что») играет роль Т-оператора. Будем термины такого вида записывать символами вида J. х, где х есть высказывание, а ! есть Т-оператор «тот факт, что».

Из высказываний также образуются термины предикаты по такой схеме: если х есть высказывание, то выражение «такой, что х» («таков, что х», «характеризуется тем, что ж») есть термин, причем — предикат. Будем такие термины записывать символами вида х |, где ! есть Т-оператор «такой, что».

§10. Определения

Определения терминов суть один из способов введения терминов в язык. Но это — наиболее важный способ.

Возьмем такое простое определение: «Ромб есть равносторонний четырехугольник». Его можно записать также в другой форме: «Ромбом называется равносторонний четырехугольник» или «Будем ромбом называть равносторонний четырехугольник». Но при всех вариациях остается незыблемым следующее:

1) благодаря определению вводится новый термин «ромб»;

2) принимается решение считать слово «ромб» термином, равнозначным термину «равносторонний четырехугольник».

Так что если выявить полностью логическое строение этого определения, оно примет такой вид: предмет вида «ромб» (слово «ромб») будем считать термином таким, что «ромб» «равносторонний четырехугольник». Термин «ромб» здесь называется определяемым, а термин «равносторонний четырехугольник» — определяющим. Второй является сложным термином типа a ! Р («четырехугольник, который является равносторонним», или «четырехугольник, все стороны которого равны между собою»). Его значение считается известным. Значение первого (определяемого) известно лишь благодаря тому, что он считается равнозначным второму (определяющему).

Выше мы рассмотрели пример определений, которые строятся по такой общей схеме: «Будем считать предмет а термином таким, что a^=±b, где Ъ есть термин». Сокращенно это записывается в виде

a = Df- Ь.

В другой форме это определение читается так: а согласно нашему решению (по определению) есть термин, тождественный по значению термину Ь. Такие определения практически целесообразны лишь тогда, когда Ь есть сложный термин, а а есть либо простой термин, либо содержит вновь вводимый простой термин.

Рассматриваемые определения бывают двух видов: 1) а есть простой термин; 2) а есть сложный термин, содержащий простой. Например, выражение «доказуемая формула» содержит термин «формула», значения которого известно, и вновь вводимый термин «доказуемая», который определяется применительно к формулам.

Формы определений разнообразны. Часто встречающееся определение путем указания рода и видового отличия имеет строение

а = Df- Ы Р,

а — Df- b ! х,

где Р есть видовой признак некоторых из предметов b, ах— высказывание, в котором говорится о видовом признаке. Определение а через Ъ ! х не обязательно родо-видовое. Возьмем такое определение: термином а будем называть предметы Ъ такие, которые не являются предметами end. Здесь не указано никакого видового признака Р. Здесь просто произведено исключение: а суть все Ъ, кроме cud.

Определение через перечисление видов а строится по такой схеме: пусть а будет термином таким, что Ь1 есть а,..., Ь" есть а, и никакой другой предмет не есть а (или Ь1,..., Ь" и только эти предметы суть а).

Если принято определение а = Df - Ь, то принимается утверждение а Ь. Если принято определение через перечисления видов а, то принимается множество утверждений:

1) Ь* —1 а,..., Ь" —k а;

2) если ~ (с —11 Ь1),...(с —11 b"), то ~ (с —а), где с не содержит а и не определяется через а.

Более сложной формой определения через перечисление являются рекурсивные определения. Простейшие из них строятся по такой схеме. Пусть а будет термином таким, что

1) Ь* —*■ а,... ,ЬП а (где n 1);

2) если с1 а,... ,ст а (где т > 1), то dl а,..., dk —11 а (где k > 1);

3) ничто другое, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не есть а.

Более сложными по другой линии являются определения, когда одновременно определяются два и более термина, — комплексы терминов. При этом между терминами могут иметь место различные типы логической зависимости. Примером такого рода определений в рамках самой логики являются определения комплексов логических операторов совместно с предикатом логического следования, как увидим далее. В формальной арифметике совместно определяются знаки «один», «ноль» и «плюс». Общая схема таких определений имеет вид:

1) требуется определить а',... ,ап (п > 2);

2) чтобы определить отдельный из а*, необходимо использовать какой-то другой из них, который сам нуждается в первом;

3) строится более или менее сложный текст из некоторого множества высказываний, в котором фигурируют а1,..., а" и который устанавливает правила оперирования ими в других контекстах.

В дальнейшем мы несколько подробнее рассмотрим другие виды определений, играющие в нашем изложении первостепенную роль. Определения языковых выражений в данной работе есть вообще главная задача. Но чтобы на эту тему говорить более строго и более детально, надо на время обратиться к высказываниям.

tz 11. Высказывания

Высказывания суть особого рода языковые конструкции, образованные из терминов, высказываний и высказываниеобразующих операторов (В-операторов).

Простейшие высказывания состоят из субъекта, предиката и оператора предикативности, соединяющего субъект и предикат в целое. Примеры таких высказываний: «Электрон заряжен отрицательно», «7 больше 5», «Число 5 простое» и т. п. Будем их изображать символами типа Р(а) и Р(а',... ,ап), где п > 2, и прочитывать в этих схемах как «Предмет а имеет признак Р» и «Предметы а ,..., а" таковы, что Р» (или «Энка предметов а1,..., ап имеет признак Р»), Разумеется, это — схематизация. Навык приведения высказываний конкретных языков к такому виду предполагается данным.

Приведем В-операторы, с помощью которых из данных высказываний (в конечном счете — из простых) образуются новые высказывания:

1) Л — конъюнкция («и»; «каждый из»);

2) V — ослабленная дизъюнкция («или»; «по крайней мере один из»);

3) : — сильная дизъюнкция («либо, либо»; «один и только один из»);

4) ~ — внешнее отрицание («не»; «не так»);

5) —» — оператор условности («если, то»);

6) «-» — оператор обратимой условности («если и только если»);

7) V — квантор общности («все»);

8) 2 — квантор существования («некоторые»);

9) -1 — внутреннее отрицание (читается так же, как внешнее, только располагается в высказываниях иначе);

10) ? — оператор неопределенности (поясним его ниже).

Отношение этих операторов к соответствующим средствам языка поясним на примере конъюнкции. Во-первых, в логике в качестве конъюнкции используются различные символы помимо Л, в частности — &, К и т. п. Во-вторых, в различных языках и в различных ситуациях в одном и том же языке роль Л (конъюнкции) может выполнять не только слово «и», но и другие средства, в частности — «но», запятая, точка с запятой, «а также», «кроме того» и т. п. И, в-третьих,

упомянутые языковые средства, помимо того, что они играют иногда роль конъюнкции, выполняют и другие функции. Так что логика, вводя оператор конъюнкции, абстрагирует лишь некоторое свойство различных языковых средств и рассматривает его как таковое, — метод, общий логике с другими науками.

Высказывания с операторами (1-Ю) имеют такое логическое строение:

1) ж Л у — «ж и у»,

(ж1 Л ж2 Л... Л ж") — «ж1 и ж2 и ... и ж"» («Каждое из ж1, ж2,..., ж"»);

2) ж V у — «ж или у»,

(ж1 V ж2 V... V ж") — «ж1 или ж2 или ... или ж"» («По крайней мере одно из ж1, ж2,..., ж"»);

3) ж : у — «Либо ж, либо у»,

(ж* : ж2:... : ж") — «Одно и только одно из ж1, ж2,..., ж"»;

4) ~ж — «Не ж» («Не так, как говорится в ж»);

5) ж —> у — «Если ж, то у»;

6) ж у — «ж, если и только если у» (или «Если ж, то у; если у, то ж»);

7) (V а)ж — «Все а таковы, что х» («Все аж»; «Для всех аж»);

8) (3 а)ж — «Некоторые а таковы, что ж»;

9) -I Р(а) — «Предмет а не имеет признака Р» («а не имеет Р»);

(-> V а)ж — «Не все а таковы, что ж»;

(-> 3 а)ж — «Нет таких а, что ж»;

10) ? Р(а) — «Нельзя сказать, что Р(а) и ~>Р(а)» («Не-Р(а) и не-~>Р(а)»; «Не известно, Р(а) или ->Р(а)»);

(? V а)ж — «He-(V а)ж и не-(-я V а)ж» («Нельзя установить, (V а)ж или (-> V а)ж»);

(?3а)ж — «Не-(3а)ж и не-(~>а)ж» («Нельзя установить, (За)ж или (-> а)ж»).

Приведенные выше структуры высказываний не исчерпывают всех возможных видов высказываний. Другие виды высказываний образуются за счет введения производных В-операторов, за счет усложнения строения терминов и перераспределения их частей в языковых конструкциях. Например, высказывание Р(а), в котором а есть термин «b при условии с», может быть преобразовано в высказывание «Р(Ь) при условии с», в котором ссылка на условия вынесена из субъекта как особая часть высказывания.

§12. Смысл высказываний

Будем говорить, что известен смысл высказывания, если и только если известен смысл всех входящих в него терминов и известны свойства всех входящих в него логических операторов.

Два высказывания хи у будем считать тождественными по смыслу, если и только если зх зу. Будем тождество высказываний по смыслу изображать символами вида х~ у.

Очевидно, если х = у и у = z, то х = z. Согласно правилу замены, приведенному в § 7, имеем также следующее следствие: если х = у, и при этом v образуется из z путем замены одного или более вхождений х в z в качестве высказывания на у, то z = v.

§13. Определения с высказываниями

Термины могут вводиться в употребление так, что при этом определяются сразу целые высказывания, т. е. как части высказываний. Определения эти строятся по такой схеме: «Будем считать х высказыванием таким, что х = у», где у есть данное высказывание или совокупность высказываний. Сокращенно будем это определение записывать символами вида

х = DJ• у,

где х есть определяемое высказывание, содержащее определяемый термин, а у — данное высказывание, через которое определяется х (т. е. определяющее высказывание).

Если принимается определение х = Df- у, то тем самым принимается утверждение х = у.

Чаще (и это удобнее) определения такого рода записываются в такой форме: «Будем говорить, что х, если и только если у». Например, «Будем говорить, что формула доказуема в S, если и только если она есть аксиома S или получается из аксиом по правилам вывода S». В такой форме просто элиминирована часть средств определения (например, ссылка на смысл высказываний), что облегчает вывод следствий из определения. Но при этом природа определения не выражается явно, что имеет свои недостатки.

С помощью определений рассматриваемого вида определяются предикаты и логические операторы. Например, операторы сильной дизъюнкции, обратимой условности и неопределенности можно определить через другие следующим образом:

(х:у) = Df■ (жУу) Л (~жу~у),

(ж w у) Df- (ж -> у) Л (у -> ж),

?Р(а) = D/ ~ Р(а)Л ~ -> Р(а),

(?V а)ж = D/ ~ (V а)жЛ ~ (-> V a)ж,

(?2 а)ж = D/ ~ (2 а)жЛ ~ (-> 2 а)ж.

Примеры определения предикатов ниже будут приводиться в большом числе. Здесь ограничимся абстрактными, зато более наглядным примером:

Р(а) = Df- Q'(a) Л Q2(a) Л fcQ3(a),

где Q Q2, Q2 суть какие-то признаки, а предикат Р вводится в интересах сокращения.

Определения вида а = Df - Ъ дают право повсюду заменять вхождение Ъ в качестве термина на а, и наоборот. Определения же вида ж = Df - у дают право заменять вхождение ж в качестве высказывания на у, и наоборот. Если при этом происходит замена терминов, то лишь как следствие замены высказываний.

Определения обоих указанных видов дают возможность заменять некоторые языковые комплексы на более удобные с какой-то точки зрения (например, на более компактные, на интуитивно ясные и т. и.). Например, слово «ромб» короче и удобнее в обращении, чем группа слов «равносторонний четырехугольник»; выражение ж : у короче, чем (ж V у) Л (~ жV ~ у). Без такого рода сокращений и замен, начиная с некоторого момента, становится практически невозможным фиксирование знаний и оперирование ими. Отыскание наиболее удобных форм сокращения есть одна из важнейших задач построения языка науки вообще.

§14. Определение предикатов

Об определении предикатов следует сказать особо. Предикаты определяются как части сложных терминов или как части высказываний. Это связано со следующей их особенностью. Чтобы как-то указать, какой признак обозначает данный предикат Р, надо указать какие-то предметы, обладающие этим признаком. Признаки предметов всегда суть признаки каких-то предметов и не могут существовать отдельно и независимо от них. Так что если предикат Р вводится в употребление посредством определения, то определяется не Р само по себе, а термин типа a I Р, sP(a) и т. п. или высказывание ж, содержащее Р.

С этой особенностью предикатов связана другая. Предикаты определяются для более или менее широкого круга заданных субъектов (предметов) и не всегда для любых субъектов. Если мы, например, определили Р, определив для этого a I Р или sP(a), то сфера приложимости Р зависит целиком и полностью от степени общности а. Если b —а, то Р применим к Ь, выражение b I Р есть термин, а Р(Ь) — высказывание. Если же ~ (Ь —■1 а), и нет такого термина с, для которого построено определение термина с I Р или высказывания Р(с) и для которого Ь —1 с, то Ь 1 Р не есть термин, а Р(Ь) не есть высказывание. Это суть бессмысленные языковые выражения, лишь похожие на термины и высказывания. И любое выражение, содержащее их с претензией на вхождение термина и высказывания, не есть термин и высказывание.

Например, предикат «четный» определен лишь для терминов целых чисел и не определен, допустим, для терминов металлов. Выражение «четная медь» вообще не есть термин. Аналогично не есть термин выражение «желтый интеграл», а выражения «интеграл является желтым» и «интеграл не является желтым» не являются высказываниями. И нельзя сказать, что они неистинны, так как предикат «неистинно» определяется только для выражений, которые суть высказывания.

Лишь в случае, если а есть термин «предмет», определение термина а ! Р или высказывания Р(а) есть определение Р для любых предметов, поскольку для такого а имеет силу следующее: для любого термина Ь, если Ь есть субъект, то Ь —■1 а.

§15. Значения истинности высказываний

Общеизвестна оценка высказываний как истинных и ложных. К ним теперь присоединяют еще неопределенность, непроверяемость, неразрешимость и т. п. Выражения «истинно», «ложно», «неопределенно» и т. д. считаются терминами (или знаками) значений истинности высказываний или истинности значений. Ниже мы сформулируем основные принципы, относящиеся к значениям истинности высказываний.

Во-первых, термин «истинно» должен быть определен как предикат высказываний вида «Выражение ж истинно».

Во-вторых, в зависимости от различий в структуре высказываний х определение термина «истинно» должно быть различным. Например, термин «истинно» для высказываний жА у с оператором А и высказываний х V у с оператором V определяется различно (иначе эти операторы не будут различаться). Независимо от строения х уместно лишь такое определение: «х истинно» = Df- х («ж истинно, если и только если ж»). Это определение дает правило введения предиката «истинно» в язык и элиминации из него как излишнего.

В-третьих, для простых высказываний термин «истинно» принимается без определения. Здесь достаточно ограничиться пояснением и правилом, о котором говорилось во втором пункте. Приняв термин «истинно» для простых высказываний, можно затем определить его для сложных высказываний через эти случаи. При этом определения должны быть построены так, чтобы всегда выполнялось правило, указанное во втором пункте.

В-четвертых, все остальные значения истинности определяются через значение «истинно». Например, значение «неистинно» определяется так: «х неистинно» = Df • «х не является истинным» или «х неистинно» н Df- «~ х истинно». Другой пример — определения значений «неопределенно» и «ложно» для высказываний типа: Р(а):

1) «Р(а) ложно» = Df- Р(а) истинно»; 2) «Р(а) неопределенно» = Df- «~ Р(а) Л ~ -I Р(а) истинно».

Таким образом, все термины значений истинности в конце концов могут быть элиминированы из языка, и соответствующие выражения с ними заменены на выражения с термином «истинно», а последний вообще может быть устранен из языка по правилу замены выражений «х истинно» на х. Но это никак не означает того, что эти термины вообще излишни. Они удобны для установления целого ряда логических операций, а начиная с некоторого момента, они практически необходимы как сильное средство сокращения сложных языковых конструкций в компактные и обозримые.

Значение «истинно» может быть элиминировано из языка, но его нельзя устранить из ситуации, в которой употребляются высказывания. Оно выражает отнесение высказываний к состояниям, выражает акт принятия высказываний или согласия с тем, о чем в них говорится. Так что замена «ж истинно» на х означает, что признание х выражается не языковыми средствами (не предикатом «истинно»), а как-то иначе (самим фактом произнесения или написания х, как это чаще всего и делается).

Сводимость всех значений истинности к значению «истинно» означает следующее. Утверждая, что х имеет некоторое значение истинности а, мы тем самым признаем, что имеет место некоторое состояние, описываемое высказыванием у, причем определение а должно быть построено так, чтобы из него можно было вывести утверждение «х имеет значение истинности а, если и только если у».

Наконец, для каждого значения истинности имеет силу утверждение: любое высказывание либо имеет это значение истинности, либо не имеет его. В частности, каждое высказывание либо истинно, либо не является истинным; либо ложно, либо не является ложным и т. п.

Встречающееся в языке слово «истина» есть лишь сокращение для выражения «высказывание, которое истинно»; аналогично для прочих значений истинности.

§16. Число значений истинности

Возьмем простейшее высказывание Р(а), например — «Частица a находится в области пространства Ъ». Возможны такие случаи:

1) частицу а невозможно наблюдать;

2) частицу а возможно наблюдать.

Во втором случае мыслимы такие подслучаи:

а) частица а действительно находится в области пространства Ъ;

б) частица а не находится в области пространства b;

в) частица а движется так, что нельзя сказать, что она находится в Ь, и нельзя сказать, что она не находится в Ъ.

Таким образом, для Р(а) возможно ввести в употребление четыре термина значений истинности, соответствующие приведенным выше четырем возможностям. Они и вводятся только для того (если на самом деле вводятся), чтобы обозначить, какая именно из этих возможностей признается. Пусть, например, приняты определения:

1) Р(а) непроверяемо, если и только если а невозможно наблюдать;

2) Р(а) истинно, если и только если а можно наблюдать и на самом деле а имеет признак Р;

3) Р(а) неопределенно, если и только если а можно наблюдать, но невозможно установить, имеет а признак Р или нет;

4) Р(а) ложно, если и только если а можно наблюдать и при этом а не имеет признак Р.

И если мы теперь будем утверждать, что, например, высказывание Р(а) ложно, то это будет означать лишь то, что мы принимаем (признаем) следующее: а можно наблюдать, а не имеет Р.

Еще большие возможности открываются для высказываний с более сложными структурами. Так что в принципе число значений истинности не ограничено. Сколько их на самом деле фигурирует в языке, зависит от практической целесообразности. До последнего времени обходились двумя значениями «истинно» и «ложно», причем ложность понималась как отрицание истинности (как «неистинно»). В последние десятилетия все чаще стали употреблять третье значение — «неопределенно». В связи с этим термин «ложно» оказался двусмысленным: он стал обозначать одно из значений истинности наряду с «истинно» и «неопределенно», а с другой стороны он сохранил смысл отрицания истинности. Это ведет к различного рода недоразумениям.

Мы будем употреблять в качестве отрицания истинности термин «неистинно», приняв такое определение: высказывание неистинно (или является неистинным), если и только если оно не является истинным. Термин же «ложно» мы будем употреблять как обозначение одного из значений истинности, которое лишь иногда полностью совпадает со значением «неистинно», а именно — когда высказывание может принять только одно из двух значений «истинно» и «ложно». Так что если высказывание ложно, то оно неистинно; но если высказывание неистинно, из этого не следует, что оно ложно: оно может быть непроверяемо, неопределенно и т. п.

Очевидно, всякое высказывание либо истинно, либо неистинно. Но не всегда (при условии принятого соглашения) верно, что высказывание либо истинно, либо ложно: высказывание может быть неопределенным, т. е. не быть истинным и не быть ложным.

§17. Координаты высказываний

Значения истинности некоторых высказываний зависят от места и времени их использования. Например, высказывание «Окно открыто» может быть истинно в отношении одного окна и неистинно в отношении другого (которое закрыто), может быть истинно в отношении некоторого окна в одно время и неистинно в отношении этого же окна в другое время. Будем называть такие высказывания локальными. К числу локальных высказываний относятся высказывания, значения истинности которых могут меняться в зависимости от индивидов, с которыми их соотносят. Но поскольку различные индивиды так или иначе различаются по положению в пространстве и времени, то смена индивида, с которым сопоставляют высказывание, есть изменение области пространства или времени использования высказывания. Аналогично — зависимость значений истинности высказываний от условий сводится к зависимости от места и времени (изменение условий предполагает смену места или другое время).

Будем называть координатами высказывания х место, время, условия ит.п., в которых используется х и устанавливается его значение истинности. Координаты высказываний обычно предполагаются неявно, иногда не играют роли, иногда фиксируются особыми знаками. При формулировке правил логики и применении их, однако, важно всегда предполагать, что они так или иначе могут быть учтены. Возьмем, например, высказывание «Если Р(а), то Q(a)». Чтобы оперировать им правильно, в случае локальности входящих в него высказываний необходимо соблюдать тождество координат для Р(а) и Q(a), в частности, если выбран индивид b такой, что b есть а в первом из них, то тот же индивид должен быть выбран и во втором. Если дано, что х истинно и у истинно, то мы имеем право признать истинным х i\y лишь при условии тождества координат для х, у и х Л у (в случае, конечно, если высказывания хну локальны).

Между координатами а и высказыванием х никакой логической связи не предполагается. Координаты суть обособившаяся часть высказывания, и при логических операциях с ж во избежание ошибок эту часть а надо как-то ассоциировать с х, т. е. оперировать высказыванием «х при а».

Высказывания, значения истинности которых не меняются с изменением координат (которые имеют одно и то же значение истинности в любых координатах), будем называть универсальными. Примеры универсальных высказываний: «Все четные числа делятся на два без остатка», «Электрон заряжен отрицательно», «5 > 3», «Человек смертен» и т. п.

С учетом корректив относительно координат высказываний правила логики в одинаковой мере относятся как к универсальным высказываниям, так и к локальным. Первые характерны для точных наук, и поскольку для них предполагаются любые координаты (т. е. координаты безразличны), ссылки на последние вообще опускаются. Вторые характерны для опытных наук, и в ряде случаев выявление координат для них играет существенную роль.

§18. Значение истинности высказываний с операторами конъюнкции, дизъюнкции и отрицания

Предикаты «истинно» и «неистинно» для высказываний с операторами V, Л определяются так:

11. (х Л у) истинно, если и только если х истинно и у истинно;

12. (х Л у) неистинно, если и только если по крайней мере одно из ж и у неистинно;

21. (ж V у) истинно, если и только если по крайней мере одно из х и у истинно;

22. (ж V у) неистинно, если х неистинно и у неистинно;

3'. ~ж истинно, если и только если х неистинно;

З2. ~ж неистинно, если и только если х истинно.

Явные определения отличаются от приведенных лишь тем, что «если и только если» заменяется на = Df- . Неявным определениям для краткости и наглядности придают форму таблиц.

Из сказанного очевидно, что термин «истинно» имеет различный смысл в зависимости от того, к каким видам высказываний ж Л у, х V у, ~ж и т.д. он относится. И никакого единого и общего смысла, независимого от структуры высказываний, он не имеет. Он вообще не имеет никакого смысла сам по себе, безотносительно к высказываниям, предикатами которых он является. Аналогично для термина «неистинно».

Более того, термины значений истинности могут иметь различный смысл даже для высказываний с одной и той же структурой в зависимости от числа употребляемых значений истинности. Пусть, например, введены в употребление три значения истинности — «истинно», «неопределенно» и «ложно». Для высказывания вида ~ х возможны такие определения термина «истинно»:

1) ~ж истинно, если и только если х ложно;

2) ~ х истинно, если и только если х неопределенно или х ложно. Для высказывания жЛ у возможны такие определения термина «ложно»:

1) х Л у ложно, если и только если по крайней мере одно из ж и у ложно;

2) х Л у ложно, если и только если одно из ж и у ложно или неопределенно, а другое из них ложно или истинно.

Возможности для таких вариаций возрастают с ростом числа значений истинности.

Если термины значений истинности считаются данными (например, первично ясными), то рассмотренные выше определения (и вообще определения такого рода) могут рассматриваться как определения логических операторов V, Л. Принципиальная схема определений при этом имеет следующий вид: оператор ~ по определению обладает такими свойствами, что если ж истинно (неистинно), то ~ ж неистинно (истинно); оператор Л обладает такими свойствами, что ж Л у истинно, если и только если ж истинно и у истинно; и т. д. для прочих случаев и для V.

В зависимости от числа значений истинности здесь возможны различные вариации операторов. Пусть, например, значения истинности суть «истинно», «неопределенно» и «ложно». Введем операторы Л1, Л2 и Л3 такие, что:

1) если ж истинно и у неопределенно, то ж Л1 у неопределенно, ж Л2 у неопределенно и ж Л3 у ложно;

2) если ж ложно и у неопределенно или ж неопределенно и у ложно, то ж Л1 у ложно, ж л2 у ложно, х Л3 у ложно;

3) если повсюду заменить в определениях Л1, Л2, Л3 значения «неопределенно» и «ложно» на «неистинно», то все эти определения совпадут с приведенным выше определением Л.

Это явление иногда истолковывают так, будто во всех этих случаях приходится иметь дело с одним и тем же логическим оператором конъюнкции, только свойства этого оператора меняются в зависимости от числа значений истинности. На таких грубейших ошибках строятся претенциозные концепции (в частности, концепция особой логики микрофизики). На самом же деле во всех четырех случаях даны определения различных операторов. Их можно лишь сравнивать по определенным критериям. В частности, операторы Л1, Л2, и Л3 можно рассматривать как аналоги двузначной конъюнкции Л.

§19. Значения истинности других форм высказываний

Для высказываний Р(а) и -пР(о) термин «истинно» мы принимаем без определения. Но зато термин «неистинно» здесь нуждается в пояснении, поскольку отрицание Р(а) необязательно есть ->Р(а), а отрицание -> Р(о) необязательно есть Р(о). Различая отрицания -> и мы допускает не две, а три возможности:

1) можно установить, что а имеет признак Р;

2) можно установить, что а не имеет признака Р;

3) невозможно установить (принять) ни то, ни другое.

Третья возможность есть эмпирически данный факт (например, в случае переходных состояний предметов и неразрешимых проблем). Поэтому термин «неистинно» следует определить для рассматриваемых высказываний так: 1) P(a) неистинно, если и только если ~>Р(а) истинно или ~ Р(о)Л ~ -л P(a) истинно; 2) -> Р(о) неистинно, если и только если Р(о) истинно или ~ Р(о) Л ~ -i Р(о) истинно.

Для ?Р(о) термины «истинно» и «неистинно» определяются так:

1) ? Р(о) истинно, если и только если ~ Р(о) Л ~ -> Р(о) истинно (т. е. Р(о) неистинно и -> P(a) неистинно);

2) ? Р(о) неистинно, если и только если ~ Р(о) Л ~ п Р(о) неистинно (т. е. Р(о) истинно или -> Р(о) истинно).

Пусть А, В и С суть P(a), -> Р(о) и?Р(о), взятые в любом порядке. Соотношение значений истинности их кратко можно записать так:

1) если А истинно, то В и С неистинны;

2) если Ап В неистинны, то С истинно.

Таким образом, два из них не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе неистинными.

Для высказываний с кванторами определения имеют такой вид:

1) (Vo)® истинно, если и только если для любого индивида b такого, что Ъ есть а (т. е. Ъ —о), истинно высказывание х(а/Ь), где х(а/Ь) есть результат замены a nab везде, где а входит в х;

2) (-1V а)х истинно, если и только если по крайней мере для одного индивида Ъ такого, что Ь есть о, высказывание х{а/Ъ) неистинно;

3) (?V а)® истинно, если и только если ~(Va)®A~(-iVa)® истинно;

4) (Vo)® неистинно, если и только если (-> Va)®V(?V о)® истинно;

5) (-iVo)® неистинно, если и только если (V o)®V(?V о)® истинно;

6) (?V о)® неистинно, если и только если (V о)® V(-> V о)® истинно.

Определения (7-12) для квантора 3 получаются так: в (1-6) повсюду V заменяется на 3 ; в пункте (1) вместо слов «для любого» пишутся слова «по крайней мере для одного»; в пункте (2) вместо слов «по крайней мере для одного» пишутся слова «для любого».

Соотношение значений истинности (Va)®, (->Va)® и (? Va)® аналогично соотношению их для приведенных выше А, В и С. Аналогично — для (3 о)®, (-13 о)® и (?3 о)®.

Для высказываний ® —> т/ имеют силу такие определения:

1) ® —► у истинно, если и только если, приписав ® значение «истинно» (у значение «неистинно»), мы вынуждены приписать у значение «истинно» (® значение «неистинно»);

2) ® —> у неистинно, если и только если признание истинности ® не вынуждает к признанию истинности у или признание неистинно-сти у не вынуждает к признанию неистинности ®.

Для рассматриваемых высказываний можно ввести три и более значения истинности, что влияет на форму логической теории, но не на ее суть. В частности, это можно сделать таким образом. Пусть термины значений истинности суть «истинно», «неопределенно» и «ложно». Пусть ® есть высказывание «Предмет а возможно наблюдать». Определениям терминов значений истинности для высказываний Р(а) и -> Р(а) можно придать такой вид:

1) Р(о) истинно, если и только если ® Л P(a),

Р(о) неопределенно, если и только если ®,

P(a) ложно, если и только если ® Л Р(о);

2) -> Р(а) истинно, если и только если ® Л -> Р(а),

-1 Р(а) неопределенно, если и только если ®,

-1 Р(а) ложно, если и только если ® Л Р(а).

Эти определения введены с учетом того, что приходится иметь дело с тремя возможностями:

1) ~ж;

2) а: Л Р(о);

3) жЛ-'Р(о).

Но возможен и другой вариант:

1) Р(о) истинно, если и только если Р(а),

-1Р(о) истинно, если и только если ->Р(о),

?Р(о) истинно, если и только если ?Р(а);

2) Р(о) ложно, если и только если -> Р(а),

■ч Р(а) ложно, если и только если Р(а),

?Р(о) ложно, если и только если Р(о) V -> Р(а);

3) Р(о) неопределенно, если и только если ?Р(а),

->Р(о) неопределенно, если и только если ?Р(а).

Как видим, здесь неопределенность поставлена в зависимость не от невозможности наблюдать о, как в первом варианте, а от невозможности обнаружить Р при условии, что a можно наблюдать. В этом варианте точно так же приходится иметь дело с тремя возможностями, но это уже другие возможности:

о m

2) -P(-r);

3) ~ Р(о) Л—.Р(о).

А если принять во внимание как возможность и невозможность наблюдения о, так и возможность или невозможность обнаружения Р, то получим четыре возможности. Очевидно, должны измениться и определения значений истинности, поскольку добавится еще одна возможность. Причем и здесь возможны вариации, например, такие: 1) ввести четвертое значение истинности; 2) считать Р(о) и ~>Р(а) неопределенными не только в случае ~ х, но и в случае ?Р(а).

Таким образом, истинностные значения не написаны на самих высказываниях и состояниях, к которым они относятся. Они вводятся определениями с учетам строения высказываний и состояний, с которыми они сопоставляются.

На примере определений для условных высказываний можно показать, что определения значений истинности не всегда совпадают с правилами проверки высказываний. Так, чтобы проверить высказывание х —> у, надо прежде всего установить, как оно получено — путем опытного исследования или путем вывода у из х и других высказываний, считаемых истинными. В первом случае проверка будет состоять в выяснении того, соблюдены правила опытного исследования или нет, а во втором — правила дедукции.

§20. Тавтологии, противоречия, выполнимые высказывания

Имеются высказывания, которые истинны в силу самих определений термина «истинно» (или в силу правил приписывания значений истинности высказываниям такого типа). Это — логически истинные высказывания, или тавтологии. Таковы, например, высказывания вида xV ~ х, ~ (жЛ ~ х), хУ ~ хУ у и т.п. Имеются также высказывания, которые неистинны в силу определений термина «неистинно». Это — невыполнимые высказывания, или противоречия. Таковы, например, высказывания вида жЛ ~ х, ~ (xV ~ х), жЛ ~ х Л у и т.п. Имеются, наконец, высказывания, в отношении которых логика не компетентна судить, истинны они или неистинны. Это — выполнимые высказывания. Подавляющее большинство высказываний науки относится к числу выполнимых.

Высказывания вида xV ~ х истинно для любых высказываний х и независимо от каких бы то ни было эмпирических исследований, истинно исключительно по той причине, что оно построено из высказываний х и ~ж посредством оператора V, и что имеются определенные правила приписывания значения истинности высказываниям такого рода. Высказывание же вида жЛ ~ х неистинно в силу правил приписывания значений истинности высказываниям с операторами ~ и Л. Первое истинно, а второе неистинно в силу свойств языка, а не в силу свойств предметного мира, к которому относится х. Аналогично для прочих тавтологий и противоречий.

В приведенных выше примерах истинность или неистинность высказываний следует из принятых определений. Но имеются такие высказывания, истинность которых в качестве следствий из каких-либо определений установить нельзя, но которые принимаются в логике по иным соображениям, в частности, как очевидные. Таким является, например, утверждение a j Р «— Р, т. е. «Предмет, имеющий некоторый признак, имеет этот признак». Так что множество высказываний, которые считаются истинными в логике, не сводится к множеству тавтологий.

Логически истинные высказывания называют законами логики. Причем, когда речь заходит о законах логики, то в силу сложившейся традиции имеют в виду именно логически истинные высказывания (а порой к ним сводят вообще все законы логики). Так что имеет смысл некоторые вопросы, связанные с ними, разобрать подробнее.

Прежде всего следует иметь в виду, что ответ на вопрос о том, какие высказывания являются логически истинными (тавтологиями) и какие нет, зависит от принятых определений значений истинности для операторов, входящих в эти высказывания (или от определений этих операторов). Так что правильно будет говорить не просто о том, что высказывание х У ~ х есть тавтология, а высказывание шЛ ~ х есть противоречие, а о том, что они таковыми являются при условии таких-то определений. Этот тривиальный факт удивительным образом не замечают, когда утверждают, что некоторые законы двузначной логики не сохраняются в многозначной, в частности — в трехзначной. Стоит, например, принять определения, согласно которым если неопределенно х, то неопределенно ~ х, и если неопределенны оба х и U, то неопределенно х У у, как получим, что аЛ/ ~ х будет неопределенно. Но делать из этого вывод, будто закон двузначной логики хУ ~ х здесь потерял силу, бессмысленно. Единственно правильный вывод здесь такой: если операторы ~иУ определены так, как указано выше, и если тавтология всегда имеет значение «истинно», то хУ ~ х не есть тавтология.

Когда утверждают, что законы двузначной логики не сохраняются в многозначной, то совершают логическую ошибку, смешивая различные определения терминов значений истинности или логических операторов.

§21. Дедукция

Большую часть знаний люди приобретают путем вывода (дедукции) из других уже имеющихся знаний. Исследование правил вывода составляет доминирующую задачу науки логики.

Логика исследует не любые выводы. Пусть, например, даны высказывания: (1) «Корабль А прошел расстояние 1000 км»; (2) «Время, которое корабль А затратил при этом, равно 20 часам». Из них выводится высказывание (3) «Корабль А плыл со средней скоростью 50 км/час». Здесь высказывание (3) выведено из высказываний (1) и (2). Но сделано это не по правилам логики, а по особому правилу вычисления скорости, установленному в физике: величина средней скорости тела равна частному от деления расстояния, пройденного телом, на время, затраченное на это. И когда в случаях такого рода говорят, что некоторое высказывание получено чисто логическим путем из других, то допускают неточность или, точнее, смешивают дедукцию в широком смысле с дедукцией логической.

Под выводом (дедукцией) в широком смысле слова имеют в виду получение высказываний из некоторых данных высказываний без обращения к опыту (к наблюдениям и экспериментам) по особого рода правилам, установленным для знаков языка, из которых построены исходные высказывания. К числу таких правил относятся не только правила логики, но и правила, введенные в других науках — в математике, физике, химии и т. п. Под выводом в более узком смысле слова имеют в виду вывод одних высказываний из других исключительно по правилам, устанавливаемым в науке логике. Это — логический вывод, или вывод по правилам логического следования. Например, из высказываний «Все металлы электропроводны» и «Медь есть металл» выводится высказывание «Медь электропроводка», причем это сделано по правилу логики, устанавливаемому для квантора «все». Это — логический вывод.

В дальнейшем мы слово «логический» будем для краткости опускать, предполагая при этом, что имеется в виду исключительно логический вывод. Выражение «логическое следование», которое часто употребляется и которое мы точно так же употребляем, означает то же самое, что и выражение «логический вывод» и «логическая дедукция».

§22. Логический вывод

Установление правил вывода — довольно сложная комплексная задача, при решении которой приходится согласовывать самые различные стороны дела. Укажем некоторые общие черты правил вывода.

Правила вывода вырабатываются с таким расчетом, чтобы выполнялся следующий принцип дедукции: если высказывание у по этим правилам получается из высказываний х}.... ,хп, и последние считаются истинными, то и у должно признать истинным. Правила вывода изобретаются с расчетом на этот принцип. Так что таинственная принудительная сила законов логики есть лишь собственная сила самих людей в отношении одной из сфер их деятельности.

Правила логического вывода (следования) суть особого рода определения свойств логических операторов, входящих в высказывания, и следствия из таких определений. Так, имеются правила, согласно которым из высказывания х А у логически выводится каждое из х и у по отдельности из высказывания х А у выводится у А х, из х А (у A z) выводится (х А у) А г и т. д. Эти правила — перечисление свойств оператора А. Последний вводится в употребление именно таким, что эти правила имеют силу. При формулировке этих правил принимается во внимание приведенный выше принцип дедукции. В самом деле, если х А у истинно, то х истинно, и т. д.

Логические операторы вводятся в употребление не по одиночке, а совместно, поскольку они и в высказываниях встречаются совместно. Так, например, в высказывании (Va)(z V (3 6) ~ (у A z)) фигурируют операторы V , 3, V,~, А. И, разумеется, правила вывода для таких высказываний должны учитывать всевозможные комбинации этих операторов. Так что, хотя каждый оператор по отдельности кажется тривиально простым, определение их свойств в разного вида комбинациях и учет всех возможных комбинаций такого рода есть дело довольно трудное.

Ответом на вопрос о том, когда из одних высказываний логически следуют другие высказывания, являются не общие рассуждения, а перечисление конкретных случаев такого рода. Потому удобным методом здесь оказались логические исчисления, которые не только позволили дать строгую формулировку рассматриваемых правил, но и в целом ряде случаев позволили охватить эти правила исчерпывающим образом.

Тот факт, что из высказывания х дедуцируется (логически следует) высказывание у, будем изображать символом вида

х\-у.

Здесь знак Н не есть логический оператор. Это — предикат высказывания «Из высказывания х логически следует высказывание у» (предикат следования). Субъекты этого высказывания суть термины «высказывание х» и «высказывание у». Высказывание х называется посылкой, высказывание у — заключением, или следствием.

Если не рассматривать строение посылок и заключений, то предикат следования обладает только такими свойствами:

1) если х Н у, и х принимается (признается, считается истинным), то у принимается (считается истинным, должно быть принято);

2) если х I- у, и у отвергается (считается неистинным), то х отвергается;

3) если х\-уиу\-г,тох\-г.

Все прочие свЬйства предикат следования приобретает за счет свойств терминов, высказываний и операторов, входящих в посылки и заключения. Причем, это — не его свойства в собственном смысле этого слова, а свойства посылок и заключений. Предикат следования при этом используется лишь как средство установления этих свойств.

Если вывод совершается из нескольких высказываний ж1,,хп, то можно принять такое соглашение: из ж1, ..., хп логически следует у, если и только если из ж1 Л ... Л хп логически следует у.

Символами вида

х Ч h у

будем для краткости записывать то, что имеет место как х \-у, так и у \- х. Будем в таком случае считать, что хи у дедуктивно эквивалентны.

Символами вида

будем записывать тот факт, что х принимается из чисто логических соображений (как логически истинное). Здесь I- есть предикат высказывания «Высказывание х логически истинно». Мы употребляем тот же символ, что и для следования, поскольку из контекста каждый раз будет ясно, в каком смысле он употребляется. Очевидно, если I- х, то х истинно.

Если не рассматривать строение х, то предикат I- в выражениях вида I- х (будем его в этой роли называть предикатом логической истинности) вообще никакими иными свойствами, кроме указанного выше, не обладает. В сочетании с предикатом следования предикат логической истинности обладает такими свойствами:

1) если х у и I- х, то I- у;

2) если х I- у и у не является логически истинным, то х не является логически истинным.

Прочие свойства предикат логической истинности приобретает за счет того, что становится средством определения свойств логических операторов и содержащих их терминов и высказываний.

Предикат логической истинности можно рассматривать как предикат следования из пустой посылки, т. е. как предикат вырожденного следования.

§ 23. Общая теория дедукции

Алфавит общей теории дедукции (ОТД):

1) пропозициональные переменные или переменные для высказываний;

2) переменные для терминов-субъектов;

3) переменные для терминов-предикатов;

4) Л, V,~,— операторы соответственно конъюнкции, дизъюнкции, внешнего и внутреннего отрицаний, неопределенности, условности и условной эквивалентности;

5) I- — предикаты логического следования и логической истинности.

D\. Определение пропозициональной формулы (или высказыва-тельной формы):

1) пропозициональные переменные суть пропозициональные формулы;

2) если хи у суть пропозициональные формулы, то (жЛу), (жХ/у), (х —» у) и (ж «-+ у) суть пропозициональные формулы; если х1,... ,х" (п > 3) суть пропозициональные формулы, то (а? Л х2 Л ... Л ж") и (х1 V х2 V ... V хп) суть пропозициональные формулы;

3) если а есть переменная для субъектов, а Р — переменная для предикатов, то Р(а), -> Р(а) и?Р(о) суть пропозициональные формулы;

4) если а есть переменная для терминов субъектов, ах — переменная для высказываний, то (Va)a:, (->Vo)a:, (?Va)i, (3a)x, (-i3a)a:, (?3о)ш суть пропозициональные формулы;

5) если х есть пропозициональная формула, то ~ х есть пропозициональная формула;

6) нечто есть пропозициональная формула ОТД лишь в силу (1-5).

D1. Определение формулы логического следования: х h у есть формула логического следования, если и только если хи у суть пропозициональные формулы.

D3. Определение формулы логической истинности (или вырожденного следования): Г х есть формула логической истинности, если и только если х есть пропозициональная формула.

Будем употреблять выражения вида х Ч F- у как сокращение для двух формул х I- у и у h х. Скобки в ряду случаев будем опускать, полагая, что Л связывает сильнее, чем V: оба они связывают сильнее, чем —», w и И; —► и «-► связывают сильнее, чем I- и Ч К

Аксиомные схемы ОТД:

L 1. ~~хЧЬш;

2. а? Л х2 Л ... Л хп F- а:’,

где а:’ есть любое из а:1, х2,..., хя, а п 2;

3. а? Л х2 Л ... Л хп Ч h у,

где у отличается от а:1 Л х2 Л ... Ла:" только тем, что какая-то его часть вида а:’1 Л ... Л азаключена в скобки;

4. х Л у h у Л а:;

5. (а:1 V х2 V ... V а:") Л у ЧI- (а:1 Л у) V (а:2 Л у) V ... V (х" Л у);

6. ~ (а:1 Л а:2 Л... Л а:") Ч |-~a:1V~a:2 V .. .V~a

7. (а: V у) Л ~ х Ь у;

8. h (xV~x).

II. 1. (х —у) Л х Ь у;

2. (а: у) I- (~з/ ->~а:);

3. (a:->7/)A(?/->z)l-(a:->z);

4. (ж —> у Л и) Ч h (а: —> у) Л (а: —> г);

5. (а: —> у) V (z —> v) F- (а: Л z —> у V v);

6. (а: «-> у) ЧI- (а: -> у) Л (у -> а:).

III. 1. Р(а)Ч1---.Р(о)Л-?Р(о);

2. -I Р(о) Ч h ~ Р(о) Л л? Р(о);

3. ?Р(о) 41—Р(а)Л~-1Р(а).

IV. 1. (Vo)®!-®;

2. х I- (3 а)ж;

3. (Va)®4l- (пЭа)~1;

4. (-iVa)i 41- (За)~ж;

5. (?Va)® 4I- (?3а)~ж;

6. (Vo)® -H-~(->Va)®A~(?Va)®;

7. (->Vo)® 4l-~(Vo)®A~(?Vo)®;

8. (?Vo)® 4F~(Va)®A~(->Va)®;

9. (V d)(x A y) 4 h (V a)® Л (V a)y;

10. (3 a)(® V y) 41- (3 d)x V (3a)y;

11. (Va)(® V у) I- (Va)® V (3 d)y;

12. (3a)(® Л у) I- (3 a)x A (3 a)y;

13. (Va)® V (Va)y I- (Va)(® V y);

14. (Va)x A (3 a)y I- (3 a)(® A y).

Правила вывода ОТД:

1) если xt- у и у z, то xt- z;

2) если xhynxt-z,T0xhy/\z;

3) если wA^Fj/HHiAi/l-jHt) образуется из z путем замены одного или более вхождений х в z в качестве высказывания на у, то w Az h v;

4) если х I- у и I- х, то I- у;

5) если х\-у и I- ~ у, то I-ж

6) если I- х и I- у, то I- х А у,

7) если х I- у, то (V а)х I- (Va)y;

8) если х I- у, то (3 а)х I- (3 а)у;

9) если 1- х, то I- (Va)®;

10) если х I- у, то I- {х —> у).

D4. Определение доказуемой формулы ОТД: формула логического следования или логической истинности является доказуемой в ОТД (является теоремой) тогда и только тогда, когда она есть аксиома (или получается из доказуемых формул из теорем) по правилам вывода ОТД.

В результате подстановки в пропозициональные формулы на место переменных соответственно высказываний и терминов получаются высказывания, а в результате таких подстановок в формулы логического следования и логической истинности получаются утверждения о том, что из одних высказываний логически следуют другие или что высказывания истинны логически.

§ 24. Классический и неклассический случаи в теории вывода

В приведенной выше теории вывода различаются два отрицания ~ и -1 и фигурирует оператор неопределенности. В ней доказуемы утверждения

1) ~ P(a) I- -1 P(a), ~ (V а)х I- (-1V а)х,

~ (3 а)х I- (-. 3 а)х;

2) I- Р(а) V -> Р(а), I- (V а)х V (-> V а)х,

I- (3 а)х V (-> 3 а)х.

Этот случай в теории вывода будем называть неклассическим или общим.

Но встречаются такие области, в которые различение отрицаний не производится, а оператор неопределенности является излишним. Для таких случаев теорию вывода можно расширить, приняв дополнительно правила (1). Благодаря этому будут доказуемы утверждения (2). Так что правила предикации и правила (5-10) для кванторов отпадут как излишние. Правила (3) и (4) для кванторов будут равносильны таким:

(V а)х ЧI- ~ (3 а) ~ х.

Будем такой случай в теории вывода называть классическим.

Обращаем внимание еще на одно важное отличие неклассического случая от классического. В классическом случае конъюнкция отрицаний обоих членов пар Р(а) и ~>Р(а), (V а)х и (~> V а)х, (3 а)х и (-, 3 а)х дает противоречие. Покажем это на примере первой пары: поскольку

Р(а) Ч 1-~Р(а), —- Р(а) ЧI---Р(а),

~~Р(а) 41- Р(а),

получим

~ Р(а) Л ~ 1 р(а) I— р(а) Л — Р(а),

~ Р(а) Л ~ -1 Р(а) |-~ Р(а) Л Р(а).

В неклассическом же случае противоречие не получается, поскольку замена ~ Р(а) на ~~ Р(а) и затем на Р(а) здесь недопустима. Аналогично для прочих пар.

Игнорирование этого различия ведет к недоразумениям. Это различие есть различие случаев, когда допускаются три возможности и две возможности. В неклассическом случае эти возможности суть Р(а), -I Р(а) и ? Р(а), в классическом — лишь Р(а) и -> Р(а). Аналогично для кванторов. Причем неклассический случай является более общим, поскольку в качестве частного случая здесь можно допустить, что третья возможность с оператором неопределенности является пустой.

§ 25. Правила вывода

и значения истинности высказываний

Правила вывода не зависят от того, сколько значений истинности решено приписывать высказываниям. При осуществлении выводов принимается во внимание лишь видимое строение высказываний, т. е. наличие в них определенных терминов, высказываний и логических операторов и взаимное расположение их. Значения же истинности принимаются во внимание лишь для реализации основного принципа дедукции: если принимаются (считаются истинными) посылки, то принимаются заключения; если отвергаются (считаются неистинными) заключения, то отвергаются посылки. При этом вполне достаточно одного предиката истинности и его отрицания.

§ 26. Тождество по смыслу и следование

Примем правило: если х = у, то х И у и у И х. Так что если принимается определение х = Df- у, то принимается тем самым х ~ у, а значит — принимаются два утверждения х Ь у и у Ь х. Это обстоятельство позволяет в целях экономии принимать в качестве определений сразу утверждения о следовании.

§ 27. Общая теория терминов

Общая теория терминов (ОТТ) определяет свойства предикатов —*•, и =, а также свойства Т-оператора и содержащих их терминов, не принимая во внимание конкретного значения терминов. Ниже мы приведем систему ОТТ, которая надстраивается над ОТД (т. е. последняя предполагается).

Алфавит ОТТ:

1) предметные переменные;

2) переменные для терминов;

3) субъектные переменные;

4) предикатные переменные;

5) S — предикат обозначения;

6) —— предикат включения по значению;

7) — предикат тождества по значению;

8) 1 — оператор «который», «такой, что», «тот факт, что»;

9) (...)— оператор энки терминов (пары, тройки, ...);

10) m — квазиоператор метатермина;

11) s — термин «предмет»;

12) р — термин «признак».

D1. Определение субъектной формы (СФ):

1) субъектные переменные суть СФ;

2) если суть СФ, то (а1,, а”) есть СФ;

3) если суть СФ, то (a' V ... V а”), (а1 Л ... Л а”),

(Va1 ... а”) и (Ла1... а”) суть СФ;

4) если а есть СФ, то ~ а есть СФ;

5) если а есть СФ, a b есть предикатная форма, то a ! ab и а I ~ аЬ суть СФ, где а означает наличие ->, ? или пусто;

6) если b есть предикатная форма, то J. ab и 1 ~ аЬ суть СФ;

7) если а есть СФ, а х есть пропозициональная формула, то а I х есть СФ;

8) если х есть пропозициональная формула, то 1 х есть СФ;

9) если а есть СФ, предикатная форма или пропозициональная формула, то та есть СФ;

10) s есть СФ;

11) если а есть СФ, то га есть СФ (г = 1, 2, 3,...);

12) нечто есть СФ лишь в силу 1-11.

02. Определение предикатной формы (ПФ):

1) предикатные переменные суть ПФ;

2) если а1,..., а” суть ПФ, то (а1,..., а”), (а’ Л... Л а”), (а1 V... V а”), (Ла1... ап), (Va1 ... а”) суть ПФ;

3) если а есть ПФ, то а есть ПФ;

4) если а есть СФ, a Ь есть ПФ, то Ь ( аа и Ь аа суть ПФ;

5) если а есть СФ, то ) аа и ) ~ аа суть ПФ;

6) если а есть ПФ, а х есть пропозициональная формула, то a J. х есть ПФ;

7) если х есть пропозициональная формула, то х ) есть ПФ;

8) S, —суть ПФ;

9) р есть ПФ;

10) нечто есть ПФ лишь в силу 1-9.

03. Определение предметной переменной: ia есть предметная переменная, если и только если а есть субъектная переменная (i=l,2,3,...).

04. СФ и ПФ, и только они, суть терминные формы (ТФ).

05. Дополнение к определению пропозициональной формулы (ФП):

1) если а есть СФ, а Р есть ПФ, то аР(а) есть ФП (а означает наличие ->, ? или пусто);

2) S(a, mb) есть ФП, если и только если а и Ь обе суть СФ;

3) —>■ (та, mb) и (та, mb) суть ФП, если и только если а и b обе суть СФ или обе суть ПФ.

С целью упрощения записи и для большей наглядности будем вместо символов —- (та, mb) и ;=± (та, mb) употреблять соответственно а —" Ь и а Ь.

D6. ТФ или ФП а входит в ТФ или ФП b в качестве ТФ или ФП, если а есть часть Ь, за исключением таких случаев:

1) а не есть вхождение в та в качестве ТФ или ФП;

2) если с есть часть a, то с не есть вхождение в та в качестве ТФ или ФП.

Поясним символы, специально употребляемые в теории терминов:

1) S(a, mb) — «а обозначается термином b»;

2) —- (та, mb) — «Термин а включается по значению в термин b» (или «Все, что обозначается термином а, обозначается и термином 6»);

3) (та, mb) — «Термины а и Ъ тождественны по значению»;

4) (а1,..., а") — «Пара (тройка, четверка и т. д.; вообще — энка) предметов»;

5) (а Л Ь) — «предмет (признак), который обозначается термином а и термином Ь»;

6) (aVb) — «предмет (признак), который обозначается по крайней мере одним из терминов а и d»;

7) ~ а — «не-а» в смысле «предмет, который не обозначается термином а»;

8) (ЛаЬ) — «каждый из a и Ь»;

9) (Vafc) — «по крайней мере один из a и Ь»;

10) (Лаб) — «не каждый из a и 6»;

11) (Vad) — «ни один из a и 6»;

12) а — «не-а» в смысле «не имеющий признака а»;

13) а ( х — «а такой, что х», «а, который х», «а, имеющий х» и т. п.;

14) I х — «тот факт, что х», «имеющий х» и т. п.;

15) х [ — «такой, что х», «Характеризуется тем, что х» и т.п.

Предметные переменные суть переменные для терминов-субъектов, но обладающих такими свойствами: каждая из ia по отдельности читается как «любой а» («какой-то, но безразлично, какой именно, а» и т. п.); если га и ка фигурируют совместно, то они читаются друг по отношению к другу как «любой другой а».

Аксиомные схемы ОТТ:

I. 1. Р S(a,ma);

2. ~ S(a,mb) Р S(a,mb).

II. 1. (a —b) Ч Р (5(s, ma) —> S(s, mb)),

где a и b суть СФ;

2. (ab) ЧР (s I as I b), где a n b суть ПФ;

3. (a ?=± b) 41- (a —■b) A (b —* a).

III. 1. P a s I S(s, ma);

2. 5(s,m~a) HF~S(s, ma);

3. S(s, m(a' A ... Л a”)) 41- S(s, ma') A ... A S(s, man);

4. S(s, m(a' V... V a”) 4 P S(s, ma') V ... V S(s, ma”).

IV. 1. aP(Aa'... a”) 4 P aP(a') A ... A aP(an);

2. a(AP’ ... Pn)(a) ЧР aP'(a) A ... A aPn(a);

3. aP(Va’ ...a") Hl- aP(a') V ... VaP(an);

4. a (VP1 ... Pn)(a) 41- a P'(a) V ... V aP”( a);

5. aP(Aa'... a”) H F~aP(Aal... an);

6. aP(Va' ... an) 41—aP(Va’... an);

7. a(7\P' ... P”)(a) H1—a(AP’ ... Pn)(a);

8. a(vP' ... P”)(a) HI— a(vP‘... Pn)(a);

9. P(a) 41—P(a).

V. 1. (a,,...,an)-(b,,...,bn)HF(a'-b’)A...A(an-bn);

2. (V (a1,..., an))a: H P (V a‘)a: A... Л (V an)x;

3. (3 (a1,..., a”))a: 4 P (3 a’)a: A ... A (3 an)x.

VI. 1. P a I (x /\у) (a I x) Л (a I y);

2. P a 1 (x V y) (a 1 x) V (a J. z,);

3. P (s j. ~ a:) (s j. a:);

4. (i a: z,) 4 P (x у 1);

5. P (a | a:) J. у ((a J. y) J. x);

6. P x —»(a I x a);

7. (V I x)(y l)(a: i) 4 P (x -> y);

8. (->V I x)(y i)(a: J.) 4 P (x~i -> y).

VII. 1. P (x J.)(a 1 a:);

2. P aP(a J. aP(a));

3. P~aP(a l~aP(a)), где a есть ->, ? или пусто.

VII. 1. (3 а)х Л ((- —а) —»(а —1 -)) И х;

2. а!Л((1>-ка)-»а-' &)) F (V а)ш;

3. ~ (а —1- 61) Л .. .Л ~ (а —■1 Ь”) Л (3 а)х И (V а)ш,

где а не входит свободно в ж в качестве СФ, а Ь1,..., Ьп суть все СФ, имеющие свободные вхождения в а: в качестве СФ.

IX. 1. (a-*b)A(Vd)a:F(Va)y,

где у образуется из х путем замены всех свободных вхождений Ь в а: в качестве СФ на а;

2. (а —6) А (3 а)х F (3 Ь)у,

где у образуется из х путем замены всех свободных вхождений а в а: в качестве СФ на Ь;

3. (а 6) Л х F у,

где у образуется из х путем замены одного или более вхождений а в а: в качестве ТФ на Ь.

X. 1. (V а)х А (а —k 6) F (V а)у,

где у образуется из х путем замены b на а везде, где Ь входит в а: в качестве СФ свободно; аналогично отношение у их в последующих схемах 2-4;

2. (V а)у A (a —k Ь) F (V а)х \

3. (3 а)х Л (а —k 6) F (3 а)у;

4. (3 а)у Л (а —* 6) F (3 а)х.

XI. 1. (Va)a>A(6 — a)F(Vb)x,

где а не входит свободно в а: в качестве СФ; аналогично соотношение а и а: в последующих схемах 2-4;